Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 37
Текст из файла (страница 37)
волна, распространяющаяся вниз по потоку и имеющая амплитуду В, имеет меньшую интенсивность, чем волна, распространяющаяся вверх по потоку. В случае, когда они одинаковы, Р,=О (или й=1,) и амплитуда в верхнем слое не зависит от г. Это может соответствовать стоячей волне над уровнем земли, если ч;й=я/2, так как в этом случае Ь при х= — Ь обращается в нуль.
Однако такая ситуация вряд ли может реализоваться на практике, поскольку она требует, чтобы выполнялось условие ч 1 ч ч ч 4Ь2 ч1 1 й 1! (5.11.6) налагаемое на профиль потока, а это соответствует предельному случаю уравнения (5.10.26). Незахваченные волны в стратосфере обсуждались Беркшайером и Уорреном (1970). 5.12. Затухающие волны Возникает вопрос, можно ли изучать затухающие волны, предполагая, что Ь-е<- +мм, где чп и й считаются положительными. В этом случае, рассматривая волновое уравнение в форме (5.4.9) и пренебрегая (Ч~)ч и членом, содержащим '/чр, получаем 11'".+ — +1~=0, дч дг (5.1 2,1) правлении, У волн, соответствующих знаку «минус» в уравнении (5.11.2), гребни наклонены по потоку, Такие волны не могут возникнуть при обтекании препятствия, а создаются в результате отражения от поверхности раздела в жидкости. В случае захваченных волн происходит полное отражение, и волны, распространяющиеся вверх и вниз по потоку, идентичны.
Волны, соответствующие двухслойной модели, описанной выше в равд. 5.10,2, имеют вид '„= Асов(йх — чг) + В сов(йх — чф, (5.11.3) т. е. не исчезают ни при каких х и г и имеют одну и ту же амплитуду на всех высотах в пределах нижнего слоя. Если ь и ее производная по вертикальной координате на поверхности раздела при г=0 непрерывны, то должны быть справедливы соотношения ГЛАВА 3 и, следовательно, если существует решение вида ь ео"+"в„то должно иметь место равенство ( — т + И)2+ (р + Ь)т+ а (1А + 1э) + Р = О. (5„12.2) В свою очередь это требует, чтобы выполнялись условия пР— йт+ 1А2 — та+ ар, + Р=О (5.12.3) т(1А+ '(аа) = тй, (5.12.4) а так как т и й положительны, то т и 1А+'~да должны иметь одинаковые знаки.
В случае а=О это означает, что если амплитуда волны с высотой убывает (1А(0), то волна распространяется вниз. Следовательно, энергия поступает к подстилающей поверхности и оказывает на поток тормозящее действие. Если существует сила, действующая в противоположном направлении, то волна, затухающая экспоненциально вниз по течению, должна экспоненциально усиливаться, распространяясь вверх, и с ростом высоты ее гребни должны смещаться вверх по потоку. Затухающие волны такого рода могут возникать за препятствием, которое послужило причиной их образования, но значение этих волн, как правило, невелико по сравнению с незатухающими волнами, распространяющимися вниз по потоку.
Кроме того, так как эти волны экспоненциально усиливаются, распространяясь вверх, то их нельзя с достаточным основанием считать стационарными, и для полного изучения необходимо получить решения уравнений, зависящие от времени. Однако этот вопрос выходит за рамки данной книги. 5.13. Волны на подветренной стороне препятствия Применение метода, основанного на использовании интегралов Фурье, продемонстрируем на примере волн в ограниченном сверху и снизу течении, подобном рассмотренному в равд. 5.10.1. Пусть его верхняя граница плоская, а на нижней границе, которую будем считать поверхностью земли, имеется бугор.
Тогда решение в соответствии с уравнением (5.10.4) имеет вид 1 = — 1 А з1п тз/з!и чй. (5.13,1) Здесь принята система координат, в которой уровень поверхности земли соответствует г= — Ь. Это означает, что если ~ „=~ Р(й)~ый~г(й о ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦНРОВАННОИ ЖИДКОСТИ есть функция х, представляюшая значение ~ при г= — й и тем самым определяющая форму нижней границы, то смещение при других значениях г определяется выражением Ю 1= — ) Р(й)созйх — '," „„„ай.
е (5.1 3.3) Такой вывод справедлив лишь в случае, если уравнение, решением которого является выражение (5.13.1)„линейно относительно ь, так как только при этом условии можно складывать компоненты интеграла, чтобы получить решение для данной формы граничной поверхности. Приведенные в данном разделе решения недействительны„если указанное уравнение нелинейно относительно ь. В выражении (5.13.3) т — функция я, которая а Ь уа" -ь Рнс.
