Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Например,вектор (ξ, ξ) принимает значения только на диагонали в R2 и уже поэтому не имеет плотности распределения (его распределение сингулярно).Обратное же свойство, как показывает следующая теорема, всегда верно: если совместное распределение абсолютно непрерывно, то и частныераспределения тоже таковы.Т е о р е м а 28.
Если случайные величины ξ1 и ξ2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение с плотностью f (x, y), то ξ1и ξ2 в отдельности также имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностями:∞∞ZZfξ1 (x) =f (x, y) dy; fξ2 (y) =f (x, y) dx.−∞−∞Для n > 2 плотности случайных величин ξ1 , . . . , ξn по плотностиих совместного распределения f (x1 , . . .
, xn ) находятся интегрированиемфункции f по всем «лишним» координатам.Д о к а з а т е л ь с т в о. Например, в силу равенств (16), ∞xZ1xZ1ZFξ1 (x1 ) = lim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = f (x, y) dydx = fξ1 (x) dx.x2 →+∞−∞ −∞−∞79§ 3. Примеры многомерных распределенийАналогично устанавливается и справедливость второго равенства.§ 3. Примеры многомерных распределенийПриведём два наиболее употребительных примера абсолютно непрерывных многомерных распределений.Равномерное распределение.
Пусть S ⊂ Rn — борелевское множество с конечной лебеговой мерой λ(S). Говорят, что вектор (ξ1 , . . . , ξn )имеет равномерное распределение в области S, если плотность совместного распределения fξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) постоянна в области S и равнанулю вне этой области:( 1, если (x1 , . . . , xn ) ∈ S,(17)fξ1 , ...,ξn (x1 , . .
. , xn ) = λ(S)0,если (x1 , . . . , xn ) 6∈ S.Убедимся, что эта функция является плотностью распределения:ZZ11fξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn =dx1 . . . dxn =λ(S) = 1.λ(S)Rnλ(S)SКак и в одномерном случае, вектор (ξ1 , . . . , ξn ) с равномерным распределением в области S есть просто вектор координат точки, брошеннойнаудачу в область S.Многомерное нормальное распределение. Пусть Σ > 0 — положительно определённая симметричная матрица (n × n), матрица Σ−1 —обратная к Σ, и ~a ∈ Rn — n -мерный вектор-столбец.
Транспонированныйвектор мы будем обозначать так: ~aT = (a1 , . . . , an ).Говорят, что вектор (ξ1 , . . . , ξn ) имеет многомерное нормальное распределение N~a, Σ с вектором средних ~a и матрицей ковариаций Σ, еслиплотность совместного распределения fξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) равнаno11T−1f~ξ (~x) = √x − ~a) · Σ · (~x − ~a) .√ n exp − (~detΣ2π2Мы не будем проверять, что эта функция является плотностью совместного распределения, поскольку для этого требуется умение заменять переменные в многомерном интеграле. Выражение (~x −~a)T Σ−1 (~x −~a) в показателе экспоненты является квадратичной формой от переменных (xi − ai ).Действительно, для матрицы B = Σ−1 с элементами bij имеемT(~x − ~a) B(~x − ~a) =n XnXi=1 j=1bij (xi − ai )(xj − aj ).80ГЛАВА VII.
МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯПодробно с многомерным нормальным распределением мы познакомимся в курсе математической статистики, и там же выясним, что означаютслова «с вектором средних ~a и матрицей ковариаций Σ ».В частном случае, когда Σ — диагональная матрица с элементами2σ1 , .
. . , σ2n на диагонали, совместная плотность превращается в произведение плотностей нормальных случайных величин:()nX111f~ξ (~x) =(xi − ai )2 =√ n exp −2σ1 . . . σn=1√σ1 2π2π−e(x1 −a)22σ212· ... ·i=11√σn 2πσi−e(xn −a)22σ2n .Скоро мы увидим, что это равенство означает независимость случайныхвеличин ξ1 , . . . , ξn .§ 4. Роль совместного распределенияЕсли нам известно совместное распределение двух или нескольких случайных величин, становится возможным отыскать распределение суммы,разности, произведения, частного, иных функций от этих случайных величин.
