Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Это возможно лишь в том случае, если величина О постоянна по всей глубине рассматриваемой среды. Если решение уравнения (5.4.9) ищут в виде ехр1(5г+йх), то оказывается, что в любом диапазоне значений й нет ни одного решения, которое стремилось бы к нулю при больших г. Причиной этого является наличие члена, содержащего р(дЬ/дг), который даже колебательные решения делает пропорциональными ехр ('/зрг). В результате„если водны развиваются в атмосфере с а=О, а () и ив одинаковы иа всех высотах, то амплитуда должна быть большой на больших высотах. Однако волновой процесс должен существовать достаточно долго для того, чтобы можно было пользоваться стационарным решением, Конечно, длинные волны, создаваемые полусуточными приливами в атмосфере, действительно имеют очень большую амплитуду на высотах около 80 км, но здесь они не рассматриваются.
Если а' '/зр, затруднение исчезает. Смысл этого в том, что флуктуации давления, необходимые для затухания волн в атмосфере, могут происходить только тогда, когда амплитуда волны в слоях очень малой плотности на больших высотах весьма велика. Однако резкое увеличение скорости с высотой уменьшает амплитуду, так как увеличение скорости движения жидкости эквивалентно повышению ее плотности. Это хорошо видно из уравнения (5.4.5), согласно которому вариации скорости могут порождать вариации рнзим не уступающие по величине вариациям плотности. В следующем разделе будет показано, что член, содержащий р, не создает существенных затруднений по сравнению с эффектами сжимаемости в атмосфере. ГЛАВА а 6.6.
Волновое уравнение для сжимаемой атмосферы Воспользовавшись полным уравнением неразрывности (5.1.4) вместо уравнений (5.4.1) и (5.4.2), для случая сжимаемой атмосферы получим т1 = — ~ — (Ч и ) + на Ч иа1 + иа ~~ — — + — — ~ ~—, рардиа а а 1 Гдса д дса д 1ра р ~пса ! ( дс дс дх дх ~ р (5.6.1) р Ч = — иа(Чга), р ра р р (5.6.2) ра 1+ Кс са (5.6. 4) Это уравнение справедливо для смещений, которые малы по сравнению со слоем атмосферы толщиной ЗО км.
Тогда получим — (1+2+~) Ч'~+( — 'Цф+2 —,', ~) [Ю' — 2®)1+ + са (~ + ср ') ~(1 дс ) д — ( дх ) ~ — — РГ =О. (5.6.5) иаа Левая часть этого уравнения постоянна для каждой линии тока. Эта константа была положена равной нулю на основании предположения, что в потоке найдется место„ где течение является невозмущенным и направлено по горизонтали, так что ь и ее две первые производные равны нулю. Мы пренебрегли также членами, содержащими квадраты йоса.
В атмосфере 6 и й~/са имеют соответственно порядок 10 — т и 10-с см-'. Следовательно, даже при а=О членом, содержащим 6 без д, можно пренебречь. Физически это означает, что сжимаемость сильнее влияет на изменение массы единицы объема воздуха, чем стратификация. В практически важных случаях завихренность а может играть важную роль, и поэтому откуда с учетом уравнения (5.2.6) следует ( ~ ) ( срс (Ч~а) +ИРЧ Ха1+ р На(дх дх + дх дх1 — — ~ 1; — 'иа(Чяа) + ии =сопз1 вдоль линии тока.
да, Ра. а са с Ра' (5.6.3) Обратимся теперь к уравнениям (5.4.6) и (5.4.7). Полагая смещения адиабатическими, уравнение (1.8.7) можем записать в виде волны в стватиьицивованнои жидкости 5.7. Уравнение неразрывности для сжимаемой атмосферы Излагаемые ниже результаты в равной мере справедливы и для случая вращающейся Земли. Вращение представляется вектором $, а уравнение движения приобретает вид (см. равд. 4.3) — = — — игаб р+ н+ ч Х 1, Ыт 1 (5.7.1) так что ч ° агаб р = — рч ° — „+ рч ° н = — р — '/,ф — зрю, (5.7.2) дт где и — вертикальная составляющая скорости.
