Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Может быть, однако, что интенсивность Г равна б интенсивности /. В этом случае мы будем говорить о сохранении интенсивности векториальных трубок. Теорема П. Необходимым и достаточным условием сохраняемости интенсивности векториальных трубок вектора а является выполнение равенства (И, а)=0, И=Ее!та= — а — (а,у) 7+ад!ч7. . (32) где Действительно возьмем производную по времени от интенсивности Р = — ( / / (а, в) ~й) .
В векторнальном исчислении выводится формула для последней производ- ной, на основании которой получаем ~ = Ч Я + сит! [а, Р)+ Ч Мч зли) да ) а Так как а — бесконечно малая площадка, то для выполнения условия: Ш лТ необходимо (-„-+саг! [а, т')+Чб!ъ а,п)+О. Так как вектор а параллелен нормали, то в последнем равенстве вместо вектора в можно поставить а, и тогда получим условие сохраняемостн интенсивности векторнальной трубки в виде ~ — + спг! [а,7) + У б!т а, а) = О.
~! См. [Л. ~, стр. 235 (3 издаине!. Остается показать, что первый из множителей скалярного произведения можно заменить вектором Н. Для этого воспользуемся формулой из век- ториального анализа (см. 1Л. 3), стр. 118) спг1 1а, У] = (Ч ° Ч) а — (а р) У+ а йч У вЂ” ч йч а; подставив это выражение спг1 1а, У) в указанный множитель и сократив члены: У йч а и — У йч а, получим ; —, +спг1 1а У)+Уйч а=-„-+(У. ч)а — (а ° Ч) У+а йч У= ; — (а ч) У+ а йч У = Н (ЗЗ) и, следовательно, условие сохраняемости интенсивности векториальной трубки можно переписать таким образом: ( —,— (а Ч) У+а йчУ, а)=0 или И О, где Н = — - — (а Ч)У+айчУ =-,— + спг1 [а, У)+У йч а.
Необходимость условия очевидна, так как для одновременного выполнения условий сохраняемости векториальных линий вектора а и интенсивности векториальных трубок должны быть равны векториальное и скалярное произведения векторов И и а1 (Н, а) = О, (Н, а) = О, откуда следует, что Н = О. Этому условию можно дать другой вид. Действительно, имеем: Н=-- — (а ° Ч) У+а йч У=О..
«га «гг Из уравнения нераврывности йч у= — — -р. 1 лр р «гг Умножив все члены уравнения (ЗФ) на — и заменив йч У на — — —, получим г 1 «гр р «гг 1 «га 1 лр 1 — — — — — а — — — (а у) У=О, р «гг р««гг р или (Н,а)=0. Достаточность этого условия мы также не будем доказывать (Л. 1). Теорема Ш. Необходимое и достаточное условие сохраняемости векториальных линий и одновремейно интенсивности векториальных трубок состоит в равенстве нулю вектора Н: На основании теорем Гельмгольца мы знаем, что в идеальноМ ', жидкости, при наличии лишь консервативных сил, вихревые линии и„-, интенсивности вихрей обладают свойством сохраняемости.
Поэтому'':-.' если за вектор а принять вихрь скорости й, то посяеднее уравнение при- мет вид: Это есть система уравнений, известных под названием уравнений Гельмгольца. Применим теперь теорему 1 к выводу условий сохраняемостн ли«. ний тока. Положим а= а'.
Так как дт дт ;;, = «-;-+(у. р) у, то )) ( 'т) ы а потому условие сохраняемости линий тока будет (дс ' что равносильно уравнениям дя дг д д1 дФ д1 и я е' или д)йи д)ав д)к д1 д1 д1 Приравняв каждое из этих отношений произвольной функции координат и времени — ' — '', после интегрирования по времени, получим д) (х,у,х, б 1и и = ф (х, у, г, 1) + ~, (х, у, х), )до=ф(х,у,х,8)+у, (х,у,х), .1и м = ( '(х, у, х, г)+ ~, (х, у, я), где ( — произвольная функция четырех аргументов, ~„~„~,— произвольные функции координат.
Из последних равенств получаелм и = е~ д" в (х, у, з, Ф) Р, (х, у, з), в=е аЬ= т(х,у, я, д) Г, (х,у, а), та=е~ е~'=т(х, у, х, г) Р, (х,у, з). Таким образом, мы имеем сохраняемость линий тока в случае, если соста- вляющие скорости пропорциональны функциям от координат. Очевидно, что в этом случае уравнения линий тока дх ду Нг будут дх ау дх х1 (» у х) Рр (х, у, х) Рз (х,у х) т. е. линии тока таковы, как если бы движение было стационарным.
Особенный интерес представляет рассмотрение условий сохраняемости вихревых линий, к чему мы теперь и обращае)ася. Итак, пусть а = 1)=спг) 7. Будем рассматривать введенный выше вектор Н как оператор, производимый над вектором а, и обозначим его, по А. А. Фридману, через 'пе1ш а: И=йе1гп а =-„-) — (а ° и) т'+а б)ч т'= — ~~+сит) (а,7)+т' б)та... (35) Для вихря скорости имеем Ье1гп спг! У = --'-"; - -+ спг1 [спг! У, Ч] = свг1 ( —, + [спг1 У, У]) . Возьмем составляющую по осн х вектора [спг1 У,У] гди дал «ди дих [спг! У У] = спг! У т«« — спг1 У о=( — — ---)и« вЂ” [ — — — -) о= к к [ дг дх~ (,дх дД ди ди ди«ди т««+ - - о — — тд — — - т« ° д дг дх д. ди Прибавим и вычтем в правой части - и; получим [спг! У У] = и+ — о +- — и« вЂ” — — (из+ок+аР).
