Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 68
Текст из файла (страница 68)
е. движение несжимаемо. Вернемся к общему случаю движения несжимаемой жидкости. Для определения функций: и, и, та и р системы дифференциальных уравнений (5) недостаточно, нужно давать еще дополнительные условия: так называемые начальные и граничные условия. Задать начальные условия значит задать для некоторого момента времени 1=д„и, э, га и р как функции координат: и (х, у, », 8,) = Ф, (х, у„»), п(х, у, », 1,) =Ф,(х, у. »), (х, у, », ~р) = Фр (х, у, ), п(х у»~ др)=Ф~(х, у, »). Граничные условия бывают нескольких видов. Так, на неподвижной стенке нормальная составляющая скорости равна нулю: о„=О; зто значит, что жидкость может только скользить вдоль стенки.
Если уравнение поверхности стенки есть Р(х, у, »)=О, то условие того, что вектор скорости у стенки лежит в касательной плоскости к поверхности, дает такое уравнение: дР дР дР д-и+ ~-и-~- д- та=О. Если стенка перемещается, то уравнение ее поверхности содержит время Р(х, у, », ~) =О. Здесь имеем такое условие для стенки: точка (х,у, »), находившаяся . в момент ~ на стенке, в момент 1+И также должна быть на поверх-' ности, т. е. Р(х+Их, у+иу, »+Ы», 1+аУ)=0.
Вычитая из этого уравнения предыдушее: Р(х„у, я, г)=0, деля на «д и переходя к пределу й О, получим: дР' дР дР' дР' — + — и+ — и+ — та=О. аг дх ду дх На свободной поверхности жидкости„граничащей с пустотой, воз- ' духом, или с другой жидкостью, давление должно быть равно нулю нли атмосферному, или давлению другой жидкости. Это условие дает. уравнение свободной поверхности. В этой главе мы рассмотрим целый ряд частных решений уравненйй гидродннамикн, представляющих интерес для динамической метеорологии. й 2г Градиентный ветер.
Градиентным ветром называется ветер, дую- . щий по изобаре. Рассмотрим прежде всего частный случай движения: горизонтальное прямолинейное стационарное движение с ускорением„ равным нулю: «1= О. Полагая в системе уравнений (22) гл. 11, т. е. уравнений движения вязкой жидкости на вращающейся земле, та=О (гориэонтальное движение). ~0 «и г.'Ь «м (считаем жидкость идеальной), —,- = —;= —; =0 (так как по условию «)/ др «Г = д) — - =0) и =0 (стационарное движение), получим: Т вЂ” — 2рФЯх — — — — 2рп;, д д (ри) д (ри р = р(2иЯ» — 2пЯ„) — ра; + — ) =О. дг у,х ~ ах (Я„, Я„, Я,— составляющие вектора угловой скорости вращения земли).
В третьем уравнении первые два члена правой части малы по сравнению с последним, поэтому ими можно пренебречь. Тогда будем иметь: 2по Р ( др р дХ 1 др — 2иЯ. = —, р у (13) Умножая первое из уравнений (13) ан -Р второе иа — -- и складывая,подр др ду' дх . луч им и — + п--=О. ар ар дх ду Это уравнение выражает условие ир перпендикулярности вектора скорости градиенту давления. Но градиент дав- Рис. 83. ления есть вектор, направленный по нормали к иэобарическим поверхностям, а в случае плоского движения — к иэобарам. Следовательно, в рассматриваемом случае вектор скорости направлен по изобаре (рис. 63). В первых двух уравнениях (13) перенесем члены из правой части и левую; получим 2~~ +( — — — ~~) =0 ) — 2 а.+ ~ — — ' —,"-) =О 1 * (14) Первые слагаемые этих уравнений являются составляющими отклоняющей силы вращения земли, которую мы обозначим через А (А„, А ); вторые слагаемые представляют составляющие градиента давления 6, именно „метеорологического" градиента (отиесенного к единице массы), отличающегося знаком от „гидродинамического" градиента (п)а): Вектор 6 направлен в сторону убывания давления, тогда как вектор с)а (-.=- -'-) л ) направлен в сторону возрастания )а.
дх у,) Уравнения (!4) могут быть теперь написаны в векторной форме А+6=0, которая показывает, что вектора А и 6 равны по величине и противоположна направлены. Так как в северном полушарии отклоняющая сила визит пса л. Рис. 84а. Рис. 84Ь. где à †величи скорости ветра, а †направлен нормали к нзобаре. Выражая-а — гоставлшощчю вектооа ачащения земли по вертикали з кач- о направлена вправо от направления движения, то вектор 6 на правлен влево На рнс. 84а пунктирные линии представляют изобары: имеем вектор У направленный по изобаре, вектор А ему перпендикулярный и направленный вправо, если смотреть по направлению скорости; вектор 6 равен по величине А; он направлен от большего давления к меньшему, поэтому направо от У имеем область высокого давления, налево — низко~о.
