Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть x ∈ R, и область Dx ⊆ R2 состоит из точек(u, v) таких, что g(u, v) < x. Тогда случайная величина η = g(ξ1 , ξ2 )имеет функцию распределенияZZfξ1 , ξ2 (u, v) du dv.Fη (x) = P g(ξ1 , ξ2 ) < x = P (ξ1 , ξ2 ) ∈ Dx =DxДалее в этой главе предполагается, что случайные величины ξ1 и ξ2независимы, т. е. fξ1 , ξ2 (u, v) ≡ fξ1 (u) fξ2 (v). В этом случае распределениевеличины g(ξ1 , ξ2 ) полностью определяется частными распределениямивеличин ξ1 и ξ2 .С л е д с т в и е 9 (ф о р м у л а с в ё р т к и).
Если случайные величиныξ1 и ξ2 независимы и имеют абсолютно непрерывные распределенияс плотностями fξ1 (u) и fξ2 (v), то плотность распределения суммыξ1 + ξ2 существует и равна «свёртке» плотностей fξ1 и fξ2 :∞Z∞Zfξ1 (u) fξ2 (t − u) du =fξ1 + ξ2 (t) =−∞fξ2 (u) fξ1 (t − u) du.(18)−∞Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся утверждением теоремы 30 дляборелевской функции g(u, v) = u + v. Интегрирование по двумерной области Dx = {(u, v) | u + v < x} можно заменить последовательным вычислением двух интегралов: наружного — по переменной u, меняющейсяв пределах от −∞ до +∞, и внутреннего — по переменной v, котораяпри каждом u должна быть меньше, чем x − u. Поэтому∞Z x−uZZZfξ1 (u)fξ2 (v) dvdu.Fξ1 + ξ2 (x) =fξ1 (u) fξ2 (v) dv du = Dx−∞−∞Сделаем в последнем интеграле замену переменной v на t так: v = t − u.При этом v ∈ (−∞, x−u) перейдёт в t ∈ (−∞, x), dv = dt.
В полученноминтеграле меняем порядок интегрирования: ∞∞Z ZxZxZFξ1 + ξ2 (x) =fξ1 (u) fξ2 (t − u) dt du = fξ1 (u) fξ2 (t − u) dudt.−∞ −∞−∞−∞Итак, мы представили функцию распределения Fξ1 + ξ2 (x) в виде интеграла от −∞ до x от плотности распределения fξ1 + ξ2 (t) из формулысвёртки (18).85§ 7. Примеры использования формулы свёрткиСледствие 9 не только предлагает формулу для вычисления плотности распределения суммы, но и утверждает, что сумма двух независимыхслучайных величин с абсолютно непрерывными распределениями такжеимеет абсолютно непрерывное распределение.У п р а ж н е н и е .
Для тех, кто уже ничему не удивляется: привестипример двух случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями таких, что их сумма имеет вырожденное распределение.Если даже одна из двух независимых случайных величин имеет дискретное, а вторая — абсолютно непрерывное распределение, то их сумматоже имеет абсолютно непрерывное распределение:У п р а ж н е н и е . Пусть величина ξ имеет таблицу распределенияP(ξ = ai ) = pi , а η имеет плотность распределения fη (x), и эти величины независимы.Доказать, что ξ + η имеет плотность распределенияPfξ+η (x) =pi fη (x − ai ). Для вычисления функции распределения суммы использовать формулу полной вероятности.§ 7.
Примеры использования формулы свёрткиП р и м е р 44. Пусть независимые случайные величины ξ и η имеютстандартное нормальное распределение. Докажем, что их сумма имеетнормальное распределение с параметрами a = 0 и σ2 = 2.Д о к а з а т е л ь с т в о. По формуле свёртки, плотность суммы равна∞Zfξ+η (x) =1 −u2/2 −(x−u)2/2eedu =2π−∞−x2/4∞Z=e−∞∞Zx22− u + 2 − xu1e2π−∞21 −(u− x )212edu = √ e−x /42π2 π∞Zdu =21 −v 2e−x /4√ edv = √ .π2 π−∞Последний интеграл равен единице, поскольку под интегралом стоит1плотность нормального распределения с параметрами a = 0 и σ2 = .2Итак, мы получили, что плотность распределения суммы есть плотностьнормального распределения с параметрами 0 и 2.Если сумма двух независимых случайных величин из одного и тогоже распределения (возможно, с разными параметрами) имеет такое жераспределение, говорят, что это распределение устойчиво относительносуммирования.
В следующих утверждениях перечислены практически всеустойчивые распределения.86ГЛАВА VII. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ= Πλ и η ⊂= Πµ незавиЛ е м м а 1. Пусть случайные величины ξ ⊂= Πλ+µ .симы. Тогда ξ + η ⊂Д о к а з а т е л ь с т в о. Найдём таблицу распределения суммы. Для любого целого k > 0P(ξ + η = k) ==kXi=0kXP(ξ = i, η = k − i) =P(ξ = i) · P(η = k − i) =i=0i=0−(λ+µ) 1=ekXλik!kXi=0i!e−λ ·µk−i(k − i)!e−µ =kk!i k−i−(λ+µ) (λ + µ)λµ=e.i! (k − i)!k!В последнем равенстве мы воспользовались биномом Ньютона.= Bn, p и η ⊂= Bm, p незаЛ е м м а 2.
