Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 17
Текст из файла (страница 17)
если|ai |pi < ∞. В противномслучае говорят, что математическое ожидание не существует .О п р е д е л е н и е 36. Математическим ожиданием E ξ случайнойвеличины ξ с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения fξ (x) называется число∞ZEξ =x fξ (x) dx,−∞если этот интеграл абсолютно сходится, т. е. если∞Z|x| fξ (x) dx < ∞.−∞Математическое ожидание (иначе называемое средним значением илипервым моментом) имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точки ai массу pi (для дискретного распределения) или «размазав» её с плотностью fξ (x) (для абсолютно90ГЛАВА VIII. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙнепрерывного распределения), то точка E ξ будет координатой «центратяжести» прямой.П р и м е р 47.
Пусть случайная величина ξ равна числу очков, выпадающих при одном подбрасывании кубика. ТогдаEξ =6Xk·k=111= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5.66В среднем при одном подбрасывании кубика выпадает 3,5 очка.П р и м е р 48. Пусть случайная величина ξ — координата точки, брошенной наудачу на отрезок [a, b]. ТогдаZbEξ =abb 2 − a21a+b=x·dx ==b−a2(b − a) a2(b − a)2x2Центр тяжести равномерного распределения есть середина отрезка.§ 2.
Свойства математического ожиданияВо всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.(E1) Для произвольной борелевской функции g : R → RXg(ak )P(ξ = ak ), если распределение ξ дискретно и ряд kабсолютно сходится;∞ZE g(ξ) =g(x)fξ (x) dx,если распределение ξ абсолютно непрерывно и интеграл абсолютно сходится.−∞Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения. Пусть g(ξ) принимаетзначения c1 , c2 , .
. . с вероятностямиXP(g(ξ) = cm ) =P(ξ = ak ) .k: g(ak )=cmТогдаE g(ξ) =Xcm P(g(ξ) = cm ) =m=XmXXm k: g(ak )=cmcmXP(ξ = ak ) =k: g(ak )=cmg(ak ) P(ξ = ak ) =Xkg(ak ) P(ξ = ak ) .§ 2. Свойства математического ожидания91С л е д с т в и е 10. Математическое ожидание ξ существует тогдаи только тогда, когда E |ξ| < ∞.Д о к а з а т е л ь с т в о. Условием существование математического ожидания является абсолютная сходимость ряда или интеграла в определениях 35 и 36. Это в точности есть условие E g(ξ) < ∞ при g(x) = |x|.(E2) Математическое ожидание постоянной равно ей самой: E c = c.(E3) Постоянную можно вынести за знак математического ожидания:E (c ξ) = c E ξ.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Следует из свойства (E1) при g(x) = c x.(E4) Математическое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их математических ожиданий, если только эти математическиеожидания существуют:E (ξ + η) = E ξ + E η.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть случайные величины ξ и η имеют дискретные распределения со значениями xk и yn соответственно. Для борелевской функции g : R2 → R можно доказать свойство, аналогичное (E1)(сделать это ).
Воспользуемся этим свойством для g(x, y) = x + y :XE (ξ + η) =(xk + yn )P(ξ = xk , η = yn ) ===k, nXkXkxkXP(ξ = xk , η = yn ) +nxk P(ξ = xk ) +XnXynXP(ξ = xk , η = yn ) =kyn P(η = yn ) = E ξ + E η.n(E5) Если ξ > 0 п. н., т. е. если P(ξ > 0) = 1, то E ξ > 0.У п р а ж н е н и е . Доказать для дискретного и для абсолютно непрерывного распределений.З а м е ч а н и е . Сокращение «п.
н.» читается как «почти наверное» иозначает «с вероятностью 1 ». По определению, математическое ожидание — это числовая характеристика распределения. Распределение же неизменится от изменения случайной величины на множестве нулевой вероятности. Поэтому, например, даже если ξ(ω) > 0 не при всех ω, а намножестве единичной вероятности, математическое ожидание ξ всё равнонеотрицательно.(E6) Если ξ > 0 п.
н. и при этом E ξ = 0, то ξ = 0 п. н.92ГЛАВА VIII. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙД о к а з а т е л ь с т в о. Это свойство мы докажем, заранее предполагая,что ξ имеет дискретное распределениес неотрицательными значениямиPak > 0. Равенство E ξ =ak pk = 0 означает, что все слагаемые в этойсумме равны нулю, т. е. все вероятности pk нулевые, кроме вероятности,соответствующей значению ak = 0.Из свойств (E5) и (E6) следуют полезные утверждения.С л е д с т в и е 11. Если ξ 6 η п. н., то E ξ 6 E η.С л е д с т в и е 12. Если a 6 ξ 6 b п. н., то a 6 E ξ 6 b.(E7) Если ξ и η независимы и их математические ожидания существуют, то E (ξη) = E ξ E η.Д о к а з а т е л ь с т в о.
В дискретном случаеXE (ξη) =(xk yn ) P(ξ = xk , η = yn ) ==k, nXxk P(ξ = xk )Xyn P(η = yn ) = E ξ E η.nkЗ а м е ч а н и е . Обратное утверждение к свойству (E7) неверно: из равенства E (ξη) = E ξ E η не следует независимость величин ξ и η.П р и м е р 49. Пусть ξ принимает значения 0 и ±1 с вероятностямипо 1/3 каждое, и η = ξ2 . Это зависимые случайные величины:P(ξ = 1, η = 0) = P(ξ = 1, ξ2 = 0) = 0 6=11· = P(ξ = 1) P(η = 0).33Однако E ξ = 0 и E (ξη) = E (ξ3 ) = 0, поэтому E (ξη) = E ξ E η.= U0, 2π , и пусть ξ = cos ϕ и η = sin ϕ —П р и м е р 50.
