Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В последнем случае время перемещения на расстояние, равное длине волны, составляет около суток. Если же это время равно лишь небольшой части суток, то вращение Земли можно не учитывать. Это важный результат, который, помимо устойчивых волн, применим к широкому кяассу явлений и, в частности, к явлениям, обусловленным конвекцией.
В других местах этой книги отмечается, что геострофические силы могут усиливать температурные градиенты [см. равд. 4.7.3, 4.8 и 6.4), однако облачные валы, для которых характерное время меньше, подавляются маломасштабными эффектами среднемасштабного движения. На облачные улицы (см. равд.
9.8.1) оказывает влияние геострофический ветер, однако неустойчивость их движения порождается отнюдь не отклоняющей силой, как некоторые думают. Если величина Р, характеризующая число Росби, имеет порядок единицы, то основными членами в уравнении (5.8.16) являются (1 Р2) 2в" + (Р2а + 1Ра,) Тя' + (АЗ и" +1 Ь2 — 1Р(аа2 — — ~) 2В=О, (5.8.17) ~и2 Ц ~ ' иЛ а если Р((1, то щ" +( й2)п2=0 2 ДЗ и" ~и и В тех случаях, когда вращение Земли существенно, масштаб ГЛАВА 3 и, следовательно, (5.8.21) =/й(и С+ Л), и" = й (ЕУ"г. + 2(У'г.'+ (УС").
Отсюда уравнение смещения получаем в виде Г" + 2аГ + (+з — я') г, = О. (5.8.22) (5.8.23) что представляет собой линеаризованный вариант уравнения (5.6.7), полученный в предположении, что ь пропорционально соз йх. В случае а=О и с'=со (т. е. в отсутствие сдвига для несжимаемой жидкости или при ь, достаточно малом, чтобы обеспечивалось Ы~/сз((1) уравнение (5.6.7) линейно и может быть движения скорее всего будет таким, что членами, содержащими а, аь (У" и г'", можно пренебречь. Тогда рассматриваемое уравнение имеет вид (йти — у) г" +8/йы =О, (5.8.19~ и, следовательно, д/дг имеет порядок Щяз/(ЙЧ/з — /з)) нз, что по порядку величины равно (йф/И)пз, т.
е. является примерно таким же, как в случае отсутствия вращения Земли. Соответствующие волны вполне могут быть названы волками Куиии, так как ои первым детально исследовал их в 1947 г. Для них длина вслны в вертикальном направлении с точностью до множителя 2 . 3 равна 2п, а в направлении течения при (У порядка 10 м/с, как в средних широтах, по порядку величины составляет 2п((У//) =500п км. В этом случае, согласно уравнению (5.8.10), и и о по порядку величины равны, а и/Гя, как следует из уравнения (5.8.12), приблизительно равно отношению длин волн в горизонтальном и вертикальном направлениях. Таким образом, широтное и меридиональное смещения примерно в 250 раз превосходят вертикальное и, следовательно, наклон линий тока мал.
В случае волн Куини доминирующими являются силы статической устойчивости и силы, обусловленные вращением Земли. При этом смещения происходят по поверхностям, наклон которых к горизонту составляет - '/мо. Чтобы ввести в уравнение (5.8.15), соответствующее случаю коротких волн, когда / пренебрежимо мало, вертикальное смещение ~, заметим, что после линеаризации в = — = и(уг, и (5.8.20) 191 ВОлны В СТРАтиФициРОВАнной жидкости записано в виде (5.8.24) 5.9. Линейные волны большой амплитуды в несжимаемой жидкости Уравнение (5.4.3) можно представить в виде т ~го + О ( т го) + 1'г = О + 1 га, (5.9.1) где 3+)тг — сумма, постоянная вдоль линии тока, если г=га далеко вверх по потоку, где 5= — 1)Д= —, д (Рпио), 1 =8Яио. (5.9.2) Рассмотрим теперь предположение, что существует такая переменная Ф=Ф(го), относительно которой это уравнение является линейным.
Имеем т7г =~ ЧФ, НФ 11 га=(11Ф вЂ” ~ га=фч'Ф+ — „„,' (11Ф)т (17г ) =( Ф ) (чФ) (5.9.3) т. е. имеет тот же вид, что и уравнение (5.8.23) при О=О. Следовательно, это уравнение можно получить и не прибегая к допущениям теории малых возмущений. В частности, не обязательно, чтобы выполнялось условие и«(7 и т. д., и уравнение (5.8.23) хорошо аппроксимирует полное уравнение при достаточно больших смещениях, а при сколь угодно больших смещениях, когда а=О и дй(()а не зависит от г, оно является точным.
