Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Поэтому увеличение скорости ветра с высотой означает, что амплитуда волны убывает и в то же времи влияние увеличения иоо на Р такое же, как если бы убывало 8, и, следовательно, как уже отмечалось, диапазон длин волн, в котором вертикальное смещение меняется по синусоиде, сужается. Выше уже отмечалось, что для захвата подветренных волн Р в верхних слоях должно быть малым. Теперь мы видим, что увеличение скорости ветра с высотой в верхних слоях делает захват в нижних слоях более эффективным, если Р при смещении вниз увеличивается.
Если ограничиться изучением волн малой амплитуды, то для вертикальной составляющей скорости в соответствии с уравнением (5.8.20) можно записать ьои (5.14.3) Тогда при 8=0 получаем уравнение е' ~м а,' (5„14.4) при выводе которого предполагается, что частные производные по г и го равны, а это допустимо лишь при малых ~.
Из уравнения (5.14.4) следует, что отрицательная вторая производная доио/даос равнозначна положительному 8 1см. уравнение (5.10.28) ) . При доио/дго=сопз1 =то уравнение (5.14.4) имеет решение (5.14 5) то — В1п и (г — г,), где (5.1 4.6) Однако в то же время ио-В1пт(г — го) (5.1 4,7) ГЛАВА З 216 и так как гп >а, то расстояние по вертикали между нулями иа меньше, чем между нулями Га, или, иначе говоря, кривизна пРофилЯ ив больше, чем кРивизна пРофилЯ Га, Отсюда следУет, что если нас интересуют условия, при которых стоячие волны возникают за счет кривизны профиля скорости, а не вследствие того, что р в нижних слоях положительно, то мы получим нулевое значение Гя для уровня земли на меньшей высоте, чем нулевое значение и,.
Однако из уравнения (5.14.3) вытекает, что ситуация, когда значение иа в потоке равно нулю, невозможна. Поэтому сама по себе кривизна профиля скорости не может обеспечить захват стоячих волн в приземных слоях атмосферы. Некоторые авторы предполагали, что положительное значение дзив/дзюба оказывает такое же влияние, как отрицательное р, и поэтому является дестабилизирующим. Этот вывод неверен, так как указанное влияние сводится лишь к изменению диапазона значений й, в котором проявляются те или иные свойства устойчивых волн. Однако если иа не обращается в нуль, то присутствие слоев, в которых величина дзив/да~а сравнима с дР/им иногда позволяет захватить волны с определенным волновым числом й, которые не были бы захвачены, если бы ветровой профиль не был криволинейным (см., например, Скорер, 1949).
Хорошо известна теорема (см., например, Дрейзин и Хоуард, 1966), согласно которой поток жидкости постоянной плотности при некоторых длинах волн может быть неустойчивым, если на профиле скорости двумерных волн есть точка перегиба; в противном случае поток устойчив, Это значит, что для возникновения неустойчивости должен существовать слой, в котором ветровой градиент максимален, т.
е. слой с большей завихренностью, чем слои, расположенные над и под ним. Возникающее при этом явление подробно анализируется в гл. 6. С другой стороны, совсем не просто указать условия, при которых сложные профили скоростей могут приводить к появлению стоячих волн. В недавно опубликованной работе Бэнкса, Дрейзина и Затурской (1976) показано, насколько сложной может быть эта задача,'когда максимум и минимум скорости достигаются в самом потоке, а не на границах. 5.15. Подветренные волны при обтекании трехмерных препятствий Так как расчет обтекания трехмерных препятствий крайне сложен, продемонстрируем основные особенности таких течений на простейшем примере, встречающемся в природе.
С этой 2)т волны В стрлтнонцнроВАннои жидкости (5.15.1) и если линейное возмущение составляет с нормалью к направлению движения угол ф, то поперечная составляющая (/сов ф создает волны. Продольную составляющую скорости можно добавить после того, как форма волновой структуры найдена. (/соб (Р волна Гйи)бипилнная ( -щп)си) / / УУРепяпгопние Рис. 5.)З.!. Система координат (а) н подветренная волна в вертикальной плоскости за препятствием (о). Волна в точке Р, параллельной линейному препятствию ОО', составляющему с иармальн» к набегающему пмоку угол бь Набор линейных препятствий с разними угламн В образует в точке О изолированное препятствие.
Подветренные волны получаются суммированием отдельных подветренных воли. Справа показана злементарная подветренная волна в вертикальной длооксстн, проведенной через О'Р. Если подветренные волны пропорциональны з!и йх, где х— расстояние, отсчитываемое вниз по потоку в направлении перпендикуляра к линейному препятствию (рис. 5.15.1), то для точки Р с полярными координатами г, О из определения Х и уравнения (5.15.1) получим следующие два уравнения: Х = г соз (ю + 0), й = ийс ит' (5.15.2) Представим теперь себе возмущение с центром в точке О, образованное системой линейных препятствий с углами гр, лежащими в интервале — и/2(ф н/2 н образующими каждое свои подветренные волны.
Общая волновая картина за препятствием представляет собой сумму всех подветренных волн Если точка Р лежит на гребне волны в общей волновой структуре, то ее положение соответствует огибающей линии гребней отдельных подветренных волн, где лХ=М, (5.15.3) целью рассмотрим волны за источником возмущений, каким является, например, судно, движущееся по поверхности глубокой воды. Вся структура возникающих при этом волн остается неподвижной относительно судна и может рассматриваться как* подветренные волны.
