Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Фридману, использована в работе Лорис-Меликова я Синягина 1Л. 16]. 9 9. Некоторые сведения из гидродинамикн. Плоское движение несжимаемой жидкости. Изложим некоторые основные определения нз области гидродинамикн. Вихрем скорости называется вектор й с составляющими по осям координат: ди да да дм до да Е=- - — —, ч= — - — —, Е=- — — —,...... (49) ду дя' д» дх ' дх ду' где и, о, та, суть составляющие скорости частицы жидкости. Физическое значение вихря таково: допустим, что рассматриваемая частица жидкости внезапно затвердеет, причем внешний по отношению к частице объем жидкости исчезнет, тогда вихрь по величине будет равен удвоенной угловой скорости вращения частицы, а по направлению совпадет с ее осью вращения.
Следует различать вращательное движение жидкости и вихревое, так как этн два понятия могут не совпадать. Приведем примеры. 1. Движение, параллельное оси х, со скоростями, пропорциональными расстоянию от осн х и=О, я=О, це вращательное, но вихревое, так как для него Е=ч=О, Е= — а. 2. Движение по окружностям со скоростями, обратно пропорциональными расстоянию от начала координат, есть вращательное, но безвихревое движение, ибо здесь имеем: 3. Движение по окружностям со скоростями, пропорциональными расстоянию от начала координат, есть вращательное и вихревое.
Е=ч=О, Е=2а; о=ах, частицы движутся по окружности, оставаясь все время обращенными одной и той же стороной к центру окружностей, так что, когда частица вернется в исходное положение, то она за это время повернется на угол в 360 . Вихревым и лип и я ми называются линии, в каждой точке которых направление касательной совпадает с направлением вихря. Их дифференциальное уравнение имеет вид Мы видим, что определение вихревых линий имеет аналогию с определением линий тока. Для цлоско-параллельного движения, параллельного плоскости хоу, составляющие скорости имеют вид и = и (х,у, Ю), о = о (х,у, 1), та = О; нетрудно видеть, что тогда горизонтальные составляющие вихря равны нулю, а вертикальная составляющая зависит от х,у,й 3=3=О, 1=1(х,уд.
Следовательно, уравнение вихревых линий будет Фх Фу Ю о о цх.>у,й' откуда получается х= Сь у=Ст (Сь С, †произвольн постоянные). Таким образом видим, что вихревые линии представляют собою прямые параллельные оси х. Рис. 68. В н х р е в о й т р у б к о й называется поверхность, которая строится таким образом: возьмем в жидкости произвольную замкнутую кривую и через каждую ее точку проведем вихревую линию: совокупность этих линий и образует вихревую трубку (рис. 68). Т е о р е м а Стокса в применении к вектору скорости' может быть сформулирована таким образом: циркуляция скорости по замкнутому кон- туру равна потоку вихря через любую ног верхность, ограниченную этим контуром: с, ~,а-~~чпя;...... вв 4 здесь 5 — рассматриваемая поверхность, аЯ— 1 элемент поверхности, Я„ †нормальн к этой поверхности составляющая вихря. Равенство (51) можно переписать в раз,й'- вернутом виде: Ф С = Гиг)х+тх)у+ анЫ= А г Рвс.
Ю. = / / ~йуЖ+ЧахЖ+~ахау.... (52) Приведем простой пример, иллюстрирующий смысл формулы (52). Дано движение: иьм — ау, э= ах, та=О. Здесь мы имеем: 3=ч~, 1=2а. Пусть кривая А — окружность радиуса гс в плоскости ху, а поверхность — полусфера, опирающаяся на Е (рнс. 59). Тогда С ~ иЕх+ тк$у+ тгнЬ = и ~ ( — 'уйх+хйу). Е Напишем уравнение окружности в параметрической форме: х=гссоз1, у=гсз$пй Вычислив Нх и ду, преобразуем выражение хау — уах к виду — уах+ хну =+ д'(Мпа 1+ созх 1) И =+ щИ. — 279,— Рассмотрим плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости Для него имеем два уравнения: д а — — — =О,............ ах ау — '* * *' ди дч — + — =О,.....;......
дх ду '' '' ' ' ** (55) (56) из которых первое выражает условие равенства вихря нулю, второе есть уравнение неразрывности. Уравнение (55)'показывает, что иЫх+ оИу есть полный дифференпнал: тих+ оиру = Ы ч, откуда дв дт и следовательно скорость имеет потенциал ч (х, у, г). Уравнение (56) показывает, что ш(у — ейх есть полный дифференциал; положим иг(у — Ых = с( ),...........