Поэтому классический вывод волнового уравнения обычными методами малых возмущений вводит в заблуждение относительно условий, при которых оно справедливо и неоправданно ограничен в своих приложениях. Уравнение (5.6.7), очевидно, нелинейно относительно ь из-за наличия членов, явным образом содержащих ьа. Но йсли а, 8 и ио зависят от го, то при наличии смещения они зависят и от Ь, и важнейшими ограничениями, которые должны быть наложены на практике, чтобы получить линейное уравнение, являются Ограничения на профиль течения, а не на амплитуду волны. ГЛАВА 6 и, следовательно, волновое уравнение (5.9.1) можем представить в виде 7'Ф+(РФ)' — ~ — ~+( — ~) 51= — Р+16(я — гоН. (594) Член, содержащий (ЬФ)', исчезает, если (5.9.5) Так будет, если р'"ио фао(Я) = сопз1.
(5.9.8) Положив сопз1=1, можем записать — = р"*ио или Ф = ( р"ио ~Во. оФ ь иго (5.9.7) Этот результат принадлежит Лонгу (1953). Уравнение (5.9.1) приобретает вид т''Ф вЂ” Бр'ио — Р(а — ао) р ьио=О (5.9.8) или, в более общей форме, р~Ф вЂ” Р (Ф) — 0 (Ф) г =О. (5.9.9) Чтобы зто уравнение было линейным относительно Ф, функции Р и 6 должны иметь вид Р (Ф) =( — (ла) р 'ио=АФ+В, О (Ф) = 1'р "ио = СФ + О, (5.9.10) где А, В, С и  — постоянные, не зависящие от го„а сами уравнения (5.9.10) ограничивают вид профилей р и ио определенными функциональными зависимостями от го в невозмущенном потоке.
Тогда с учетом уравнения (5.8.3) волновое уравнение принимает вид — Ф = (А + й о) Ф + В + (СФ + О) а. (5.9.11) решения которого имеют такую же функциональную форму, Исключая Рр'иио и Я из уравнений (5.9.10), (5.9.7) и (5.9.2), получаем уравнение =АФ(ао)+ В+ (СФ(ао)+ В1ао (5 9 12) ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОН ЖИДКОСТИ как и решения уравнения (5.9.11). Если А, В, С и В уже выбраны, то из уравнения (5.9.12) можно найти ф(гв), а затем из уравнения (5.9.11) — линии тока ф сопз1, т. е.
линии, для которых гв — — сопз1. Профили р и ив в потоке можно получить нз уравнения (5.9.10), однако ясно, что профили, представляющие практический интерес, могут быть найдены лишь в результате интегрирования уравнения (5.9.10) при соответствующем подборе значений постоянных А, В, С и .О. Довольно легко выявить интересные частные случаи, наиболее очевидным из которых является случай В= О, В=С =О, ф гм когда Р и р'"иа постоянны и не зависят от го.
Этот случай анализируется ниже. Можно рассмотреть еще ряд случаев, когда значения и, и р меняются в зависимости от ав в более широких пределах, ио все они требуют, чтобы среда была ограничена твердыми стенками сверху и снизу, так как пока не найдено ни одного решения, которое ие давало бы экспоненциального роста при больших г. Упоминавшийся в конце равд. 5.5 случай, когда возмущение остается ограниченным при больших г, соответствует постоянному 3 и ив, приблизительно пропорциональному гм и, следовательно, не имеет практического значения. Чтобы не быть тривиальными, решения уравнения (5.9.12) должны представлять собой монотонные функции га, так как ф есть функция тока, определяемая уравнением (5.9.7).
более того, иа не должно быть равно нулю, так как в противном случае Р становится бесконечно большим и решение в этой окрестности будет нулевым. Анализ этого случая изложен в равд. 5.17. Все решения уравнений (5.9.11) и (5.9.12) подобны функциям Эри, которые являются либо колебательными, либо экспоненциальными и не могут быть алгебраическими при больших г.
Другой подход к представлению реальной атмосферы в виде ряда слоев, для каждого из которых имеется простое решение, из-за нелинейности граничных условий полезен лишь в том случае, если смещения иа границах слоев малы. Обычно граничные условия ставятся для невозмущенной границы слоев; если же их поставить на смещенных границах, то практически невозможно проследить их зависимость от ь. Йи использовал линейные решения такого типа в случаях, когда сверху жидкость ограничена свободной поверхностью, которая из-за очень большой разности плотностей ведет себя как твердая граница.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