Пусть случайные величины ξ ⊂= Bn+m, p .висимы. Тогда ξ + η ⊂Смысл леммы 2 совершенно понятен: складывая количество успехов впервых n и в следующих m независимых испытаниях одной и той жесхемы Бернулли, получаем количество успехов в n + m испытаниях. Полезно доказать это утверждение аналогично тому, как мы доказали лемму1.= N=Л е м м а 3. Пусть случайные величины ξ ⊂a1 , σ21 и η ⊂ Na2 , σ22= Nнезависимы. Тогда ξ + η ⊂a1 +a2 , σ21 +σ22 .= Γα, λ1 и η ⊂= Γα, λ2 незаЛ е м м а 4.
Пусть случайные величины ξ ⊂= Γα, λ1 +λ2 .висимы. Тогда ξ + η ⊂Эти утверждения мы докажем позднее, используя аппарат характеристических функций, хотя при некотором терпении можно попробовать доказать их напрямую с помощью формулы свёртки.Показательное распределение не устойчиво по суммированию, однакооно является частным случаем гамма-распределения, которое уже устойчиво относительно суммирования. Докажем частный случай леммы 4.Л е м м а 5. Пусть независимые случайные величины ξ1 , . . . , ξn име= Γα,n .ют показательное распределение Eα .
Тогда ξ1 + . . . + ξn ⊂Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем утверждение по индукции. При n = 1оно верно в силу равенства Eα = Γα, 1 . Пусть утверждение леммы справедливо для n = k − 1. Докажем, что оно верно и для n = k. По предположению индукции, Sk−1 = ξ1 + .
. . + ξk−1 имеет распределение Γα, k−1 ,§ 7. Примеры использования формулы свёртки87т. е. плотность распределения величины Sk−1 равна 0,если x 6 0,k−1fSk−1 (x) = αxk−2 e−αx , если x > 0.(k − 2)!Тогда по формуле свёртки плотность суммы Sk = ξ1 + . . . + ξk равна∞∞ZZαk−1fSk (x) = fSk−1 (u)fξk (x − u) du =uk−2 e−αu fξk (x − u) du.(k − 2)!−∞0Так как fξk (x − u) = 0 при x − u < 0, т. е.
при u > x, то плотностьпод интегралом отлична от нуля, только если переменная интегрированияизменяется в пределах 0 6 u 6 x при x > 0. При x 6 0 подынтегральнаяфункция равна нулю. При x > 0 имеемZx k−1ααkfSk (x) =uk−2 e−αu α e−α(x−u) du =xk−1 e−αx .(k − 2)!(k − 1)!0= Γα, k , что и требовалось доказать.Поэтому Sk ⊂П р и м е р 45. Равномерное распределение не является устойчивым относительно суммирования. Найдём функцию и плотность распределениясуммы двух независимых случайных величин с одинаковым равномернымна отрезке [0, 1] распределением, но не по формуле свёртки, а используягеометрическую вероятность.= U0, 1 — независимые случайные величины. Случайные веПусть ξ, η ⊂личины ξ и η можно считать координатами точки, брошенной наудачу вединичный квадрат.Тогда Fξ+η (t) = P(ξ + η < t) равна площади области внутри квадратапод прямой y = t − x.
Эта область — заштрихованный на рис. 13 треугольник (при 0 < t 6 1) либо пятиугольник (при 1 < t 6 2). Получимфункцию распределения и плотность распределения суммы двух независимых равномерно распределённых на отрезке [0, 1] случайных величин:0,t 6 0,t 6∈ (0, 2),0, 1 t2 ,0 < t 6 1,Fξ+ η (t) = 2 1fξ+ η (t) = t,0 < t 6 1,2 , 1 < t 6 2,1−(2−t)22 − t, 1 < t 6 2.1,t > 2;88ГЛАВА VII. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯyyt11txt 11 t xРис. 13.
Область {ξ + η < t} в зависимости от tПолученное распределение называется «треугольным распределением»Симпсона. Видим, что распределение суммы независимых случайных величин с равномерным распределением не является равномерным.П р и м е р 46. Найдём функцию и плотность распределения частногодвух независимых случайных величин ξ и η, имеющих показательноераспределение с параметром 1.При x > 0 по теореме 30 имеем ZZη<x =fξ (u)fη (v) du dv,PξDxv< x.
При этомгде область Dx есть множество точек (u, v) таких, чтоuдостаточно ограничиться положительными значениями u и v : показательно распределённые случайные величины могут принимать отрицательныезначения лишь с нулевой вероятностью.Вычислим интеграл по области Dx = {(u, v) | 0 < u < ∞, 0 < v < ux} :Z uxZ ∞η1P< x = e−u e−v dv du = 1 −.ξx+100У п р а ж н е н и е . Провести вычисления и получить ответ.Таким образом, функция и плотность распределения частного имеютвид(1 1 , x > 0,1−, x > 0,2x+1F (x) =f (x) = (x + 1)0,0,x 6 0;x 6 0.Г Л А В А VIIIЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙЕсли я имею одинаковые шансы на получение aили b, то цена моему ожиданию равна (a + b)/2.Христиан Гюйгенс.
О расчётах в азартной игре§ 1. Математическое ожидание случайной величиныО п р е д е л е н и е 35. Математическим ожиданием E ξ случайнойвеличины ξ с дискретным распределением называется числоXXak P(ξ = ak ),ak p k =Eξ =kkPесли данный ряд абсолютно сходится, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