Скорость волн на глубокой воде (/ определяется выражением глхвх з 210 а й/, в случае гребня,— фаза. Точно так же узлы и впадины суммарной волновой структуры представляют собой огибающие отдельных линий узлов и впадин, причем ф служит параметром, определяющим ту или иную из подветренных волн. Огибающая получается как геометрическое место пересечений линий, соответствующих уравнению (5.15.3), с линиями для соседнего значения ф. Ее уравнение найдем, решая совместно уравнение (5.15.3) и уравнение, получающееся в результате его дифференцирования: — (ФХ) =О. (5.15.4) дт С помощью уравнения (5.15.2) эти два уравнения легко приводятся к виду г зес' ф сов (ф + О) = а = М У'/д. (5.15.5) 21нр=(п(р+О), (5.15.6) Если теперь положим х=гсозО и у=гз1пО, то получим следующие уравнения для фазовых линий суммарной волновой структуры: х=асоз р(2 — соз'р), у=аз1п<р(1 — з1п'ф) (5.15.7) причем параметр ф меняется в пределах от — и/2 до и/2.
Наиболее интересной чертой этой волновой картины, показанной на рис. 5.15.2, является то, что она заключена между двумя значениями О. Так как из уравнения (5.15.6) следует — '=1п0= х 1+ 2~0тт (5.15.8) то ясно, что угол О равен нулю при ф=О или ~п/2, а его максимум достигается при 18'ф = —, ! 2 (5.15.9) т. е. при 1к Омакс или ~ 0„,„, ~ = 19'28'. (5.15.10) Все фазовые линии волновой картины имеют одинаковую форму и получаются при последовательных значениях Ж, которые увеличиваются на 2н при переходе от одного гребня к другому.
ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОИ ЖИДКОСТИ Полученные формулы имеют простой вид благодаря простоте уравнения (5.15.1), которое связывает длину волны со скоростью на глубокой воде. В стратифицированной жидкости простейшим соотношением является уравнение (5.10.5) для случая течения между твердыми горизонтальными границами. Тогда уравнения (5.15.2) заменяются уравнениями Х = г соз (т+ 9), Ф'= гауз з — йз г (5.15.11) и уравнения (5.15.3) и (5.15.4) сильно усложняются. Теперь при Ркс бдбД. Линни гребней суммарной структуры подветренных вали за возмущением с центром в точке О, двкжущнмсп по поверхности глубокой воды.
Другие линии постоянное фазы имеют аналогичную форму Точки М, в которых расходящиеся ливии постоянноА фазы иересекаюг такие же поперечные линии, соответствуют максимуму амплитулм волны. Иногла достигается второА максимум в точке Ф, но его ие следует путать (в случае корабля) с гребнями воли типа М, создаааенмх кормой корабля. Поперечине волны в точках Е велики, однако для хорошо спроектированного корабля, идущего с расчетлоА скоростью, суммарггое возмущение, создаваемое главным образом его носом и кормоА, здесь минимально, н аз им обаспечивается минимум волнового сопро- тивления. ф„стремящемся к и-и/2, а можно последовательно полагать равным 2, 3„... и получать более высокие моды подветренных волн, вносящих свой вклад в волновую структуру.
Обычно вклад этих мод пренебрежимо мал, так как онн ограничены малым диапазоном углов ~р и их амплитуда в двумерном случае, для которого они и получены, имеет меньшие значения. Поэтому в дальнейшем будем ими пренебрегать, полагая п=1 ГЛАВА 2 (5.
15.12) где звездочками обозначены значения функций при а /р« — значение ч/„при котором (ЬХ)' = О и (й'Х*)' = О, (5.15.15) Штрихом здесь обозначена частная производная по Ф. Раз е'"х — колебательная функция Ч/, то основной вклад в интеграл (5.15.13) вносится в окрестности значений /р, удовлетворяющих уравнению (5.15.15), так как здесь агах меняется очень медленно, поскольку фаза йХ в области интегрирования стационарна лишь в этой точке. Поэтому хорошее приближенное значение интеграла получим, заменив переменные Ф(<р) и г,(г, Ч/) их значениями при ч/=/р«.
Воспользуемся также формулой « ,) /у«цз )/«1 + 2 т «! /«/М Е /22= — == — Е /я )/2 /а (5.15.16) в уравнениях (5.15.11) и аналогичных уравнениях для других случаев, Некоторые детали волновой картины можно получить с по- мощью следующего альтернативного подхода. Возмущение произвольной формы в точке О можно представить в виде «/2 С(г, 0)= ( Ф(р) У(Х)/Ьр, -«/2 где 1(Х) — профиль одной из его составляющих, а Ф(/р) — ее амплитуда, изменяющаяся в зависимости от /р.
Таким образом, если Ф=1, т. е. все препятствия одинаковы и имеют в попереч- ном сечении вид тонкой стенки с единичной площадью, то на расстоянии г от начала координат высота препятствия, опреде- ляемая уравнением (5.15.12), обратно пропорциональна г. Если ширина «стенки» Ь, то при /1(Ь препятствие имеет плоскую вершину; при г.»Ь его высота убывает и при больших г стано- вится обратно пропорциональной г. Если подветренные волны за линейными препятствиями про- порциональны з)пйХ, то суммарная волновая картина описы- вается выражением «/2 ) Ф(р) 1е' ~(л, <р)/КЧ, -«/2 где ь(г, /р) представляет изменение отдельных волн по высоте, зависящее от /р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
