Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Во-первых,((x1 − , 0 6 x 6 2,2 − 2y, 0 6 y 6 1,2fη (y) =fξ (x) =0,иначе0,иначе;и вычисленные по этим плотностям средние (вычислить) равны соответственно E ξ = 2/3 и E η = 1/3.Во-вторых, по определению многомерного равномерного распределенияв области D,Z2ZZE (ξ η) =1−x/2Zx · y · 1 dx dy =x y dy dx =0D1.60Ковариация (а с ней и коэффициент корреляции) отрицательна.У п р а ж н е н и е . Почему коэффициент корреляции в примере 66 существует? Какие свойства случайных величин гарантируют конечность второго момента? А из их ограниченности следует существование моментов?По какому из свойств математического ожидания это так?П р и м е р 67.
Найдём коэффициент корреляции между числом выпадений единицы и числом выпадений шестерки при n подбрасыванияхправильной игральной кости.Обозначим для i ∈ {1, . . . , 6} через ξi случайную величину, равнуючислу выпадений грани с i очками при n подбрасываниях кубика. Посчитаем cov(ξ1 , ξ6 ). Каждая из случайных величин ξi имеет биномиальное1n5nраспределение с параметрами n и , поэтому E ξi = , D ξi =.6636Далее заметим, что ξ1 + . .
. + ξ6 = n. Из-за симметрии кубика математические ожидания E ξ1 ξ2 , E ξ1 ξ3 , . . . , E ξ1 ξ6 одинаковы, но отличаются5nn2от E ξ1 ξ1 = E ξ21 = D ξ1 + (E ξ1 )2 =+ . Посчитаем E ξ1 (ξ1 + · · · + ξ6 ).3636С одной стороны, это число равноE ξ1 (ξ1 + . . . + ξ6 ) = E ξ1 · n =n2.6108ГЛАВА IX. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАВИСИМОСТИС другой стороны,E ξ1 (ξ1 + . . . + ξ6 ) = E ξ21 + 5E ξ1 ξ6 =n25n5nn2++ 5E ξ1 ξ6 .3636n2−−, т.
е. E ξ1 ξ6 =Отсюда 5E ξ1 ξ6 =63636искомый коэффициент корреляции равенρ(ξ1 , ξ6 ) =n2 − n. Следовательно,36E ξ1 ξ6 − E ξ1 E ξ61(n2 − n)/36 − n2 /36p=− .=5n/365D ξ1 D ξ6Интересно, что полученный коэффициент корреляции не зависит от n.У п р а ж н е н и е . Объяснить знак величины ρ(ξ1 , ξ6 ). Вычислить коэффициент корреляции числа единиц и числа двоек при n подбрасываниях правильной игральной кости.П р и м е р 68.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию гипергеометрического распределения. Мы не могли сделать это раньше, таккак очень не хотели вычислять следующие суммы:X C k C n−kX C k C n−k2K N −K−Kkk2 K NEξ =,Eξ =,nnkCNkCNгде, напомним (чтобы читатель окончательно отказался от мысли вычислить эти суммы напрямую), суммирование ведётся по целым k таким, что0 6 k 6 K и 0 6 n − k 6 N − K.Рассмотрим урну, содержащую K белых шаров и N − K не белых,и пусть из неё наудачу и без возвращения выбирают по одному n шаров.
Свяжем случайную величину ξ, равную числу белых шаров среди nвыбранных, с результатами отдельных извлечений шаров.Обозначим через ξi , где i = 1, . . . , n, «индикатор» того, что i -й посчёту вынутый шар оказался белым: ξi = 1, если при i -м извлечениипоявился белый шар, иначе ξi = 0. Тогда ξ = ξ1 + . . . + ξn — число появившихся белых шаров, и математическое ожидание считается просто:E ξ = E (ξ1 + . . . + ξn ) = E ξ1 + .
