Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(5.2.2) Для двумерных течений, которые мы рассматриваем, и, проекция скорости на ось у, имеет градиент только в направлении нормали к поверхностям тока, которые содержат е. Следовательно, второй член в правой части уравнения (5.2.1) не дает ГЛАВА О 17В проекции на ось у. С помощью уравнения (5.2.2) проекцию уравнения (5.2.1) на ось у при установившемся движения можно представить в виде Ч ° НтаР1 ъ~ — —" Ч ° Птаб р = (й Х (д — стад '/,Ч9+ Ч Х оР1„. Р (5.2.3) Но Й = — — ягаб ао — — — р афтаб го, 1 ~й (5.2.4) т Иоо ч ° дгаб Р Ро Ч) = "Ро ч ° угад р + Ро Ч ° ига 6 о) = [ Р' ~дгадго Х нгаб (яг+ '/о~у'1 = = [ „в (ч Х 1) Х афтаб (йн + '/, у')~ „— — ч афтаб (да + '/,уо) = ио = ч ° нгаб [ — „(дг + '/од')1, (5.2.5) так как величина 5/ио постоянна вдоль линии тока и, следова- тельно, может быть внесена под знак оператора ч ятад. Следо- вательно, вдоль линии тока (кз + /оч ) — сопз1.
Р ио (5.2.6) Если жидкость несжимаемая, то ро=р, и это уравнение несколько упрощается. Значение константы в уравнении (5.2.6) легко получить, если вывести его другим способом. В уравнении (1.7.4) вдоль линии тока иО = '/,уо+ —, + дя = сопз1, (5.2.7) а уравнение движения имеет вид ягаб(яН) = вагаб —, + ч Х ы. (5.2.8) причем вектор 11 параллелен чу. (Совершенно аналогичное уравнение получается для течения несжимаемой жидкости, если т заменить иа р.) Поскольку ч пгад ро=О, то 179 ВОлны В стРАтиеициРОВАнноя жидкости Согласно уравнению (5.1.7), — (йН) = (,1 ), 5гас1 га Втаб (КН) = = — — — + — х~ х= 1 Рвио РЧ' = — р+ — ть Риио г Р (5.2.9) так как составляющая уХги, нормальная к ч и ), равна ВХРР), и, следовательно, ВХ3. ВХч3= 7'ч.
(5.2.10) Поэтому, подставив е/т из уравнения (5.2.7) в (5.2.9), исклю- чим давление и получим выражение, эквивалентное уравнению завихренности, (ВН) — ~(йН г) ~7Р йя) + Ри и т1 и 1 г й 1 Ри „Ч Р (Г),7Р + йа) — ~ (йН) — ~5Н = — — (5Нт). ио ! йио ! иог ггио (5.2.11) Последняя комбинация постоянна вдоль линии тока, так как полностью определяется значениями переменных на большом расстоянии вверх по потоку (р=~м т=ти). В соответствующем уравнении для несжимаемой жидкости в левой части р=ргь а в правой т заменяется на р. Тогда имеем ъ — — „(гЫ + ая) = — „—, (РКН).
(5.2.12) 1 В уравнении (5.2.11) Н и т [а в уравнении (5.2.12) Н и р1 постоянны вдоль линии тока. Таким образом, мы получили значение константы в уравнении (5.2.6). В основе полученных результатов лежит теорема об изопикнической завихренности (равд.
1.5), и они справедливы лишь в том случае, если вектор завихренности в потоке лежит на поверхностях постоянной плотности, В противном случае мы не могли бы заменить е на т11 и получить уравнение (5.2.10). Уравнение (5.2.6) справедливо лишь для двумерного движения, так как только в этом случае поле скоростей, как и поле плотностей, определяется положением поверхностей Бернулли. ГЛАВА а 5.3. Уравнение движения в трехмерном случае 5.4. Волновое уравнение для установившегося двумерного движения несжимаемой стратифицированной жидкости В этом случае р=ра, и мы можем воспользоваться уравнением (5.1.4), чтобы выразить скорость и завихреииость через га в следующем виде: ди дв д / дга1 д / дга~ ч = — — — = — иа — ~~+ — ~~ив — ! = дг дх дг ~ дг ) + дх ~ дх ! диа = — (Чга) + иаЧ га, "га 7 =иа(Чга) ° Тогда уравнение (4.2.6) приобретает вид — — — (!а7 +Яг) = Ч га+ — — (Чга)— Ч З 1 т а 1 ди а а иа ит а "а дга — —,(')аиа(Чга) +ига =7 га (и — ~6р)(Чга)— иа (5.4.1) (5.4.2) — — =сопз1 вдоль линии тока.
(5.4.3) Фг иа В трехмерном случае вместо уравнения (5.2.9) имеем ( гт,) д 1 + ягайга ° аХм ига а (Кгадга)т =0(йо — ')а7' — Я )+ !,"„'„"„. (5.3.1) таи каи, согласно теореме (1.5), чХаа параллельно игаб га всюду, если это условие выдерживается хотя бы в одной точке каждой линии тока. Поэтому !аХм! 1 !я вага! — ф('/ада+ иг) = — — (доа) = сопз1 (5.3.2) ига на поверхности тока (т. е.
