Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Чтобы найти его 210 гллвл з приближеное значение, заметим, что, во-первых, он содержит экспоненциальный член с отрицательным показателем степени, о котором только что говорилось, во-вторых, он имеет колебательный характер, так как содержит множитель в ( ~' (а это означает, что наибольший вклад в интеграл достигается при малых 1й1) и, в-третьих, множитель з)пта/з(пт/«, являюшийся функцией Ф«, в начале координат имеет нулевую производную по й. Следовательно, можно подставить значение этого множителя в начале координат (А=О) и получить приближенное выражение 9 о Тогда полное решение с учетом уравнения (5.13.9) и соотношений дт/дА= — А/т и созт"Ь=( — 1)" получается в виде ь«ма и л+! аЬв е™ (5.13,13) Такой вид это уравнение имеет при х' О; если же х(О, то второй член отсутствует.
Если отсутствуют внутренние поверхности с узлами, то в=1, а при л=й появится дополнительный второй член (указанного вида). Эта приближенная формула дает правильное значение Ь на границе г= — 6, а также на верхней границе при а=О, однако она, видимо, неверна вблизи «=О при промежуточных значениях г. Причиной является то, что член, соответствующий подветренным волнам, имеет разрыв производной при х=О и равен нулю при «) ЯО.
Так как — ЬЬ+ Ил = [ — (Ь сов В+ лз1п В) — 1(Ь з1п В- х соз Е)11Ь ~, (5.13.14) то наилучшее приближение, по-видимому, можно получить при максимальном значении отрицательного показателя степени, который пропорционален Ь соз О+х з)п О и дает 1ц О=х/Ь. Однако при этом становится равной нулю колебательная составляющая, и приближение становится плохим, если контур, по которому ведется интегрирование, проходит вблизи особой точки, как это бывает, когда х и, следовательно, О малы. Вблизи особой точки допущение, что з!и тй можно заменить постоянной величиной, равной з(п /Ь, является ошибочным. Поэтому формула (5.13.11) дает плохие результаты при малых х на некотором удалении от границ г= — /«, О. Правильней было бы сказать, что эта формула дает плохие результаты при малых х, когда Ь мало, так как мы предполо- ВОлны В стРАтиФициРОВАннои жидкости г!! и ~, — Ке ((ч соз чг + 1», з!и чг) ем").
(5. ! 3, 18) Если граничное условие на подстилающей поверхности при г= — Ь определяется уравнением (5.!3.5), то полное возмущение в нижнем слое определяется выражением — Аь+ыч ч спят + !»ч и!и чг щ (5 13 10) ! »СОВ»А — !»ч П!П ЧА о совместно с членом, описывающим подветренные волны, который рассмотрим несколько позже. Вычисляя этот интеграл в том же приближении, что и ранее, положим в подынтегральном выражении ч=й и »,=1,. Тогда получим О ~ =аЬрз) е "[соз Ьх(4соз1,Ьсоз1;г — 1,'з!О1,ЬВ!В1,г)— — 11,з!и Ьх(сов 1, Ьз!В1г+ з!В1Ьсоз1г))~(Ь = —,(1~ соз 1Ь сов 1г — 1» з!и 1Ь з!и 1г) + Ьч+ 'ч ~АВ!Н1~(~+ ) (5. ! 3.20) жили, что подынтегральное выражение при расстоянии ЬФ от начала координат имеет большую отрицательную степень.
Поэтому ЬЬ* должно быть большим (около 2 или более), так как в противном случае разрыв в производной подветренных волн при х=О нельзя считать малым. За исключением тех случаев, когда Ь мало по сравнению с длиной подветренной волны, эти неточности можно устранить, проведя гладкие линии тока вблизи х=0 и не обращая внимания на излом контура в этом месте. Однако при малых Ь на линиях тока есть волны, которые не учитываются при х=О.
Чтобы определить параметры волн в модельном течении, подобном рассмотренному в равд. 5.10.2, заметим, что смещение при фиксированном Ь определяется формулами С, = Йе [(Ае'"'+ Ве '"') е'""1, (5. !3. 15) („= Се Р" +'" Ь ) 1 1, = Се' (""+""), Ь < 1,. (5.!3.!6) Здесь, как и в уравнении (5.13.3), поверхность раздела соответствует г=О, а поверхность земли г= — Ь. При г=О ~ и ее производная непрерывны и при Ь~1,. 2А»=(ч+ч,)С, 2В»=(» — «,)С (5.!3,!7) ГЛАВА и 212 где уравнение для йь получим, приравняв знаменатель подынтегрального выражения нулю: чь сучья = — [ь .
5.! 3.23 ( ) Это уравнение, естественно, совпадает с уравнением (5.10.20). Член, учитывающий подветренные волны, можно упростить, использовав уравнение (5.13.23), и с помощью вычета подынтегрального выражения в уравнении (5.13.22) привести к виду аьч' !ь'а 'ь в!и ч' [х + Ь) и!и А'х 2а „,, „,, 1 °,„. (5.13.24) В верхнем слое подветренная волна пропорциональна е ьь* и равна значению в нижнем слое при а=О. Следовательно, она равна 1 ° ° 3 ° А ь "ьь абч !ь а и!и й'х 2а А*и!ив ьа [чь( ~а — 1) — .2(1 „«ь 11 . '(5.13„25) Интеграл в верхнем слое равен интегралу (5.13.19) при а=О и пропорционален еа'!* "*!. Поэтому его можно представить в виде о или в том же приближении, что и выше, получаем , (1, сов 1!а сов (,г — 1, в! и ь'!а вш 1,„г) + авврг! +,хР ', (7,сов!,лв!В1г+(,в[п1!асов1,а), (5,13,27) Последнее выражение совпадает с выражением (5,13.20) при а=О, Чтобы образовать полное решение при х= О, к нему при- бавлен член (5.13.24), учитывающий подветренные волны.