. . + E ξn .Убедимся, что случайные величины ξ1 , . . . , ξn имеют одно и то жераспределение Бернулли Bp , где p = K / N.Пронумеруем шары: белые — номерами от одного до K, остальные —номерами от K + 1 до N. Элементарным исходом опыта является набориз n номеров шаров в схеме выбора n элементов из N без возвращенияnи с учётом порядка. Общее число исходов равно |Ω| = A N .109§ 2.
Коэффициент корреляцииВычислим вероятность события Ai = {ξi = 1}. Событие Ai включает всебя элементарные исходы (наборы), в которых на i -м месте стоит любойиз номеров белых шаров, а остальные n − 1 место занимают любые изоставшихся N − 1 номеров. По теореме 1 о перемножении шансов числоблагоприятных событию Ai исходов есть произведение K и An−1N −1 . ЗдесьK есть число способов поставить на i -е место один из номеров белыхшаров, An−1N −1 — число способов после этого разместить на оставшихся n−− 1 местах остальные N − 1 номеров шаров. Но тогдаn−1K A N −1K|A |=,p = P(ξi = 1) = P(Ai ) = i =n|Ω|NANчто совершенно очевидно: вероятность 20-му шару быть белым, если мыничего не знаем про первые 19, точно такая же, как вероятность первомушару быть белым и равна отношению числа белых шаров к числу всех.Вернёмся к математическому ожиданию:E ξ = E ξ1 + .
. . + E ξn = nE ξ1 = np =nK.NВычислим дисперсию ξ. До сих пор мы не интересовались совместнымраспределением ξ1 , . . . , ξn : для вычисления математического ожиданияих суммы нам было достаточно знания маргинальных распределений этихвеличин. Но дисперсия суммы уже не всегда равна сумме дисперсий. Зависимость величин ξ1 , . . . , ξn очевидна: если, скажем, случилось событиеA1 = {ξ1 = 1}, то вероятность второму шару быть белым уже не равнаотношению K / N :P(ξ2 = 1 | ξ1 = 1) =K −1K6== P(ξ2 = 1).N −1NПоэтому при вычислении дисперсии будем пользоваться свойством 19.
Вычислим ковариацию величин ξi и ξj , i 6= j. Для этого сначала посчитаемE (ξi ξj ). Произведение ξi ξj снова имеет распределение Бернулли: ξi ξj = 1,если при i-м и j -м извлечениях появились белые шары. Вероятность этогособытия равнаn−2K(K −1)A N −2|A ∩ Aj |K(K −1)P(ξi ξj = 1) = P(Ai ∩ Aj ) = i==.n|Ω|N(N−1)ANТогдаcov(ξi , ξj ) = E (ξi ξj ) − E ξi E ξj =K(K −1)K KK(N −K)−=− 2.N (N −1)N NN (N −1)110ГЛАВА IX. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАВИСИМОСТИПодставляя одинаковые дисперсии D ξi = p(1 − p) и эти не зависящие отi и j ковариации в формулу дисперсии суммы, получаемnXXD ξ = D (ξ1 + . .
. + ξn ) =D ξi +cov(ξi , ξj ) =i=1i6=j= np(1 − p) + n(n − 1)cov(ξ1 , ξ2 ) =KKK(N −K)Kn−1K= n1−− n(n−1) 21−1−.=nNNN (N −1)NNN −1Заметим любопытнейшую вещь: если вынимать шары с возвращением , то испытания станут независимыми испытаниями в схеме Бернулли;cтавшие независимыми величины ξi в сумме дадут число белых шаров,Kимеющее биномиальное распределение с параметрами n и p =и точноNnK, как и у числа белых шаровтакое же математическое ожидание np =Nпри выборе без возвращения.Дисперсия же у числа белых шаров при выборе без возвращения меньше, чем при выборе с возвращением — за счёт отрицательной коррелированности слагаемых ξi и ξj при i 6= j.ГЛАВА XСХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХВЕЛИЧИНОткуда, наконец, вытекает то удивительное, по-видимому, следствие,что, если бы наблюдения над всеми событиями продолжать всю вечность, причём вероятность, наконец, перешла бы в полную достоверность, то было бы замечено, что в мире всё управляется точными отношениями и постоянным законом изменений, так что дажев вещах, в высшей степени случайных, мы принуждены были быпризнать как бы некоторую необходимость и, скажу я, рок.Якоб Бернулли.
