Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

5Л05. Графическое решеиие уравнения (5.!0.20). Зависииости левой )сплошиые ливии) и правой )штриаовые лилии) частей травиеииа от чк 5.10.3. Общее требование для захваченных волн Рассмотренный выше случай дает пример захваченных волн в части воздушного потока вблизи поверхности земли. Условие существования по крайней мере одной волны выражается неравенством (5.10.24) при я=1, т.

е. имеет вид 2 2 Гт — 1а )— (5.10.26) В более общем случае возможность существования волн можно исследовать, рассмотрев случай малой амплитуды. Эта уверенность основывается на соображении, что вряд ли существуют сложные случаи, отличающиеся от прочих тем, что из возможности существования периодических волн большой амплитуды не следует возможность существования волн малой амплитуды, хотя обратное не всегда верно.

Для малых амплитуд можно обратить преобразование н) в ь, выраженное уравнениями (5.8.20) — (5.8.23), и получить уравнение для и) в том же приближении, что и уравнение (5.8.20), т. е. при и, ш«с). Тогда из уравнения (5.8.18) найдем д 2 +(12 й )йв=о свар (5.10.27) убывающим значением при больших г. Во всех случаях, когда имеется решение, 1, >й>2,. (5.10.25) ВОлны в стРАтнФНННРОВАнной жидкости где теперь Яр 1 Лтив Р— (5. 10.25) 2 "о яо лг' Для того, чтобы волна стала захваченной, профили в и ь должны асимптотически стремиться к нулю при г — ~-ОО.

Следовательно, вторая производная двгг/дг2 должна быть положительной, т. е. должно выполняться условие яв)Р, С другой стороны, чтобы достигать нуля на уровне земли, подобно профилю ( на рис. 5.10.3, кривизна профиля ш в приземных слоях должна меняться на обратную. Итак, в нижних слоях должно обеспечиваться либо условие 12) йв в сравнительно глубоком слое, либо РЛРЛ2 в слое, лежащем на меньшей глубине. Следовательно, значение й во всех случаях равно некоторому вначению 1, занимающему в профиле 1 среднее положение между его крайними значениями, и чтобы условие типа (5.10.26) выполнялось, эти крайние значения должны различаться на достаточно большую величину.

5.10.4. Захват за счет скачка плотности В гл. 6 будет показано, что скачок скорости не сохраняется, но могут существовать скачки плотности. Причины их возникновения рассматриваются в равд. 6.4, 11.1.2 и 11.1.5. В случае стационарного двумерного течения для каждой линии тока имеем — + '/2~у2 + 5г = сопв1, Р (5.10,29) а в случае адиабатического течения р/р можем заменить на а/т и получить аналогичный результат, На поверхности раздела давление р непрерывно, и поскольку в в случае газа однородного состава (см. выражение (1.6.4) ] зависит только от р, то в на скачке плотности также должно быть непрерывно.

В то же время р и т терпят разрыв. Переменная часть р, полученная из уравнения (5.10.29), одинакова по обе стороны разрыва плотности. При переменных вдоль линии тока д и г, положив г равным ь путем такого выбора г, чтобы оно равнялось нулю на невозмущенной стороне разрыва, и обозначив индексами / и в нижний и верхний слои, получим — р,лов — ' + йр,' = сопв1 — р, = сопв1 — р~ —— РРВ з — КР~ ' 2 д~~ (5,10.30) ГЛАВА б Здесь мы положили ~~=~,=~, и в каждом слое, согласно уравнению (5.10.16), переменная часть дз с точностью до членов, содержащих ~ в первой степени, равна — 2и~в д~/дг.

Следовательно, уравнение з д~г ас, РФв д» = Я~ (Рг Р ) + РФо д» (5. 10.32) Это означает, что рассматриваются внешние волны, т. е. волны на свободной поверхности, а на них внутренняя стратификация не оказывает практически никакого влияния. Если же изучаются внутренние волны, то необходимо поставить граничное условие, означающее, что смещение свободной поверхности пренебрежимо мало по сравнению с внутренними смещениями.

Иначе говоря, граничное условие должно иметь вид ь=О. Вариации давления по поверхности обусловлены ее смещениями в вертикальном направлении, которые малы и рассчитываются по уравнению (5.10.32) после того, как дауд» получено в предположении, что Ь на этой поверхности равно нулю. 2. Если скачок плотности мал по сравнению с самой плотностью, то можно положить (5,10.33) Р =(1 )К и пренебрегать квадратами е.

