Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть ξ имеет функцию распределения Fξ (x)и плотность распределения fξ (x), и постоянная a отлична от нуля.Тогда случайная величина η = aξ + b имеет плотность распределенияx−b1fη (x) =fξ.|a|a73§ 2. Распределения функций от случайных величинД о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала a > 0.(x−b)/aZx−bx−bFη (x) = P(aξ + b < x) = P ξ <= Fξ=afξ (t) dt.a−∞Сделаем замену переменной в последнем интеграле. Переменную t замеdyy−b. Тогда dt =, нижняяним на новую переменную y так: t =aaграница области интегрирования t = −∞ перейдёт в y = −∞, верхняяx−bперейдёт в y = x.
Получимграница t =aZxFη (x) =1fa ξy−bady.−∞Функция под интегралом есть искомая плотность распределения fη (y)случайной величины η = aξ + b при a > 0.Пусть теперь a < 0.+∞Zx−bFη (x) = P(aξ + b < x) = P ξ >=fξ (t) dt.a(x−b)/aСделаем ту же замену переменной. Но теперь граница интегрированияt = +∞ перейдёт в y = −∞, поскольку a < 0. Получим−∞ZxZ1y−by−b1Fη (x) =fξdy =fξdy.a|a|aa−∞xФункция под интегралом — плотность распределения fη (y) случайной величины η = aξ + b при a < 0.Из теоремы 25 следуют уже знакомые нам утверждения.= N0,1 , то η = σξ + a ⊂= Na,σ2 .С л е д с т в и е 4.
Если ξ ⊂Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно,(x−a)21x−a1−fη (x) = fξ= √ e 2σ2 .σσσ 2π= Na,σ2 , тоС л е д с т в и е 5. Если ξ ⊂ξ−aσ= N0,1 .⊂= U0, 1 , то aξ + b ⊂= Ub, a+b при a > 0.С л е д с т в и е 6. Если ξ ⊂= Eα , то αξ ⊂= E1 .С л е д с т в и е 7. Если ξ ⊂74ГЛАВА VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНКвантильное преобразование. Полезно уметь строить случайныевеличины с заданным распределением по равномерно распределённой случайной величине (например, по результату датчика случайных чисел).Т е о р е м а 26. Пусть функция распределения F (x) = Fξ (x) непрерывна. Тогда случайная величина η = F (ξ) имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Найдём функцию распределения случайной величины η. Заметим, что всегда 0 6 η 6 1. Предположим сначала, чтофункция F всюду возрастает. Тогда она обратима, и поэтомуесли x 6 0,0,Fη (x) = P(F (ξ) < x) = P(ξ < F −1 (x)), если x ∈ (0, 1),(15)1,если x > 1.= U0,1 .Но P(ξ < F −1 (x)) = F F −1 (x) = x, т. е. η ⊂Если функция F не является всюду возрастающей, то у неё есть участки постоянства. В этом случае просто обозначим через F −1 (x) самуюлевую точку из замкнутого множества {t | F (t) = x}.
При таком понимании «обратной» функции равенства (15) остаются справедливыми вместес равенством P(ξ < F −1 (x)) = F F −1 (x) = x для любого x ∈ (0, 1).Обратим теорему 26. Следующее утверждение верно не только длянепрерывных, но для любых функций распределения F. Обозначим черезF −1 (x) точную нижнюю грань множества тех t, для которых F (t) > x :F −1 (x) = inf{t | F (t) > x}.Для непрерывной функции F это определение «обратной функции» совпадает с введённым в доказательстве теоремы 26.= U0,1 , а F — произвольная функция расТ е о р е м а 27. Пусть η ⊂пределения. Тогда случайная величина ξ = F −1 (η ) («квантильное преобразование» над η ) имеет функцию распределения F.= U0, 1 . Верны соотношения:С л е д с т в и е 8. Пусть η ⊂−1α= Eα ,ln(1 − η) ⊂= Ca,σ ,a + σ tg(πη − π/2) ⊂= N0,1 .Φ−10,1 (η) ⊂У п р а ж н е н и е .
Доказать теорему 27 и следствие 8, а также продолжить список соотношений. Как получить случайную величину с распределением Парето? А с нормальным распределением? (Указание: так еёникто не получает).Г Л А В А VIIМНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯНе следует множить сущности сверх необходимости.Принцип «бритва Оккам໧ 1.
Совместное распределениеПусть случайные величины ξ1 , . . . , ξn заданы на одном вероятностномпространстве hΩ, F, Pi.О п р е д е л е н и е 28. ФункцияFξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) = P(ξ1 < x1 , . . . , ξn < xn )называется функцией распределения вектора (ξ1 , . . . , ξn ) или функциейсовместного распределения случайных величин ξ1 , . . . , ξn .Перечислим свойства функции совместного распределения. Для простоты обозначений ограничимся вектором (ξ1 , ξ2 ) из двух величин.(F0) Для любых x1 , x2 верно неравенство: 0 6 Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) 6 1.(F1) Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) не убывает по каждой координате вектора (x1 , x2 ).(F2) Для любого i = 1, 2 существует lim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = 0.