ди ди ди ! д дх д«« . дк 2 дх Прибавляя зто выражение к ,-, видим, что ди —,-+[ 1У,У]„=-к) — — - -( '+ '+ '). ди ди ! д Рассмотрим аналогичным образом две другие составляющие, найдем - -+ [спг! у у] = — — — у !к«. дт дт ! д« «й 2 М Так как вихрь от градиента равен нулю, то у нас остается лишь спг! —, а потому окончательно имеем . Ье1ш снг1 У = спг! — ". ду «а Условие сохраняемости вихревых линий теперь может быть написано таким образом: [ спг! -икг, У1 = О.
. (37) Оно показывает, что вихрь ускорения параллелен вектору скорости. Условие сохраняамости интенсивности бесконечно тонких вихревых трубок будет (спг! —,У) =О, . (38) Обращаясь к уравнениям движения идеальной жидкости, имеем дт — ур+ Г. Если силы консервативны и жидкость несжимаема, то спг1 — — = — и«спг! («7р) ыО, НЧ д« и, следовательно, обе теоремы Гельмгольца имеют место.
В случае сжимаемой жидкости (У вЂ” консервативна) спг! — = — сиг! (мур) = [ур«у«и]. д« д« т. е. вихрь ускорении должен быть ортогонален вектору=.скорости.- Если выполняются оба условия сохраняемости, и интенсивностей, и вихревых линий, то спг1 — — =О.............. (39) дт если спг1 д — — О, то (тр, !гш1 =О, и следовательно 'ур пвраллелен уа>; в:этом случае изобарические и изостерическне поверхности совйадают,, й 5. Условия динамической возможности движенйя сжимаемой жидкости. В случае сжимаемой жидкости мы имеем, как указь>вадось в начаде этой главы, уравнения движения н уравнение неразрывности': д- — — — ур+г, ...... ° ..' .. (40) дт — — "+р бгт 7=0............
(41) т, е. вектор ускорения должен удовлетворять условию, что его вихрь равен нулю. Например, в несжимаемой жидкости невозможно вращательное движение с такими составляющими скорости и= — Л(х) у, и=Л (х) х, та=О, (42) где Л вЂ” угловая, скорость вращения вокруг оси з — зависит от з, и воз-можно такого, рода движение,. при Л постоянном. В самом деле, хотя условие несжимаемостн выполнено, так.как,.б!т 7=0, однако здесь — — = — + — — 'и+ — — т>+ — а>= — Лэ (х) х дгг ди да.' . ди ди Ж дг дл ду д( —,-= — Л (в)у, — =О, сит! —,= — 2Л (з) Л'(х) х, спг1 — ' ='О, дт дг,, спг! — --= — 2Л(з) Л' (з)у, видим,. что спг! — „вообще не равен нулю. Другими словамйг мы не дт можем определить давления из уравнений дл — м> 1 др м — 1 ду ' др — м— дг ' так как в нашем случае в — =Л (з) х, др г дл дУ =Л'( ) У, в --~. =О.
Будем называть и, п, та кинематическими элементами движения, м и р — динамическими элементами. Поставим вопрос: можно ли произ- вольно задать скорости и, в, та, т. е. при любых ли скоростях уравнения гидродинамики будут удовлетворяться, или, иначе, всегда ли возможно, по заданным скоростям, найти нз уравнений движения динамические эле- . менты р и а? Рассматривая несжимаемую жидкость, прн наличии лишь консервативных сил, мы приходим к отрицательному ответу, т.
е. убе- ждаемся, что для возможности определения р из уравнений движения (о> здесь заданная постоянная) необходимо, чтобы скорости удовлетворяли некоторому условию. Действительно, беря сыт! от обеих частей уравнения (40), мы по- лучаем дт сит! — — м спг1 !гр+спг! г =О, дà — 316— Левые части являются составляющими градиента, тогда как правыетакоными не являются, поэтому давление не может быть определено, как функции координат, если только Х не равно постоянной.
Можно сказать, что в случае несжимаемой жидкости движение, определяемое уравнениями (42), является динамически возможным при Л =сонэ!, прн Х=Х (з) оно динамически невозможно. В общем случае несжимаемой жидкости имеем такие условия динамической возможности движения, т. е. условия, налагаемые на вектор скорости: гйу 7=0 и спг! —,-=О. «и« А. А; Фридман поставил задачу об отыскании условий динамической возможности движения сжимаемой жидкости и получил результаты, которые позволяют во многих случаях отыскивать' частные решения урав,нений гндродинамнки. Перепишем уравнения движения (40) таким образом: à — „-;= гр ........... (43) »т Введем вектор, называемый динамическим г ра дне н том: 6=à — -— «гг ат Введем еще обозначение Н= — сит! 6 . (44') 6 П~= « 'и возьмем сит! от обеих его частей; так как сит! яр=О, то получаем в сит! -- =0 о« или, пользуясь'формулой векторного анализа спг! (4а) = ««сит! а+ [пф, а), 1 1 где «[« — скаляр, и имея в виду, что у нас т«[«=1«- = — — Г»«»« 1 1 спг! 6 — -- [Г«», 6) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