В южном полушарии имеем обратную картину, изображенную на рис. 84Ь. Этот результат совпадает с имеющим широкое применение в метеорологии законом Бюйс-Б алло (Впуз-Ва))о1)1 Если стать спиной к градиентному ветру, то в северном полушарии высокое давление будет направо, в южном — налево. Отметим, что формулы (14) дают возможность вычислить скорость градиентного ветра по градиенту давления. Например, если считать ось х, направленной по направлению ветра, то второе из уравнений (14) можно, переписать так: ной,точке земной поверхности через величину этого вектора с! и широту е места, около которого изучается движение, будем иметь ~Ус~=ма!П р (дЛя СЕВЕРНОГО ПОЛуШарИя); где Π†величи градиента давления.
Наблюдения показывают, что скорость ветра у земной поверхности приблизительно вдвое меньше вычисленной по последней формуле, на море расхождение' между наблюденной и теоретической скоростью меньше, а начиная с высоты 100 м расхождения почти нет. Это указывает на большую роль внутреннего трения, которое не учтено в нашем исследовании (см.
гл. ЧШ). Мы рассмотрели случай прямолинейного градиентного ветра. Теперь поставим задачу: отыскать все случаи градиентного ветра для плоского стационарного движения. Теперь в первых двух уравнениях (13) нужно прибавить члены —— ди !гг ди и — —. Получим и! — — +2пЫ о 1дР д! * р дх — — — 2иЯ = — — Р !11 ~ р ду 1 др К= — —, дх д(ри) + д(рс) дх ду (16) 1уР~ = йрп (йь постоянная), . 1 р Далее, как градиент давления, так и вектор отклоняющей щения земли перпендикулярны вектору скорости. Напишем плоского движения нашего случая в векторной форме: дт 1 --- = — 2 1й, у'1 — — уР . и р силы вра- уравнение ди дс При этом — = — =0 (стационарное движение).
Условие поставленной нами задачи говорит, что линии тока должны совпадать с изобарами. с Р! Пусть линии рис. 85 представляют собою две линии тока и вместе с тем две изобары, Зп— аи, элемент линии ортогональной к нзобарам. Тогда 3 др . -оп=сопя( или ~д~~дп= сопз1 вдоль рассматри- Э ваемых линий. С другой стороны, уравнение неразрывности показывает, так как расхождение вектора Р7 равно нулю, что поток вектора ру' Рис. 85.
через контур площадки АВСС1 равен нулю, или иначе рпйп =р!и!8п! = сопз1 1 . вдоль линий тока. Мы видим, что как величина вектора — сР, так и вели- р чина и обратно пропорциональны р и Зп: !уР~ = — — Ф = —;. (л„йр — постоянные), 1 Ь! Ц! р рсп ' раи 1 Следовательно величина — $1!р~ пропорциональна скорости ес 'Так как оба вектора правой части перпендикулярны скорости и по величине.
пропорциональны скорости, та и вектор ускоре- М ния -д-, перпендикулярен вектору скорости и по величине ему пропорционален (рис. 86). Разложим вектор ускорения на касательную и нормальную к линни тока составляющие. Как известно, Ии ,(17 первая составляющая равна —, где и — величина скос(( сл рости, вторая равна --,.где Й вЂ” радиус кривизны линии тока. Так как у нас вектор ускорения направлен Рис. 86., дл по нормали, то — - = О, и следовательно п=,сопз1 вдоль д1 линии тока. Далее, нормальная составляющая — 'должна быть пропорциосл нальна скорости где л †постоянн. Так как и постоянно вдоль линии тока, то отсюда следует, что Й= сопз1 вдоль линии тока„ и следовательно линии тока представляют собою окружности.
Если все вектора, входящие в уравнение (17), спроектировать на нормаль к линии тока, то получим сл 1 др р дл = — — 2й з+ — -- . . (18 С помощью этого равенства мы проверим, выполняется ли закон Бюйс-Балло в общем случае градиентного ветра, когда движение происходит по окружностям. Решим уравнение (18) относительно 2м,п: — 2О и=--- — —— 1 дд 1с р дл . (19) и рассмотрим два случая: 1) - — „(О, т. е. давление убывает с возрастанием и; имеем минимум др (циклон). Оба члена правой части положительны, следовательно и отрицательно; движение происходит по окружности по часовой стрелке. Пра- сх пило Бюйс-Балло выполняется.
Отклоняющая сила А в северном полун шарки направлена направо относительно направления т', градиент давления б и центробежная сила Х, сл величина которой равна †, направлены влево. Для южного полушария с имеем обратную картину (рис. 87, иа н 8 верху). На рис. 87 буква В означает высокое, буква 11 — низкое давление. с'"* "Ъ~ Юлили, ламуи. 2) —,„- >О. Здесь следует разлидй Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