В случае адиабатического движения -„~ = с'+, (5.7.3) а уравнение неразрывности имеет вид — = — р Фчч. Н~ И (5.7,4) ее„вообще говоря, надо удерживать, однако по той же причине, по которой мы пренебрегаем членом, содержащим р, но ие содержащим д, обычно можно пренебречь и большей частью членов, содержащих д/са. Если положить (1+2(д/сх)Ц '=1 — 2(й/са)ь и пренебречь членами, содержащими да/с4, по сравнению с йр/ио, то из уравнения (5.6.5) получается ч С-( — Ц-+)(ч~) +(2 -~- — ',) — '," + В + + ~ (1 — 2 ~, 1) = О.
~а Так как средние члены здесь обычно можно отбросить (за исключением тех, которые содержат а), то видно, что основное влияние сжимаемости определяется последним членом. Член, содержащий ь', сравним с членом, содержащим ~, при ~ порядка 5 км в атмосфере. Таким образом, применительно к атмосфере последнее уравнение можно переписать в виде ч'С+а[2 — — (ч~)'1+ —,С(1 — 2 ~ Ч=О. (5.6.7) "о ГЛАВА 3 Из этих трех уравнений получаем 51ч к = — —,— + —,~ — '/,д'+ дш~.
(5.7.5) б1чу= — ш. К «2 (5.7.6) Оно показывает, что единственной важной причиной расшире- ния элементарных объемов воздуха (часто называемых «воз- душными частицами») является их вертикальное перемещение в поле давления, создаваемом силой тяжести. 5.8. Волны малой амплитуды и влияние вращения Земли В дальнейшем будем пользоваться обозначениями малых возмущений (и, о, ш), т, в относительно невозмущенного потока (1/, К, О); то и еа, в котором все невозмущенные величины являются функциями г.
Произведениями малых величин будем пренебрегать. Так как волны большой амплитуды определяются другими эффектами, то вращением Земли также можно пренебречь, а там, где оно будет учитываться, применим метод малых возмущений. Задаче о волнах большой амплитуды с учетом вращения до сих пор ие уделялось достаточного внимания. Член, в который входит др/дй пренебрежимо мал по сравнению с членом, содержащим я, так как при локальной скорости изменения давления 1 мбар/мин, которая может быть превышена лишь при прохождении резко выраженного атмосферного фронта или торнадо, эти два члена сравнимы, если вертикальная составляющая скорости равна всего 15 см/с. Это очень мало по сравнению с той скоростью, которая возникла бы, если бы изменения давления были столь велики.
Следовательно, вертикальное смещение воздуха в поле гидростатического давления создает на практике гораздо большую дивергенцию, чем локальные изменения давления. Член '/тдэ, стоящий под знаком полной производной, определяет изменения давления, которые имеют место при ускорении воздушных масс и также составляют 1»2 мбар для всех интересующих нас полей течения. Ими можно пренебречь, так как они соответствуют вертикальному смещению от 1О до 20 м, которое много меньше, чем в интересных с точки зрения динамики случаях.
Таким образом, уравнение неразрывности приобретает вид ВОлны В стРАтиФициРОВАнной жидкости Условие адиабатического состояния имеет вид — '„', =О, (5.8.1) а уравнение движения дт 1 — = — —,агаб м+ а+ т Х $. Н (5.8,2) Примем, что амплитуда волнового движения пропорциональна а~Ах, таК ЧтО дЛя ВОЗМущЕНИй дх (5.8.3) д В + ~/'У=О, (5,8.4) д В иУ=0, ду 1 до> 8 0 (5.8.6) дх Здесь мы пренебрегли горизонтальными составляющими угло- вой скорости вращения Земли $, так как их влияние на изучае- мые явления незначительно.