Пусть ϕ ⊂заведомо зависимые случайные величины. Например: 1111P ξ > √ , η > √ = 0 6= P ξ > √ P η > √ > 0.2222Но математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий из-за симметричности распределений ξ, η и ξηотносительно нуля. Действительно, по свойству (E1) имеемZ 2πZ 2π11Eξ =cos x dx = 0, E η =sin x dx = 0,02πE ξη =Z 2π002π1cos x sin x dx = 0 = E ξ E η.2π§ 3.
Дисперсия и моменты старших порядков93§ 3. Дисперсия и моменты старших порядковО п р е д е л е н и е 37. Пусть E |ξ|k < ∞. Число E ξk называется моментом порядка k или k -м моментом случайной величины ξ, число E |ξ|k называется абсолютным k -м моментом, E (ξ−E ξ)k называется центральнымk -м моментом, и E |ξ − E ξ|k — абсолютным центральным k -м моментомслучайной величины ξ. Число D ξ = E (ξ − E ξ)2 (центральный моментвторого порядка) называется дисперсией случайной величины ξ.П р и м е р 51. Пусть, скажем, случайная величина ξ принимает значение 0 с вероятностью 0,99999 и значение 100 с вероятностью 0,00001.Посмотрим, как моменты разных порядков реагируют на большие, но маловероятные значения случайной величины:EξE ξ2E ξ4E ξ6====0 · 0,99999 + 100 · 0,00001 = 0,001,02 · 0,99999 + 1002 · 0,00001 = 0,1,04 · 0,99999 + 1004 · 0,00001 = 1 000,06 · 0,99999 + 1006 · 0,00001 = 10 000 000.П р и м е р 52.
Дисперсия D ξ = E (ξ − E ξ)2 есть «среднее значениеквадрата отклонения случайной величины ξ от своего среднего». Посмотрим, за что эта величина отвечает.Пусть случайная величина ξ принимает значения ±1 с равными вероятностями, а случайная величина η — значения ±10 с равными вероятностями. Тогда E ξ = E η = 0, поэтому D ξ = E ξ2 = 1, D η = E η2 = 100.Говорят, что дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания.√О п р е д е л е н и е 38. Число σ = D ξ называют среднеквадратическим отклонением случайной величины ξ.Чтобы прояснить связь моментов разных порядков, докажем нескольконеравенств. Во-первых, получим очевидное утверждение, обеспечивающеесуществование моментов меньших порядков, если существуют моментыболее высокого порядка.Т е о р е м а 31.
Если существует момент порядка t > 0 случайнойвеличины ξ, то существуют и её моменты порядка s при 0 < s < t.Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого числа x верно неравенство|x|s 6 max{ |x|t , 1} 6 |x|t + 1.Действительно, |x|s 6 |x|t при |x| > 1, и |x|s 6 1 при |x| 6 1.94ГЛАВА VIII. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙИз этого неравенства следует, что |ξ(ω)|s 6 |ξ(ω)|t + 1 для всех ω. Носледствие 11 позволяет из неравенства для случайных величин получитьтакое же неравенство для их математических ожиданий:E |ξ|s 6 E |ξ|t + 1.Момент порядка t существует, т.
е. E |ξ|t < ∞. Поэтому и E |ξ|s < ∞.Докажем ещё одно чрезвычайно полезное неравенство.Т е о р е м а 32 (н е р а в е н с т в о Й е н с е н а15 ). Пусть вещественнозначная функция g выпукла («выпукла вниз», т. е. её надграфикесть выпуклое множество). Тогда для любой случайной величины ξс конечным первым моментом верно неравенство: E g(ξ) > g(E ξ). Длявогнутых функций знак неравенства меняется на противоположный.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Нам понадобится следующее свойство.Л е м м а 6. Пусть функция g выпукла. Тогда для всякого x0 найдётся число c(x0 ) такое, что при всех xg(x) > g(x0 ) + c(x0 )(x − x0 ).Это свойство очевидно и означает, что график выпуклой функции лежит полностью выше любой из касательных к этому графику.Возьмём в условиях леммы x0 = E ξ, x = ξ. Тогдаg(ξ) > g(E ξ) + c(E ξ)(ξ − E ξ).Вычислим математическое ожидание обеих частей неравенства. Так какE (ξ − E ξ) = 0, и неравенство между математическими ожиданиями сохраняется по следствию 11, то E g(ξ) > g(E ξ).Следующее неравенство связывает моменты разных порядков.С л е д с т в и е 13. Если E |ξ|t < ∞, то для любого 0 < s < tqqtssE |ξ| 6 E |ξ|tД о к а з а т е л ь с т в о.
Поскольку 0 < s < t, то g(x) = |x|t/s — выпуклая функция. По неравенству Йенсена для η = |ξ|s ,(E |ξ|s )t/s = (E η)t/s = g(E η) 6 E g(η) = E |η|t/s = E |ξ|s·t/s = E |ξ|t .Осталось извлечь из обеих частей корень степени t.15Johan Ludwig William Valdemar Jensen (8.05.1859—5.03.1925, Denmark).95§ 4. Свойства дисперсииИз неравенства Йенсена вытекают, например, неравенства:E eξ > eE ξ ,E ln ξ 6 ln(E ξ),E ξ2 > (E ξ)2 ,E1 > 1 ,ξEξE |ξ| > |E ξ|,ppE ξ 6 E ξ.Последние три неравенства верны для положительных ξ.§ 4. Свойства дисперсииСвойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
