Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Главным достоинством таких решений применительно к атмосфере является то, что они объясняют некоторые механизмы, которые, как показал Лонг, играют важную роль в атмосферных процессах. Перейдем теперь к детальному рассмотрению этого аспекта проблемы. ГЛАВА 6 !94 5.10. Стоячие волны и вихри Покажем сущность этого явления на простейших примерах. Ясно, что существуют и более сложные случаи, однако онн связаны с действием каких-либо других механизмов. Будем пользоваться уравнением вертикального смещения ь, так как в рассматриваемых случаях оно линейно.
Уравнение для вертикальной составляющей скорости ш линейно только при малых амплитудах — в форме уравнения (5.8.18), так как ь и ш в двумерном случае связаны нелинейной зависимостью д1 д1 д1 2В= —,=и — + д2 дх дх ' (5.10,1) Начнем с уравнения (5.6.7) и рассмотрим ряд частных случаев.
5.10.1. Однородное стратифицированное течение несжимаемой жидкости между твердыми горизонтальными границами В этом случае волновое уравнение с учетом Ь сов йх имеет вид д,2 + (1 — й ) С =О, (5.10.2) и с учетом обозначений Ж = 12 22 = 12 — й2 ~"о (5,10.3) решение, удовлетворяющее граничным условиям ~=0 при г=О и з=й принимает вид 1 = А з1п тз соз Фх, (5.10.4) где з(птй=О или «А=ля. (5.10.5) Последнее уравнение определяет длину воны 226/й для каждого значения п.
На рис. 5.10.1 показаны линии тока при и=!. При и = 2 профиль ь имеет один узел внутри потока, и течение в каждой его половине соответствует показанному на рисунке, но находится одно по отношению к другому в противоположных фазах. Существует только одно возможное значение я при и(!й(2я, ни одного при 1й(п, два при 226(!й(ЗЛ и т. д. Хотя число возможных значений Ф может быть велико, обычно в практически важных случаях их бывает одно или два, а когда их больше, то не все моды оказываются возбужденными до значительных амплитуд. !96 волны в стратифицировдниои жидкости Могут существовать области возвратного течения, обычна с замкнутой циркуляцией, однако в этих случаях горизонтальная составляющая скорости в некоторых областях течения должна быть отрицательной, т.
е. 1 — — = — ~0 дй дно дг дг в соответствии с уравнением (4.1А), илн д (5.10.6) Рис, о 10 1. Система координат и граничные условия для стратифнцированного течения между двумя твердыми границами. Лнннн тока построены для профнля а прн п Ь В этом случае в некоторых частях поля течения должно быть Ач соз чг соз йх ) !, (5.! 0.7) т.
е Ач ~ 1, (5.10.8) В случае первой моды чл=ст„ тогда последнее условие приобретает вид А > Ь!н, (5.10.9) и возвратное течение имеет место в окрестности соз чг= =сов йх=1 или созчг=сов йх= — 1. В этом случае около указанных точек существуют области замкнутой циркуляции, причем каждая из точек лежит на границе, а области циркуляции. называются вихрями. Точки торможения в центре областей циркуляции определяются условиями созйх= 41, Ачсозчг=+1, (5.!0.10) 196 ГЛАВА а а точки, лежащие на поверхности узлов,— условиями совках=+1, Ачсозйх=+1. (5.!0.1 1) Линия, на которой скорость направлена вертикально, являющаяся границей области, в которой и отрицательна н существует возвратное течение, определяется выражением Ачсозча созйх=1.
(5.10.12) На рис. 5А0.2 показана структура течения при я=2. Видно, что вихри на поверхности узлов г=й/2 являются парными. Здесь же показана граница возвратного течения. Рис, 6.10.2. Распределение линий тока при а 2, когда амплитуда воли доста- точно велика, чтобы появились вихри. Штриховыми линиями ограничены области возвратного течения. В пентрах викрей покаааны точки торможения, около которых вращается жидкость, Вихри внутри потока— двойные.
В областях возвратного течения жидкость находится в состоянии статической неустойчивости, даже если в остальных областях течение устойчиво, Поэтому следует ожидать, что конвекция за счет плавучести будет происходить внутри вихря до тех пор, пока плотность жидкости в нем не станет более или менее однородной. Это в свою очередь создаст небольшой скачок плотности на границе вихря и может привести к образованию облачных валов посредством механизма, описанного в гл. 6. Жидкость внутри вихря с математической точки зрения имеет плотность, равную плотности жидкости, находящейся по другую сторону поверхности узлов. Поэтому жидкости внутри вихрей на нижней границе приписываются плотность и значение го, соответствующие жидкости на более низком уровне.
Так как это в действительности невозможно, то жидкость внутри вихря должна быть статически неустойчивой и развитая теория в этом случае совершенно неприменима. Внутри парных вихрей, нахо- ВОЛНЫ В СТРДТИФИЦИРОВДННОИ ЖИДКОСТИ дящихся на центральной поверхности узлов, жидкости приписывается та плотность, которой она обладает в какой-то другой части системы, однако такое распределение плотности при наличии волн с достаточно большой для образования вихрей амплитудой маловероятно.
