Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Этот интеграл указывает на то, что расстояние между двумя вихрями остается неизменным во все время движения. Следовательно, два вихря вращаются вокруг „центра инерции", оставаясь на одинаковом расстоянии друг от друга. В частном случае, когда С, = — С», т. е., когда вихри имеют одинаковую циркуляцию, но противоположное вращение, неподвижная точка †,центр инерции" находится на бесконечности (знаменатель С,+С» обращается в нуль). В атом случае скорости обоих вихрей, как нетрудно показать, равны и направлены перпендикулярно к линии, соединяющей вихревые центры.
Известно, что минимумы (или максимумы) перемещаются, причем скорость их перемещения зависит, с одной стороны, от термических воздействий, с другой стороны, от динамических воздействий других минимумов; последнее воздействие как-раз такого же характера, как при движении двух вихрей, именно, каждый из двух минимумов, действующих друг на друга, перемещается в направлении ветров второго минимума. Заметим, что ближе к действительности было бы рассматривать минимумы ие как вихри, а как вихреисточники. Если имеем два вихре- источника с заданными интенсивностью и циркуляцией, то можно определить траектории их центров путем приближенного или графического интегрирования, исходя из того, что каждый центр под влиянием другого перемещается по диагонали прямоугольника, сторонами которого являются протечение и циркуляция другого вихреисточника, причем скорость перемещения обратно пропорциональна расстоянию между вихреисточниками. На рис.
74 изображены викреисточники:й~ и яь Чтобы определить.скорость в точке гь соединяем х, и з,; по этой прямой откладываем Протечение Р, в соответствующем направлении (на чертеже имеем в точке а, сток, для источника Р, ха з: было бы направлено в противоположную сто- ! Х, рону), С, откладываем ° по перпендикуляру к Р„ ! х, г* диагональ, построенную на Рг и С„укорачиваем Рис. 74. в отношении 1/г, где г есть расстояние г, аь и Рис. 75.
получаем вектор скорости рь умножив его на промежуток времени Ы, получим смещение Ьэ, точки з, за этот промежуток времени. Проделав то же самое по отношению к точке з„получим ее смещение Ьа, под влиянием вихре- источника х,. Затем можно повторить все построение, исходя из новых положений вихреисточников и т. д. Этот метод может быть применен к исследованию перемещения вторичного минимума под влиянием главного, причем обычно воздействием вторичного минимума иа главный можно пренебречь.
й 1О. Линии тока в вертикальной плоскости. Вопрос о линиях тока в вертикальной плоскости изучался различными авторами в такой постановке: имеется горный хребет или последовательность параллельных друг другу хребтов, которые обтекаются ветром, перпендикулярным к линии хребта.
Спрашивается, каковы будут линии тока в плоскости, перпендикулярной направлению хребта? Дело в том, что восходящие вертикальные течения на одной стороне горы играют большую роль в образовании осадков в горной области; решив вопрос об обтекании горы, можно вычислить количество выпадающих осадков. Такая задача для бесчисленного множества параллельных хребтов решалась Покельсом 1Л. 17); Фикер [Л.
181 проследил ряд траекторий аэростата, перемещавшегося над Альпами при южном ветре и построил схему линий тока в вертикальной плоскости над гребнями гор и долинами. Прежде чем перейти к исследованиям Покельса, рассмотрим в качестве примера простейшую модель обтекания горы с образованием вихря с горизонтальной осью, параллельной направлению горного хребта.
Будем считать, что наша стилизованная гора имеет вид бесконечного, лежащего горизонтально, кругового полуцилиндра, в сечении которого вертикальной плоскостью, перпендикулярной его оси, получается полукруг. Дополним этот полукруг до круга, отразив верхнюю полуокружность в оси х (см. иа чертеже пунктирную линию), и рассмотрим обтекание этого круга, симметричное относительно оси х. Очевидно тогда, что наша задача обтекания горы эквивалентна задаче симметричного обтекания цилиндра, сечение которого изображено на чертеже. Как известно из гидродинамики, эта задача решается с помощью комплексного потенциала где о — скорость на бесконечности, г — радиус цилиндра.
Зная~(а), можем найти скорость, определить линии тока и т. д. фис. 7б). Вторая задача — обтекание горы с образованием вихря сгоризонтальной осью, параллельной линии хребта, тоже может быть решена. с помощью метода отражения ~рис. 77). Именно, отразим точку А — центр вихря — в круге, радиус которого прпмем равным г,. Иными словами, применим к точке А преобразование Рис.