5.13.!. Функция ь, определяемая уравнением (5.1351. при й~! становится мнимой. В этом случае ее можно заменить на 1( и получить вместо уравнения (5.13.1) „а Аа (а (5.13.4) Выберем теперь наиболее известную и широко распространенную форму препятствия, которая определяется следующим легко вычисляемым интегралом Фурье: О а,, *(=п,(.ь~.--" "а() . „;,. (513л( Эта форма показана на рис. 5.13.1. Параметр а дает максимальное значение Ь, которое достигается при х=О, а 5 называется полушириной и представляет собой расстояние от точки максимума до точки, в которой высота препятствия равна 1/аа. Мнимая часть того же интеграла, ЮО ( ((„(=( (вь1 -"~"*а()= — „",, (в.(36( а дает профиль поднятия, расположенного за впадиной (рис.
5.13.2). Этот профиль не имеет большого практического значения, так как при больших х он убывает как х — ', т. е. довольно медленно. В соответствии с выражением (5.13.3) ГЛАВА а профиль (5.13.5) дает для смещения на высоте г ьь (5.13.7) или (5.1 3.8) 1 Так как поверхность земли соответствует 3= — й, то координата г всегда отрицательна и при й=131п «г/з(п «й= =з)ч !Аг/з)ч !ай=а/й, так как !ь=«=0. подынтегральная функция ь «еа Рис 5.!3.2.
Фуикция Ь, определяемая ураииеиием (333 6). имеет особую точку при чй=нп, что соответствует Ь А=О !уравнение (5.10.4)). Вычет в этой точке равен «с=в "ь"' "3!по з/( — (31пч(й)й)~, (5.13.9) где звездочка означает й=йь, а йь определяется из условия «ьй = ня. (5.13.10) Деформируя контур интегрирования в плоскости й, как показано на рис. 5.13.3, видим, что И входит под интеграл (5.13.7). Так как действительная часть И пропорциональна 3!пйьх, то, по-видимому, существует простирающаяся в бесконечность последовательность волн, которую будем называть подветренными волнами.
Поскольку й представляет собой решение волнового уравнения и в силу условия (5.!3.10) равно нулю на границе з= — й, решение нашей задачи можно умножить на любую постоянную, и тем не менее оно будет удовлетворять исходному уравнению. При этом для определения величины 17 в окончательном решении необходимо привлечь дополнительное условие. Вычисляемый интеграл представляет собой интеграл от 0 до оо вдоль действительной оси й.
Особая точка лежит на контуре, и так как последний стягивает угол н в полюсе, то интеграл (5.13.7) равен ь, е е — 1 1 аЬв ь+ а п ч 6й + яа (5!311) ° 6 волны в стрлтиоицировдииоп жидкости где угол 6 положителен при положительных х, так как в противном случае подынтегральное выражение при больших значениях мнимой части Ф будет расти экспоненциально. Если же координата х отрицательна, то угол о также должен быть отрицательным и вычет надо брать со знаком минус, так как контур стягивает в особой точке угол — я, Таким образом, разность значений интеграла при больших положительных и отрицательных х составляет 2утЯ.
Практическое значение имеет решение, не содержащее возмущений при больших отрицательных значениях х, т. е, далеко вверх по потоку от препятствия. В этом случае решение в области вверх по потоку от препятствия представляет собой интеграл без вычета в приведенной выше г Рис. ЗЗЗ.З.
Интеграл по действительной оси до бесконечности, сводящийся к ии. тегралу по радиусу С. Интеграл включает пплевнну вычета в точке й* педынтегральнлге выражения. формуле, а течение вниз по потоку от препятствия представляется членом 2пггс. Этот вывод равноценен утверждению, что на самом деле особая точка лежит выше действительной оси в плоскости й и имеет положительную мнимую часть йг, хотя она может быть сколь угодно малой. В этом случае вычет содержит множитель е ' и подветренные волны медленно затухают по мере перемещения вниз по потоку.
Если они обладают этим свойством, то набегающий на препятствие поток не будет содержать волн; по той же причине, как и предполагалось, на большом расстоянии вверх по потоку от препятствия волны также будут отсутствовать. Ламб ($ 242, 245) получил такой же результат для подветренных волн на поверхности воды. Трение он представил в виде демпфирующей силы, пропорциональной скорости, и это позволило ему получить экспоненциальное затухание.
Однако такой метод решения искусствен, так как требует сильных допущений о законе трения, которые, как отмечал сам Ламб, заведомо не соответствуют действительности и имеют смысл лишь постольку, поскольку позволяют получить желаемый результат. Интеграл по дуге в бесконечности равен нулю, так как содержит множитель в "га "', который делает его экспоненциально убывающим. Поэтому в уравнении (5.13.11) остается интеграл вдоль радиуса С при угле О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