Искусство предположений§ 1. Сходимости «почти наверное» и «по вероятности»Напомним, что случайная величина есть (измеримая) функция из некоторого непустого множества Ω в множество действительных чисел. Последовательность случайных величин {ξn }∞n=1 есть тем самым последовательность функций, определённых на одном и том же множестве Ω.Существуют разные виды сходимости последовательности функций.
Давать определение любой сходимости мы будем, опираясь на сходимостьчисловых последовательностей, как на уже известное основное понятие.В частности, при каждом новом ω ∈ Ω мы имеем новую числовую последовательность ξ1 (ω), ξ2 (ω), ξ3 (ω), . . . Поэтому можно говоритьо сходимости последовательности значений функций в данной точке ω,а также во всех остальных точках ω ∈ Ω. В теории вероятностей можноне обращать внимание на неприятности, происходящие с нулевой вероятностью.
Поэтому вместо сходимости «всюду» принято рассматриватьсходимость «почти всюду», или «почти наверное».О п р е д е л е н и е 42. Говорят, что последовательность {ξn } сходится почти наверное к случайной величине ξ при n → ∞, и пишут:ξn → ξ п. н., если P {ω | ξn (ω) → ξ(ω) при n → ∞} = 1. Иначе говоря,112ГЛАВА X. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНесли ξn (ω) → ξ(ω) при n → ∞ для всех ω ∈ Ω, кроме, возможно, ω ∈ A,где A — событие, имеющее нулевую вероятность.Заметим сразу: определение сходимости «почти наверное» требует знания того, как устроены отображения ω 7→ ξn (ω).
В задачах же теории вероятностей, как правило, известны не сами случайные величины, а лишьих распределения.Можем ли мы, обладая только информацией о распределениях, говорить о какой-либо сходимости последовательности случайных величин{ξn } к случайной величине ξ ?Можно, скажем, потребовать, чтобы вероятность тех элементарных исходов ω, для которых ξn (ω) не попадает в « ε -окрестность» числа ξ(ω),уменьшалась до нуля с ростом n. Такая сходимость в функциональноманализе называется сходимостью «по мере», а в теории вероятностей —сходимостью «по вероятности».О п р е д е л е н и е 43. Говорят, что последовательность случайных величин {ξn } сходится по вероятности к случайной величине ξ при n →p∞, и пишут ξn −→ ξ, если для любого ε > 0P (|ξn − ξ| > ε) → 0 при n → ∞ (или P (|ξn − ξ| < ε) → 1 при n → ∞).П р и м е р 69. Рассмотрим последовательность ξ1 , ξ2 , .
. . , в которойвсе величины имеют разные распределения:величина ξn принимает значе77ния 0 и n с вероятностями P ξn = n = 1/n = 1 − P(ξn = 0). Докажем,что эта последовательность сходится по вероятности к нулю.Зафиксируем произвольное ε > 0. Для всех n начиная с некоторогоn0 такого, что n70 > ε, верно равенство P(ξn > ε) = P(ξn = n7 ) = 1/ n.Поэтому1P |ξn − 0| > ε = P ξn > ε = P ξn = n7 =→ 0 при n → ∞.nИтак, случайные величины ξn с ростом n могут принимать всё бо́льшиеи бо́льшие значения, но со всё меньшей и меньшей вероятностью.Например, последовательность {ξn } можно задать на вероятностномпространстве hΩ, F, Pi = h[0, 1], B([0, 1]), λi так: положим ξn (ω) = 0для ω ∈ [0, 1 − 1/ n] и ξn (ω) = n7 для ω ∈ (1 − 1/ n, 1].Заметим, что сходимость по вероятности имеет место совершенно независимо от того, как именно заданы случайные величины на Ω, посколькуопределяется лишь их распределениями.З а м е ч а н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