Будем рассматривать ~ как верти- кальную составляющую $, которая в горизонтальном направле- нии изменяется незначительно, и наши выводы, следовательно, а во всех других случаях д/дх равна нулю. Рассматриваемое движение будем считать двумерным, так как именно это ограничение позволяет представить решение в виде, содержащем множитель евт. Оно дает волны Кальвина, распространяющиеся вдоль стенки, оказывающей на жидкость давление, противодействующее отклоняющей силе. Такие волны могут распространяться в море вдоль береговой линии или вдоль глубинного разрыва сплошности, но они представляют собой весьма специфическое явление, которое мы не будем рассматривать. Подобные волны могут„вероятно, возникать и в атмосфере при движении воздушных масс вдоль горных хребтов, однако распространяющиеся устойчивые волны, не стационарные относительно земли, не играют значительной роли в атмосфере. Некоторые волновые процессы, в которых не проявляется влияние вращения, описываются далее в этой главе, но они никогда не рассматривались как волны Кельвина в атмосфере.
Чтобы невозмущенный поток находился в состоянии геострофического равновесия, величина ва должна, конечно, меняться в направлении у. Таким образом„ уравнения невозмущенного движения имеют вид ГЛАВА О не пригодны для областей, охватывающих большой диапазон широт, В полном виде проекция уравнения (5.8.2) на вертикаль выглядит следующим образом: «о+ )[((7+ )д +((~+о) д„ +.
-й-1 д (соо+ о>) — К(со+а). (5.8.7) Вычитая из зтого уравнения выражение (5.8.6), пренебрегая членами второго порядка малости, соответствующими возмущениями, и обозначая штрихом частные производные по г, получаем ;И ив+ а + на= О. (5.8.8) Аналогичным образом для проекций уравнения (5.8.2) на оси х и у имеем соИ(Уи+ то(7'се+ Исо — тау'о = О (5.8.9) 'о 'о ' с.г' а= —, и Т' Т (5.8.14) с' = ЯТ, откуда И(7о+ М'си+,1'и = О.
(5.8.10) Условие адиабатичности (5.8.1) и уравнение неразрывности (5.7.6) соответственно приобретают вид И(Ус + тров = О, (5.8.1 1) Ии + э' — ~ и = О. (5.8.12) со Из трех последних уравнений величины о, т и и можно выразить через св. Тогда уравнение (5.8.9) позволяет выразить со через пц И.-= ои Яэ . ~+„иш+М,УХ Х[(г у — А,,у„, ),ш+ оУ' св'1 (5.8.18) Это уравнение можно продифференцировать по г и исключить из негосо при помощи уравнения (5.8.8).
В результате получим приведенное ниже уравнение (5.8.16), в котором использованы следующие обозначения: ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОИ ЖИДКОСТИ 189 Эти величины представляют собой основные характеристики невозмущенного физического состояния. Величины а и а2 могут быть одного порядка; их значения для атмосферы лежат в диапазоне от нуля до 10-' см-', хотя для тонких слоев они могут достигать 10-2 см-', а в ситуациях, ведущих к образованию облачных валов, на короткое время и 10-' см-'.
Величина 62 имеет тот же порядок, что и б„которая изменяется от 10-2 см — ' вблизи земной поверхности до вчетверо большей величины в стратосфере или в тонких слоях. Отношение й/с2 равно приблизительно 1О-В см ', а 1 в средних широтах составляет около 4. 1Оз с-'. Исключая все переменные, кроме ш, получаем (1 — Р') 222" — ф + р — Р' (а + р + 2 ) — (Ра~ 2в'+ + ~ — — — — й2+ а (~ — — ~+ — (Р+ р,)— 1О2 и ' 1, 22~ ИФ вЂ” 1Р '(в2 (Р + а) — г-] — Р2 ~2 (а + ~ — Р2)~ тв = О. (5.8.16) Всеми членами, содержащими Р, можно пренебречь, если Р не равно по порядку величины единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