Сущеxi →−∞ствует двойной пределlimlim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = 1.x1 →+∞ x2 →+∞(F3) Функция Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) по каждой координате вектора (x1 , x2 )непрерывна слева.(F4) Чтобы по функции совместного распределения восстановитьфункции распределения ξ1 и ξ2 в отдельности, следует устремить мешающую переменную к +∞ :lim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = Fξ2 (x2 ),x1 →+∞lim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = Fξ1 (x1 ).x2 →+∞(16)Доказательство всех этих свойств совершенно аналогично одномерному случаю.
Но теперь свойств (F0)—(F3) не хватает для описания класса функций совместного распределения. Иначе говоря, выполнение этих76ГЛАВА VII. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯсвойств для некоторой функции F : R2 → R не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.У п р а ж н е н и е . Доказать, что функция(0, если x1 6 0 или x2 6 0 или x1 + x2 6 1,F (x1 , x2 ) =1, если одновременно x1 > 0, x2 > 0, x1 + x2 > 1удовлетворяет всем свойствам (F0)—(F3), но не является функцией распределения никакого вектора (ξ1 , ξ2 ) хотя бы потому, что, найдись такойвектор, найдётся и прямоугольник [a1 , b1 ) × [a2 , b2 ), «вероятность» попасть в который (вычисленная с помощью этой якобы «функции распределения») отрицательна: P(a1 6 ξ1 < b1 , a2 6 ξ2 < b2 ) < 0.Легко убедиться (убедиться, что легко), что вероятность вектору(ξ1 , ξ2 ) попасть в прямоугольник [a1 , b1 ) × [a2 , b2 ) по функции распределения этого вектора вычисляется так: P(a1 6 ξ1 < b1 , a2 6 ξ2 < b2 ) == F (b1 , b2 ) + F (a1 , a2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ).Дополнительно к свойствам (F0)—(F3) от функции F требуют неотрицательности этого выражения (при любых a1 < b1 , a2 < b2 ).§ 2.
Типы многомерных распределенийОграничимся рассмотрением двух типичных случаев: когдас о в м е с т н о е распределение координат случайного вектора (ξ1 , ξ2 )либо дискретно, либо абсолютно непрерывно. Заметим, что сингулярныесовместные распределения тоже не являются редкостью, в отличие от одномерного случая: стоит бросить точку наудачу на отрезок на плоскости,и мы получим сингулярное совместное распределение (доказать).О п р е д е л е н и е 29. Случайные величины ξ1 , ξ2 имеют дискретноесовместное распределение, если существует конечный или счётный наборпар чисел {ai , bj } такой, что∞ X∞XP(ξ1 = ai , ξ2 = bj ) = 1.i=1 j=1Таблицу, на пересечении i -й строки и j -го столбца которой стоит вероятность P(ξ1 = ai , ξ2 = bj ), называют таблицей совместного распределенияслучайных величин ξ1 и ξ2 .Таблицы распределения каждой из случайных величин ξ1 , ξ2 в отдельности (таблицы частных, или маргинальных распределений) восстанавли-77§ 2.
Типы многомерных распределенийваются по таблице совместного распределения с помощью формулP(ξ1 = ai ) =∞XP(ξ1 = ai , ξ2 = bj ),P(ξ2 = bj ) =j=1∞XP(ξ1 = ai , ξ2 = bj ).i=1Так, первое равенство следует из того, что набор {ξ2 = b1 }, {ξ2 = b2 }, . . .есть полная группа событий, и поэтому событие {ξ1 = ai } раскладываетсяв объединение попарно несовместных событий:{ξ1 = ai } =∞[{ξ1 = ai , ξ2 = bj }.j=1О п р е д е л е н и е 30. Случайные величины ξ1 , ξ2 имеют абсолютнонепрерывное совместное распределение, если существует неотрицательнаяфункция fξ1 , ξ2 (x, y) такая, что для любого множества B ∈ B(R2 ) имеетместо равенствоZZP((ξ1 , ξ2 ) ∈ B) =fξ1 , ξ2 (x, y) dx dy.BЕсли такая функция fξ1 , ξ2 (x, y) существует, она называется плотностьюсовместного распределения случайных величин ξ1 , ξ2 .f (x, y)yxBРис.
12. Плотность в R2Достаточно, если двойной интеграл по множеству B читатель будетпонимать как объём области под графиком функции fξ1 , ξ2 (x, y) над множеством B в плоскости переменных (x, y), как показано на рис. 12.Плотность совместного распределения обладает такими же свойствами,как и плотность распределения одной случайной величины:(f1) неотрицательность: fξ1 , ξ2 (x, y) > 0 для любых x, y ∈ R;78ГЛАВА VII. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯZZfξ1 , ξ2 (x, y) dx dy = 1.(f2) нормированность:R2Справедливо и обратное: любая функция, обладающая этими свойствами, является плотностью некоторого совместного распределения.
Доказательство этого факта ничем не отличается от одномерного случая.Если случайные величины ξ1 , ξ2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, то для любых x1 , x2 имеет место равенствоxxZ1Z2Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = P(ξ1 < x1 , ξ2 < x2 ) =fξ1 , ξ2 (x, y) dy dx.−∞−∞По функции совместного распределения его плотность находится каксмешанная частная производная: fξ1 , ξ2 (x, y) =∂2F(x, y) для по∂x∂y ξ1 , ξ2чти всех (x, y).Из существования плотностей ξ1 и ξ2 не следует абсолютная непрерывность совместного распределения этих случайных величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