Тогда уравнение (5.10.31) можно переписать в виде (5,10.34) "о Разрыв плотности ведет себя как очень тонкий слой, в котором р весьма велико, а производная от Ь при пересечении этого слоя может менять знак. Поэтому допустимо рассматривать два слоя с малой статической устойчивостью в верхнем, с нулевой — в нижнем и с устойчивым разрывом плотности на поверхности раздела. Такая ситуация часто возникает в атмосфере, когда солнце нагревает земную поверхность и вызывает выражает непрерывность давления при переходе через поверхность разрыва плотности. Особенно интересны следующие два случая: 1.

Если верхний слой имеет очень малую плотность и представляет собой газ с почти постоянным давлением, находящийся над жидкостью, то можно считать, что на поверхности жидкости Р,=О или р=сопз1. В этом случае на поверхности с% к~~ з волны в стватиаицигованнои жидкости термическую конвекцию в нижнем слое. В этом случае Г, — в ', ~ — ай й (з -1- й), (5. 10.35) и, следовательно, волны исчезают на большой высоте и имеют нулевую амплитуду на поверхности земли при з= — й.

Тогда условие на поверхности раздела (5.10.34) при г=0 имеет вид йс(~Ию= Я~ — р, (5.10,36) иО если скорость иа всюду постоянна, а р определяется уравнением (5.10.14). Значение й, удовлетворяющее этому условию, определяется неравенством с(5йй)1 или ая.- яо(я+ р). (5.10,37) При теоретическом исследовании цель анализа обычно состоит в определении К однако на практике длины волн, если они наблюдаются, можно измерить, а затем приближенно определить ио и р, пользуясь результатами обычного зондирования атмосферы.

Таким образом, теория позволяет найти значение, которое е должно было превысить, а действительное его значение находится из уравнения (5.10.36), если известно приближенное значение Ь. 5.11. Незахваченные волны Волны могут возникать в потоке при обтекании препятствий, но при этом они не обязательно должны быть захваченными. В равд. 5.12 будет подробнее рассмотрен вопрос о возбуждении захваченных волн, однако должны быть рассмотрены волны всех длин„соответствующие составляющим Фурье для препятствия данной формы. На уровне земли незахваченные волны имеют конечную амплитуду, однако на поверхности раздела они должны удовлетворять тем же граничным условиям, что и захваченные волны.

Продемонстрируем свойства незахваченных волн с помощью двухслойной модели, описанной в равд. 5.10.2. Теория как для более сложных, так и для более простых случаев строится аналогичным образом. В верхнем слое, который будем обозначать индексом з, экспоненциально убывающее решение отсутствует, так как 1,') й'. (5.1 1.1) Поэтому мы должны рассмотреть физические свойства двух волн Ке (т.,) Ке Сев '" *+'"', (5.1 1.2) ГЛАВА б где й й та= бз — Л . Если верхний слой простирается в бесконечность, то волны не отражаются от верхней границы, и обычно считают, что должно применяться «условие излучения», т.

е. энергия должна переноситься вверх волнами, так как возмущение генерируется на подстилающей поверхности. Это означает, что жидкость, находящаяся ниже данной поверхности Бернулли, действует на жидкость набегающего потока над этой поверхностью с силой, Рнс. б.!! !. Волны с гребнями, смещенными навстречу набегающему потоку. на снлоне, обращенном назад, скорость больше, а даелемие меньше поэтому жидкость под иаждой линией така давит на жидкость, накгщящуюся над ней, с Силой, напраален- иой против набегающего потока.

совершающей работу над этой жидкостью в процессе ее перемещения вдоль стационарного волнового профиля. Волны, соответствующие знаку «плюс» в уравнении (5.11.2), ограничены поверхностями, гребни и впадины которых смещены навстречу набегающему потоку (рис. 5.11.1), В результате скорость на стороне волны, обращенной к набегающему потоку, оказывается меньше, чем на противоположной ее стороне. Для давления получается обратная картина. В результате на текущую вдоль этой поверхности жидкость действует сила, направленная против течения, а это значит, что гребень оказывает сопротивление текущей над ним жидкости, которая в свою очередь действует на него с силой, направленной по потоку.

Такие волны переносят количество движения вниз по потоку. Рассмотренные в предыдущем разделе захваченные волны имеют одну и ту же фазу на всех уровнях и не оказывают сопротивления потоку. Так и должно быть, поскольку подстилающая поверхность в этом случае горизонтальна и не может действовать на поток с силой, направленной в указанном на- ВОлны В стРАтиФНННРОВАИИОН жидкости С=А+В, чС=чА — «В, (5.1 1.4) из которых следует А=" 'С, В= ' 'С, 5.11.5 т. е.

Характеристики

Список файлов книги