Заметим (но не будем доказывать), что применение к набору случайных величин многих привычных нам функций не выводит нас из классаслучайных величин. Интересующийся читатель может попробовать доказать, например, что сумма двух случайных величин есть снова случайнаявеличина.Следующие два примера показывают, что знания только частных распределений двух случайных величин недостаточно для отыскания распределения, например, суммы этих величин. Для этого необходимо знать ихсовместное распределение.
Распределение суммы (и любой иной функции)не определяется, вообще говоря, распределениями слагаемых: при однихи тех же распределениях слагаемых распределение суммы может бытьразным в зависимости от совместного распределения слагаемых.П р и м е р 41. Рассмотрим две случайные величины ξ и η с одними тем же распределением Бернулли с параметром p = 1/2 и следующейтаблицей совместного распределения: для 0 6 r 6 1/2 положимP(ξ = 0, η = 0) = r,P(ξ = 1, η = 0) =1− r,2P(ξ = 0, η = 1) =1− r,2P(ξ = 1, η = 1) = r,§ 5.
Независимость случайных величин81Если r = 0, то P(ξ + η = 1) = P(ξ = 0, η = 1) + P(ξ = 1, η = 0) = 1,т. е. распределение ξ + η вырождено в точке 1.Если r = 1/2, то P(ξ + η = 0) = P(ξ + η = 2) = 1/2, т. е. ξ + ηимеет невырожденное дискретное распределение, принимая значения 0и 2 с равными вероятностями.Взяв r = 1/4, получим P(ξ + η = 0) = 1/4, P(ξ + η = 2) = 1/4 и= B 1.P(ξ + η = 1) = 1/2, т. е. ξ + η ⊂2, 2Если взять r = 1/3, получим P(ξ + η = 0) = 1/3, P(ξ + η = 1) = 1/3и P(ξ + η = 2) = 1/3, т.
е. ξ + η принимает значения 1, 2 и 3 с равнымивероятностями (это не биномиальное распределение).Ещё раз отметим, что частные распределения ξ и η от r не зависят.Распределение суммы меняется вместе с совместным распределением ξи η при неизменных частных распределениях величин ξ и η.П р и м е р 42. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение.Возьмём η = −ξ. Тогда η тоже имеет стандартное нормальное распределение, а сумма ξ + η = 0 имеет вырожденное распределение.Возьмём теперь η = ξ.
Тогда сумма ξ + η = 2ξ имеет уже не вырожденное, а нормальное распределение N0, 4 (проверить).Распределение функции нескольких случайных величин может определяться их частными распределениями только если совместное распределение этих случайных величин определяется их частными распределениями.Так бывает для независимых случайных величин.§ 5. Независимость случайных величинО п р е д е л е н и е 31.
Случайные величины ξ1 , . . . , ξn называют независимыми (в совокупности), если для любого набора борелевских множеств B1 , . . . , Bn ∈ B(R) имеет место равенствоP(ξ1 ∈ B1 , . . . , ξn ∈ Bn ) = P(ξ1 ∈ B1 ) · . . . · P(ξn ∈ Bn ).О п р е д е л е н и е 32. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn называют попарно независимыми, если независимы любые две из них.Оба этих определения годятся не только для конечного набора случайных величин, но и для их бесконечной последовательности.З а м е ч а н и е . Независимость случайных величин в совокупности влечёт попарную независимость.
