Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 11
Текст из файла (страница 11)
6. Область DB = {ξ ∈ B}Здесь область DB есть криволинейная трапеция с основанием B подграфиком плотности (рис. 6). По определению, равенство (11) означает,что функция f является плотностью распределения величины ξ.Отметим полезное свойство абсолютно непрерывных распределений.С в о й с т в о 7. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то P(ξ = x) = 0 для любого x ∈ R.Д о к а з а т е л ь с т в о сразу следует из определения 24 и следующегоза ним замечания: интеграл по области интегрирования, состоящей из одной точки, равен нулю.Можно выделить ещё один особый класс распределений, сосредоточенных, в отличие от абсолютно непрерывных распределений, на множественулевой меры Лебега, но не имеющих, в отличие от дискретных, атома нив одной точке этого множества.О п р е д е л е н и е 25.
Случайная величина ξ имеет сингулярное распределение, если существует борелевское множество B с нулевой лебеговой мерой λ(B) = 0 такое, что P(ξ ∈ B) = 1, но при этом P(ξ = x) = 0для любой точки x ∈ B.Можно отметить следующее свойство сингулярных распределений.Множество B, на котором сосредоточено всё распределение, не можетсостоять из конечного или счётного числаP точек.
Действительно, если Bконечно или счётно, то P(ξ ∈ B) =P(ξ = xi ), где суммирование ведётся по всем xi ∈ B. Последняя сумма равна нулю как сумма счётногочисла нулей, что противоречит предположению P(ξ ∈ B) = 1.Таким образом, любое сингулярное распределение сосредоточено нанесчётном множестве с нулевой мерой Лебега. Примером такого множе-56ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯства может служить канторовское совершенное множество, а примеромтакого распределения — лестница Кантора9 (выяснить, что это).Наконец, распределение может быть выпуклой линейной комбинациейдискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного распределений.О п р е д е л е н и е 26.
Случайная величина ξ имеет смешанное распределение, если найдутся такие случайные величины ξ1 , ξ2 и ξ3 — с дискретным, абсолютно непрерывным и сингулярным распределениями соответственно (или такие три распределения), и числа p1 , p2 , p3 ∈ [0, 1),p1 + p2 + p3 = 1, что для любого B ∈ B(R) имеет место равенствоP(ξ ∈ B) = p1 P(ξ1 ∈ B) + p2 P(ξ2 ∈ B) + p3 P(ξ3 ∈ B).По заданным на одном вероятностном пространстве случайным величинам ξ1 , ξ2 , ξ3 и числам p1 + p2 + p3 = 1 можно построить случайнуювеличину со смешанным распределением так: пусть ϕ — случайная величина на том же вероятностном пространстве с дискретным распределениемP(ϕ = k) = pk для k = 1, 2, 3, и пусть при любом k и любом B ∈ B(R)события {ϕ = k} и {ξk ∈ B} независимы.Построим случайную величину ξ так: если ϕ(ω) = k, то положимξ(ω) = ξk (ω).
Её распределение найдём по формуле полной вероятности:P(ξ ∈ B) = P(ξ1 ∈ B, ϕ = 1) + P(ξ2 ∈ B, ϕ = 2) + P(ξ3 ∈ B, ϕ = 3).В силу независимости событий под знаком каждой из вероятностей,P(ξ ∈ B) = p1 P(ξ1 ∈ B) + p2 P(ξ2 ∈ B) + p3 P(ξ3 ∈ B).Никаких других видов распределений, кроме перечисленных выше, не существует (доказано Лебегом).§ 3. Функция распределенияОписание распределения набором вероятностей P(ξ ∈ B) не оченьудобно: слишком много существует борелевских множеств.
Мы описалидискретные распределения таблицей распределения, абсолютно непрерывные — плотностью распределения. Попробуем поискать какой-нибудь универсальный способ описать любое возможное распределение.Можно поставить вопрос иначе: распределение есть набор вероятностей попадания в любые борелевские множества на прямой. Нельзя лиобойтись знанием вероятностей попадания в какой-нибудь меньший набормножеств на прямой? Борелевская σ -алгебра B(R) порождается интервалами (равно как и лучами (−∞, x) ), поэтому можно ограничиться только9Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3.03.1845, Russia — 6.01.1918, Germany).§ 4.
Примеры дискретных распределений57вероятностями попадания в такие лучи для всех x ∈ R. А уже с их помощью можно будет определить и вероятность попасть в любое борелевскоемножество.З а м е ч а н и е . Можно с таким же успехом ограничиться набором вероятностей попадания в интервалы (−∞, x], или в (x, ∞), или в [x, ∞).О п р е д е л е н и е 27. Функцией распределения случайной величины ξназывается функция Fξ : R → [0, 1], при каждом x ∈ R равная вероятности случайной величине ξ принимать значения, меньшие x :Fξ (x) = P(ξ < x) = P{ω : ξ(ω) < x}.Перечислим основные дискретные и абсолютно непрерывные распределения и найдём их функции распределения.§ 4. Примеры дискретных распределенийВырожденное распределение. Говорят, что случайная величина ξ= Ic , еслиимеет вырожденное распределение в точке c ∈ R, и пишут: ξ ⊂ξ принимает единственное значение c с вероятностью 1, т.