76. инверсии, которое состоит в том, что точка А переходит в точку В, лежащую на линии ОА, причем ОВ ОА=г„*; отсюда ОВ ф, где Я=ОА. Если угол ОА с осью х есть. ф, то комплексная координата А может быть представлена в виде а1 =)тел', отражение В точки А в окружности радиуса г„будет иметь комплексную координату ге~ Ф -- а зя Подставляя это выражение в уравнение неразрывности и произведя сокращения, получим окончательно дифференциальное уравнение Покельс подбирает такое решение этого уравнения, которое дает волнообразные линии тока, одна нз которых должна дать профиль горной системы. Именно, если взять 7=а(х — Ье совтх), то составляющие скорости будут ьь= — д~ = а(1+Ьте в1п тх), дх пь = — т = аЬие сов тх, дь .
(70) где а, Ь, т, и — постоянные, связанные с постоянной А уравнением ил + Аи — т" = О. Из уравнения линий тока ьЬх ььь ы ьв можно найти приближенно, что Вьь — г й — м„,ь — л*, я = ел+ — в1п тхе "' е ььь . (71) где г=и+ —. а з ' При ел == 0 имеем линию горного профиля: ли — и е = — вьп тхе ььь . (72) т; е. синусоидальную линию с бесчисленным множеством вершин и впадин. При возрастании е, для линий тока получаются синусоидальные линни с убывающей амплитудой (рис.
78). Определим значения постоянных, входящих в полученные уравнения. Прежде всего а есть горизонтальная скорость при х=0, т. е. на серетв дине склонагоры; т= —, Л ~Рл ь Ьл а~ соседними . вершннальи (длина волны). Далее, вычисления показывают, что и = — — + ль — +т'. г г= и+-. ьь в ' Горизонтальная скорость Рис. 7з. возрастает с высотой ,и. имеет наибольшее значение на вершине, наименьшее — во впадине. Вертикальная скорость ильеет наибольшие значения прн х=Π— положительное для наветренной стороны, отрицательное — для. подветренной стороны.
$11. Вихревые цепочки. При исследовании вопроса о порывистости ветра нам понадобятся некоторые сведения нз теории вихревых цепочек, которые мы здесь и излагаем. Рассмотрим бесконечный ряд точечных вихрей, расположенных на одной примой на одинаковом расстоянии 1 друг от друга, и имеющих одинаковую интенсивность С. Пусть имеем вихры в точках г,„ я„ я ь, ел, я а,... (рис. 79).
Тогда комплексный потенциал 7(х) скорости, вызываемой этими вих"рямн, равен сумме потенциалов отдельных вихрей (см. формулу 60). Мы его можем написать так: Мы разделили разности х — хо на — 1к, х — а „на 1А'и умножили х — ао на —, что равносильно введению постоянного слагаемого в функцию Я(х), которую достаточно определить с точностью до произвольной постоянной. Уравнение (73) приводится к виду Так как хо=а +1в, х о=а — 1й, то предыдущее выражение преобра- зуется к такому: . (75) Применяя форлоулу, представляющую разложение з)пкх в бесконечное про- 1 (.1 наведение 2 ф х~л з)п их= их П (1 — — ~, -с ф (ол ж о., ? о. Рис. 79. найдем У(г) 2м !а о)п 1 (2 йо)" С к . (76) Беря от 7(а), производную, получим комплексную скорость С и — 1п= —,= — „-; с(д — (х — х) Но яй Г о ° . (77) Выражение комплексной скорости можно получить иначе как сумму скоростей, вызываемых отдельными вихрямн; тогда получим: Чтобы найти скорость перемешения самой вихревой цепочки, т.
е. скорость каждого из вихрей, ее составляюших, достаточно рассмотреть, как перемешается точка к„ так как очевидно, что все вихри должны перемешаться с одинаковой скоростью. Скорость же в точке хо происхо" Дит от влиЯниЯ всех вихРей, кРоме самого внхРЯ хо. ПоэтомУ в фоР- муле (78) следует положить х=яо во всех членах, кроме первого, который следует отбросить. Получим, что скорость вихря ао равна нулю, так как в формуле (78) при а=хо члены попарно сократятся.
Таким образом, одна вихревая цепочка остается неподвижной, что можно было предано деть, так как на точку хо действуют попарно вихри а, и х и хо и х „и т. д., в противоположных направлениях. две вихревые цепочки. Пубть имеем две параллельные .цепочки вихрей, причем расстояние между двумя соседними вихрямнобоих рядов, равно 1, расстояние между цепочками — л, интенсивность вихрей Аналогично для вихря хя будем иметь ия Фя= — -'; с18- (хя — ха) = 2!. сФК ! (х1 — ая).... (82) 2 2и 1 2 1 2и Таковы скорости цепочек. Для нас представляется интересным рассмотреть условия „твердости" цепочек, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