Важной особенностью течения с вихрями является его очень высокая скорость между точками торможения на поверхностях узлов и неодинаковая форма горбов и впадин линий тока— вблизи поверхности узлов они уплощены, а выше и ниже вихрей имеют большую кривизну. Рис. блол. Визуализация линий тока, вдоль которых движутся частицы, пла- вающие на поверхности воды в баке. Фотосъемка с большая выдержкой. Стра снфнкаикя достигнута добавлением соли.
Модель препятствия двннгется посгуиательна справа ивлева. и чтобы получить поле скоростей. образующееся прн обтекании неподвижного препятствия. надо вычесть скорость движения модели нв скоростей частик. В правой части снимка ааемущеиня малы )оив саапмтствует тому горну бака. От которого начало двигаться препятствие, пвкоднвшееся в со- стоянии ВОкОя). В эксперименте такое течение легче всего воспроизвести, двигая препятствие по дну бака с покоящейся стратифицированной жидкостью. На рис. 5.10.3 показаны возмущения, создаваемые движущимся препятствием. Визуализация достигнута путем съемки с некоторой достаточно большой экспозицией.
5.10.2. Безграничная атмосфера с одним разрывом статической устойчивости Будем предполагать, что смещение достаточно мало, чтобы можно было пренебречь сжимаемостью воздуха и пользоваться уравнением (5.10.2) во всей рассматриваемой области. Поставим условие, чтобы амплитуда стремилась к нулю при а~со и была строго равна нулю при а= — Ь. Тогда для верхнего слоя, опуская соз Йх, решение можно представить в виде ь=Ае ', (5.10.13) ГЛАВА 3 где (5.10.14) а другое решение пропорционально ев' и неприемлемо при больших г. Величина Р для верхнего слоя равна 1~. Для нижнего слоя, чтобы получить нуль при г= — й и выполнить условия на границе слоев при г=О, необходимо иметь решение такого же вида, как в равд. 5.10.1.
Из этих условий вытекают требования непрерывности смещения ь и давления, определяемого уравнением — ", + '67'+аз=сонэ!. (5. 10. 15) Запишем и рассмотрим простейший вид разрыва, возможного при я=О, а именно такого, при котором ра и иа непрерывны и, следовательно, р также непрерывно. Так как Ь непрерывно, то для непрерывности в и т на границе слоев в соответствии с уравнениями (5.10.15) и (5.10.16) требуется, чтобы дЦдг также было непрерывно. Этот результат справедлив независимо от величины смещения поверхности раздела, которая в этом случае соответствует гв — — 0 и описывается уравнением з=ь. В нижнем слое, где 1»=1~, 1 = В з1в» (з + Ь) Г.
= 0 при л = — й). (5.10.17) Здесь (1,' — й')"*. (5.10.18) Поэтому, приравнивая выражения (5.10.13) и (5.10.17) для ь(з), а также соответствующие производные дада, получаем А = В з! н»й, — Ар = В» соз»й, (5.10,19) откуда » с!и»Ь = — !А. (5.! 0.20) Структура этого решения показана на рис.
5.!0.4. На нижней границе (при г= — й) вихрь будет существовать, если в какойто части поля течения — =В»созйх>1, Х а волны в стрдтиеицировдннои жидкости или Вч и 1. (5.10.21) Вихрь образуется и на поверхности раздела (а=О) там, где дЬ/дз достигает максимума, если В» соз чй ) 1. (5.10.22) На рис, 5.10.4 показан случай, когда нет вихрей, а также случай, когда они имеются на обеих поверхностях. Вихрь на поверхности раздела имеет меньшие размеры. Если удовлет- г -и Рис. ЗЛОЛ.
Модель атмосферы с одним разрывом статической устойчивости. о — профиль ь для случая двух слоев (верхний слой простирается в бескаиечиостьв б— форма линий тока при малой амплитуде: е — появленне вихрей; — — — смещенное полажение поверхности раадела, Гранина области возвратного течения проходит через две тачки торможения. воряется условие (5.10.21), но не условие (5.10.22), то вихрь образуется только на нижней границе. Уравнение (510.20) ныражает Ф через другие параметры задачи, а именно через /ь 1, и /т.
На рис. 5.10.5 сплошными кривыми показана зависимость чс1пч/т от ч/т, а штриховыми— зависимость уз от чй. Штриховые кривые являются дугами окружности, так как р, =11 — 1 — ч. (5.! 0.23) Если значение радиуса окружности заключено между '/зн и а/гп, то существует единственное значение ч/т, при котором ч с1п ч/т= — 1г, Если же значение радиуса лежит между а/гн и б/йя, то таких значений два. В общем случае число значений равно н, если ( 1', — 1т с" ( +„) . (5.10.24) й и Если 1,)1у, то не существует ни одного аналогичного ре- шения с нулем на нижней границе и с зкспоненциально ГЛАВА и Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