е. P(ξ = c) = 1.Функция распределения ξ имеет вид(0, если x 6 c,Fξ (x) = P(ξ < x) = P(c < x) =1, если x > c.Распределение Бернулли. Говорят, что случайная величина ξ име= Bp , если ξет распределение Бернулли с параметром p, и пишут: ξ ⊂принимает значения 1 и 0 с вероятностями p и 1 − p соответственно.Случайная величина ξ с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха p : ни одного успехаили один успех.Функция распределения случайной величины ξ такова:если x 6 0,0,Fξ (x) = P(ξ < x) = 1 − p, если 0 < x 6 1,1,если x > 1.Биномиальное распределение.
Говорят, что случайная величина ξимеет биномиальное распределение с параметрами n ∈ N и p ∈ (0, 1),= Bn,p , если ξ принимает значения k = 0, 1, . . . , n с веи пишут: ξ ⊂роятностями P(ξ = k) = Cnk pk (1 − p)n−k . Случайная величина с такимраспределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бер-58ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯнулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения ξ имеет видξP01(1 − p)n np(1 − p)n−1......kCnk pk (1 − p)n−k......n.pnНапример, количество выпавших шестёрок при двадцати подбрасыванияхправильной игральной кости имеет биномиальное распределение B20, 1 .6Распределение Бернулли совпадает с распределением B1, p .Геометрическое распределение. Говорят, что случайная величинаτ имеет геометрическое распределение с параметром p ∈ (0, 1), и пишут= Gp , если τ принимает значения k = 1, 2, 3, .
. . с вероятностямиτ⊂P(τ = k) = p(1 − p)k−1 . Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения τ имеет видτP1p2p(1 − p)......kp(1 − p)k−1.......Распределение Пуассона. Говорят, что случайная величина ξ имеет= Πλ , если ξраспределение Пуассона с параметром λ > 0, и пишут: ξ ⊂принимает значения k = 0, 1, 2, . .
. с вероятностями P(ξ = k) =λk −λe .k!Распределение Пуассона возникло в теореме Пуассона (с. 47) как предельное распределение для числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли, когда число испытаний n увеличивается, а вероятность успеха уменьшается обратно пропорционально n. Поэтому распределение Пуассона называют иначе распределением числа редких событий.Гипергеометрическое распределение. Говорят, что случайная величина ξ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, Nи K, где K 6 N, n 6 N, если ξ принимает целые значения k такие,что 0 6 k 6 K, 0 6 n − k 6 N − K, с вероятностями P(ξ = k) =k C n−k / C n . Случайная величина с таким распределением имеет= CKNN −Kсмысл числа белых шаров среди n шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей K белых шаров и N − K не белых.У п р а ж н е н и е .
Построить графики функций распределения для вырожденного распределения, распределений Бернулли и Пуассона, биномиального и геометрического распределений.59§ 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений§ 5. Примеры абсолютно непрерывных распределенийРавномерное распределение. Говорят, что ξ имеет равномерное= Ua,b , если плотность расраспределение на отрезке [a, b], и пишут: ξ ⊂пределения ξ постоянна на отрезке [a, b] и равна нулю вне него:( 1, если x ∈ [a, b],fξ (x) = b − a0,если x 6∈ [a, b].Площадь под графиком этой функции равна единице, fξ (x) > 0. Поэтомуfξ (x) является плотностью распределения.= Ua,b имеет смысл координаты точки, выСлучайная величина ξ ⊂бранной наудачу на отрезке [a, b].
Вычислим по определению 24 функцию распределения случайной величины ξ : xR0 dt,x < a,−∞Zx RaRx 10 dt +dt,a 6 x 6 b,Fξ (x) = P(ξ < x) = fξ (t) dt =b−aa−∞−∞RaRb 1Rx0 dt +dt + 0 dt, x > b.a b−a−∞bПолучим следующую непрерывную функцию распределения:если x < a;0,x−a, если a 6 x 6 bFξ (x) =b−a1,если x > b.Графики плотности и функции распределения равномерного распределения на отрезке [a, b] изображены на рис. 7.F (x)f (x)11(b−a)abxabxРис. 7. Плотность и функция распределения Ua, bПоказательное распределение. Говорят, что ξ имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром α > 0, и пишут:60ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ= Eα , если ξ имеет следующую плотность распределения:ξ⊂(0,fξ (x) =αe−αx ,если x < 0,если x > 0.Функция распределения случайной величины ξ непрерывна:(0,если x < 0,Fξ (x) = P(ξ < x) =1 − e−αx , если x > 0.Графики плотности и функции распределения показательного распределения с параметром α приведены на рис.
8.f (x)F (x)1αxxРис. 8. Плотность и функция распределения EαПлотность показательного распределения равна нулю на отрицательной полуоси, поэтому вероятность события {ξ < 0} нулевая — случайнаявеличина с показательным распределением не может быть отрицательна.К тому же плотность отлична от нуля на всей положительной полуоси, поэтому случайная величина с показательным распределением может принимать сколь угодно большие положительные значения: для всякого xвероятность события {ξ > x} не равна нулю.Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «нестарения»(и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).= Eα .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