Достаточно в определении независимости вкачестве «лишних» борелевских множеств взять R.82ГЛАВА VII. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯП р и м е р 43. Вспомним пример Бернштейна 31. Свяжем с событиямиA, B и C случайные величины ξ1 , ξ2 и ξ3 — индикаторы этих событий.Например, ξ1 = 1, если A произошло, и ξ1 = 0, если A не произошло.Случайные величины ξ1 , ξ2 и ξ3 независимы попарно (проверить), нозависимы в совокупности:14P(ξ1 = 1, ξ2 = 1, ξ3 = 1) = P(A ∩ B ∩ C) = ,18P(ξ1 = 1) P(ξ2 = 1) P(ξ3 = 1) = P(A) P(B) P(C) = .Попарная независимость случайных величин встречается редко.
Поэтому всюду, где мы будем употреблять термин «независимы», будет подразумеваться независимость в совокупности.Определение независимости можно сформулировать в терминах функций распределения.О п р е д е л е н и е 33. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы(в совокупности), если для любых x1 , .
. . , xn имеет место равенствоFξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) = Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ).Описать независимость случайных величин с дискретным распределением можно с помощью таблицы их совместного распределения.О п р е д е л е н и е 34. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn с дискретнымраспределением независимы (в совокупности), если для любых чисел a1 , . .
. , an имеет место равенствоP(ξ1 = a1 , . . . , ξn = an ) = P(ξ1 = a1 ) · . . . · P(ξn = an ).У п р а ж н е н и е . Доказать, что из независимости в смысле определения 31 следует независимость в смысле определения 33.У п р а ж н е н и е . Доказать, что для случайных величин с дискретнымраспределением определения 31 и 34 эквивалентны.Для случайных величин с абсолютно непрерывными распределениямисправедливо утверждение.Т е о р е м а 29. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn с абсолютно непрерывными распределениями независимы (в совокупности) тогда и только тогда, когда плотность их совместного распределения существуети равна произведению плотностей, т. е.
для любых x1 , . . . , xn имеетместо равенство: fξ1 ,..., ξn (x1 , . . . , xn ) = fξ1 (x1 ) · . . . · fξn (xn ).З а м е ч а н и е . Плотность распределения определяется с точностью доеё значений на множестве нулевой лебеговой меры (распределение не меняется от изменения плотности на множестве нулевой меры).
Поэтому ра-§ 6. Функции от двух случайных величин83венство плотности совместного распределения и произведения плотностейможно понимать тоже как равенство «почти всюду».Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы, т. е. для любых x1 , .
. . , xnFξ1 ,..., ξn (x1 , . . . , xn ) = Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ).Но произведение функций распределения записывается произведением интегралов, или одним n -мерным интегралом:xZ1Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ) =xZnfξ1 (s1 ) ds1 · . . . ·−∞Zx1=−∞xZn...−∞fξn (sn ) dsn =fξ1 (s1 ) . . . fξn (sn ) ds1 . . . dsn = Fξ1 ,..., ξn (x1 , . .
. , xn ).−∞Мы представили функцию совместного распределения в виде интегралаот плотности совместного распределения, которая оказалась равной произведению плотностей частных распределений.Пусть теперь известно, что плотность совместного распределения существует и распадается в произведение плотностей. В таком случае функциясовместного распределения распадается в произведение функций распределения:xZx1ZnFξ1 ,..., ξn (x1 , . . . , xn ) = . .
.fξ1 (s1 ) . . . fξn (sn ) ds1 . . . dsn =−∞−∞= Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ),т. е. случайные величины независимы согласно определению 33.§ 6. Функции от двух случайных величинПусть ξ1 и ξ2 — случайные величины с плотностью совместного распределения fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ), и задана борелевская функция g : R2 → R.Требуется найти функцию (а если существует, то и плотность) распределения случайной величины η = g(ξ1 , ξ2 ).Пользуясь тем, что вероятность случайному вектору попасть в некоторую область можно вычислить как объем под графиком плотности распределения вектора над этой областью, сформулируем утверждение.84ГЛАВА VII. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯТ е о р е м а 30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