р = 1!сов' 1!а + ь", в1п'с!а. (5.13.21) Член, описывающий подветренные волны, получим из интеграла, введя в него [А, вместо ч„так как условие захвата волны имеет вид а*)1,. Поэтому ьч, в уравнении (5.13.17) заменим на — [ь. и найдем для полного возмущения ц,~ -Аь+!Ах чсоича — вь и!и чх 1 (5 13 22) ч сов ча+ !ьь и!и ча г!3 ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОИ ЖИДКОСТИ Очевидно, более сложные модели, например трехслойные, связаны с гораздо более громоздкими выкладками, но в принципе не отличаются от описанной. Кроме того, используя соот- Рнс.
5 !3.4, Амплитуда подветренной волны, создаваемой нрепнгстпнем задан- ной высоты. Амплитуда досннгает максимума, когда шарова препятствия равна примерно пм длины волны. Форма препятствия показана иа рис. 513.1. ветствующие интегралы Фурье, можно рассматривать препятствия различных очертаний. Примеры таких исследований Ю Пимы пма г А а В уо уг М М М Рнс. 5.!3.5. Результаты расчета подветренных волн за двумерным горным хребтом в случае нх захвата слева показаны проФили скорости негра и температуры, эффект трехслоавоа модели достигнут с помощью двухсловное модели В верхнее половине нижнего слоя значение ВЕЛНЧИНЫ Р, ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ УуаЕНЕНИЕИ (б 10Ю1, ПОДДЕРжаеаЛОСЬ ПчктОЯИНЫМ, Хетя СГг менялось Это позволило избежать разрыва Гтг иа поверхности раздела приведены в работе Уоллингтона (1958).
Скорер и Клигрорт (1959) использовали трехслойную модель специального вида, чтобы лучше аппроксимировать граничное условие на поверхности раздела, В рассмотренном ими случае непрерывными на поверхности раздела, где амплитуда велика, были не только ь ГЛАВА « 214 и д(/дг, но и д«ь/дг«. Это позволяло лучше удовлетворять граничные условия для возмущенного положения поверхности раздела.
Все формулы в этом примере содержат множитель Ье — «'ь, учитывающий поведение подветренных волн. При заданном Ь«, он достигает максимума при ЬЬ*=1. Это означает, что волны наибольшей амплитуды возбуждает возвышенность, половина ширины которой равна примерно '/«длины волны (рис.
5.13.4). За примерами отошлем читателя к работам Скорера (1949 и 1953б). Структура волн, приведенная в первой из этих работ„ показана на рис. 5.13.5. Сойер (1960) выполнил вычисления, в которых более точные значения интеграла были получены путем прямого численного интегрирования, На всех его диаграммах показано смещение Ь, вычисленное при постоянных значениях г, и не используется то обстоятельство, что разработанная теория справедлива при сравнительно больших ь. Поэтому на них не видны вихри там, где, судя по числовым значениям переменных, они должны быть.
На некоторых диаграммах Сойера линии тока пересекаются, однако это следует рассматривать не как ошибку, а как результат графического представления вычисленных значений Ь. 5.14. Влияние ветрового профиля на подветренные волны Рассмотрим волновое уравнение в следующем виде: а «+ 2а — + (Р— Ь «) ( = 11. (5.14.1) Если набегающий поток имеет вертикальный градиент скорости, то Р зависит от высоты г«(если р не меняется так, что Р= =др/и' остается постоянным), которая в свою очередь зависит от (, и рассматриваемое уравнение становится нелинейным. Однако влияние на Р точно такое же, как если бы менялось р.
Поэтому некоторые особенности влияния ветрового градиента можно понять, изучая влияние члена, содержащего а, и полагая Р постоянным или меняющимся в незначительных пределах. Если Р и а — постоянные величины, то решение имеет вид «( — ~ 1'":~'-~- «ч (5.14.2) Отсюда вытекает, что если величина а положительна и, следовательно, скорость ветра с высотой увеличивается, как е, то влияние ветрового градиента будет двояким. Благодаря члену а- * волны быстрее ослабевают с высотой, и в то же время значение Ф, которому соответствуют характеристики потока, при 215 ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОИ ЖИДКОСТИ замене йо на ао+йо убывает. В результате более длинные волны синусоидально изменяются по высоте в более узком диапазоне длин волн, Те волны, длины которых отвечают условию Р>йо>Р— ао, имеют скорее экспоненциальный, чем синусоидальный характер изменения в зависимости от г.
Если величина а отрицательна, то последнее свойство остается таким же, но теперь смещение Ь пропорционально е"*, Это следствие того обстоятельства, что жидкость, движущаяся с большей скоростью, ведет себя так, как если бы она обладала большей инерцией„чем жидкость, движущаяся с меньшей скоростью, и, следовательно, если верхние слои движутся медленнее, амплитуда волны должна быть больше, чтобы создать поле давления, необходимое для поддержания волн на меньших высотах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