на поверхности Бернулли). В этой форме уравнение выглядит обманчиво простым. Однако чтобы пользоваться им, надо одновременно привлекать уравнение неразрывности. Таи каи это связано с большими трудностями, то маловероятно, чтобы кто-нибудь попытался это сделать. Это связано с трудностями задания граничных условий для среды, в которой могут распространяться волны, аналогичные изучаемому движению.
1В1 ВОлны В стРАтиеициРОВАннои жидкости Здесь 1 Фио а= —— Во доо (5.4.4) — завихренность невозмущенного потока. Поэтому выра- жение .(5.4.6) Тогда д» д~ 1 Чяо ЧХ вЂ” Ч1=( — д 1 — — / си ' до / (Чко) =1 — 2 д +(Ч1)~, Ч~ио= — Ч~, (5.4.7) а уравнение (4.4.3) приобретает вид Чо~ — (а — '/ор) ~1 — 2 — +(М)~~+ — оГ,=-сопз1 на линии тока.
"о (5.4.8) В частности ЧоС+(а — '/ф) ~2 — — — (ЧГ)о1+ — С=О (54.9) ао в случае, когда невозмущеиный поток горизонтален, ь и ее производные равны нулю и постоянная в уравнении (5.4.8) равна — а+Чор. Ламб 1$ 235, уравнение (12)1 дал это уравнение в линеаризованной форме, когда а=О. 5.5. Практические приближения В тех случаях, когда на плотностную стратификацию существенное влияние оказывает сила тяжести, первый и последний члены в уравнении (5.4.9) играют большую роль. Например, возможен случай, когда а='/о(), и может развиться волновое движение. Рассмотрим теперь член, содержащий '/ор, и отметим, что, видимо, возможны случаи, когда завихренность а достаточно велика, чтобы играть значительную роль, так как а — '/,р= —,(1пио+'/,1пр)= — „, 1п(р'ио) =о (5.4.5) представляет полную стратификацию течения за счет градиентов плотности и сдвиговых напряжений.
Удобно ввести в это уравнение величину смещения жидкости ь, определяемую выражением ГЛАВА 6 1В2 она может быть сколь угодно большой при достаточно большом градиенте скорости. Если линия тока имеет вертикальную касательную, то производная дь/дг равна единице и (Чь)6 имеет тот же порядок величины, что и ~ЧУ. Если длина волны равна 2я//6, то, сравнивая первый и последний члены уравнения (5А.9), оба существенные в случае гравитационных волн„можно видеть, что яз по порядку величины равно Ы~/ив Член, содержащий '/6(), имеет сравнимую величину только в том случае, если () или '/ЩЧР сравнимо с дЯ/ив . Это равнозначно требованию, чтобы м66 было сравнимо с д~, что вряд ли возможно для волн с достаточно большой амплитудой, так как течение вряд ли гделибо может быть вертикальным.
Сравнивая первый член уравнения (5.4.9) с р(ЧЦ6, можно видеть, что второй член существен только при величине Щ, сравнимой с единицей. Это означает, что смещение должно быть сравнимым с высотой, на которой плотность (или потенциальная температура) убывает (возрастает) в е-' раз. (Эту высоту часто называют масштабом высоты.) В действительности Щ приблизительно равна Лр/р, и аномалии плотности составляют небольшую долю самой плотности.
В случае атмосферы р имеет порядок 10 — 6 км — ', и, следовательно, чтобы член, содержащий р, был существенным, смещение должно быть порядка 100 км. Пренебрегая этим членом, приходим к приближению Буссинеска (см. равд. 2.12), так как члены, содержащие р, но ие содержащие д, получаются из члена (ЕВОЕ в уравнении завихренности. В качестве вывода отметим, что ускорения, создаваемые силами плавучести, которые в свою очередь порождаются аномалиями плотности Лр«р, малы по сравнению с ускорением силы тяжести. Вариации плотности слабо влияют на инертную массу жидкости, ио их влияние через изменение веса объемов жидкости может быть велико.
Другой подход состоит в том, что коэффициенты в уравнении (5.4.9) полагают постоянными, а смещения считают достаточно малыми, чтобы можно было пренебречь нелинейным членом (Ч ь)6. В этом случае можем записать Е=е *Е, (5.5.1) где 5=а — 'Ц, (5.5.2) Тогда уравнение (5.4.9) приобретает вид Ч 'Е + —, — 5' Е = О.
(5.5.3) ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОИ ЖИДКОСТИ При а=О член, содержащий р, но не содержащий Аг, существен только в том случае, если величина '/4р сравнима с Ат/ив. Это з условие на практике никогда не выполняется, так как масштаб высоты всегда много больше той высоты, при свободном падении с которой достигается скорость им В практически важных случаях градиенты скорости, выраженные через О„могут играть гораздо ббльшую роль, чем градиенты плотности, выраженные через р. При этом, однако, надо иметь в виду, что создавать и поддерживать разрывы плотности гораздо легче, чем разрывы скорости.
Разрывы плотности рассматриваются в равд. 5.8. Если величиной Я можно пренебречь в уравнении (5.5.3), то ею можно пренебречь и в уравнении (5.5.1), а это эквивалентно пренебрежению величиной р в уравнении (5.4.9). Подстановка (5.5.1) иногда применялась для получения уравнения вида (5.5.3), с которым удобнее работать, чем с уравнением (5.4.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