(58) тогда и=— ду' дх (59) Если выражения (57) для и и о подставить в формулу (56)„то увидим, что потенциал скорости ч удовлетворяет уравнению Лапласа ф2 т дт=,„-'; + —,,т- =О. Точно так же, подставляя формулы (59) в уравнение (55), найдем что функция ф удовлетворяет уравнению Лапласа Ьф = О. Эта функция называется комплексным потенциалом. Ее производная по я дает комплексную скорость ау(») дт .
дь — = — +а — =и — аи. а» ах+ а» = Сравнивая выражения для и и о, даваемые формулами (57) и (59), получим уравнения Коши †Рима дт дф дв д4 дх ду ' ду д» Докажем, что 'кривые ф= сопят являются линиями тока рассматриваемого движения. Действительно, нз уравнения линий тока ах иу получаем иЫу — тазах= 49 = О [на основании (58)).
Уравнение ф=сопз1 есть общий интеграл уравнения линий тока; функция ф носит название функции тока. Как известно нз теории функций комплексного переменного, функции ч и ), удовлетворяющие условиям Коши †Рима (при непрерывности производных ††, †', ... ), можно рассматривать как вещественную и мнимую части некоторой функции У (я) комплексного переменного х+ юу т+И=Лз). Для пблного определения функций г и ф нужно задать условия на границах: например -„---, т. е. производную т по нормали на стенках сосуда, в котором заключена жидкость, или скорость на со, если жидкость занимает бесконечный об'ем. Если рассматриваемая область односвязна и скорость на бесконечности равна нулю, то можно доказать, что жидкость будет находиться в покое. Для многосвязной области, кроме условий на границах, необходимо задать циркуляции по контурам, не могущим быть стянутыми в точку.
Заметим, что циркуляция по контуру 7. для плоского движения может быть написана так: С = / и ~И= ~ ш1х+сч1у; х х так как наше движение имеет потенциал, то Сл= ~ а пл+ з му= / '19. Если у †однозначн функция, то интеграл по замкнутому контуру от г1е должен равняться нулю, если т — многозначна, то С, вообще говоря, отлично от нуля. Обратимся к рассмотрению некоторых случаев плоского безвихревого движения. 1. Точечный вихрь. Пусть комплексный потенциалу(х) будет 7 И= — „— 11а С 2Н Отделяя вещественную и мнимую части, получим С7 . у~ С у С,.
7" 1з) = — — ~1кг+г агс1д ) = — --агс1я — — -' !дг=~+1ф, отсюда С т С вЂ” агс1д —, ф = — — -!я г. г х' з Уравнения линий тока и линий равного потенциала ф = сопз1 и т = сопз1 приводят к таким уравнениям: г= сопз1 и „- = сопз1, У что дает для линий тока окружности с центром в начале координат, а для линий равного потенциала †прям, проходящие через начало (рнс. 71). Вычислим циркуляцию по замкнутому контуру, окружающему начало С = ~ ийх+т1у= „~ И р= — / Ы (агс1д «) . При обходе по контуру агс1я — увеличивается на 2я, позтому последний У интеграл дает Сх С1 т. е, коэфнциент С есть не что иное, как циркуляция ро любому контуру, окружающему начало.
Вихрей в нашем движении мы ие имеем, ио имеем циркуляцию отличную от нуля. Начало координат является точкой разветвления комплекс- С ного потенциала, 1па. Говорят, что в начале координат имеем точечн ы й в и х р ь. Комплексная скорость равна ЫУ С 1 дх 2иа Видим, что величина скорости в любой точке жидкости обратно пропорциональна расстоянию точки от вихря.
Рис. 72. Рис. 71. 2. Источник. Функция у(х) = — !но= — ~ !пг+1атсф--), (Р— 'вещественное число) определяет движение, в котором линии тока суть прямые — - =сопя!, « х (61) линии равного потенциала — окружности г = сопи!, так как здесь . 7= —,. 1а~. Ф= —,. а ~16 — „. Говорят, что точка О является источником или стоком, смотря по тому, направлены 'ли скорости от начала координат или к началу (рис. 72). Нетрудно убедиться в. том, что Р 'есть протечение по замкнутому контуру, окружающему источник. Действительно, е,-~ а=)' аа-ва -а' — аа-~ — а =~аагда де / ду дх с Ь = —.~ и (атс16Я =Р. 3.
Вихре источник Сложив комплексные потенциалы двух предыдущих примеров, получим: У())= — „,. 1дл=,. ~1дг+1атс16«)..... (62) Здесь линии тока будут ф = — агсти — — 1я г = сопв1, У 2х х 2п линии равного потенциала ч = — )йг+ — агс1я — = сопв1. Р . С, у 2я 2х х Те и другие линии представляют собой логарифмические спирали (рис.
УЗ). Вихреисточник, является простейшей моделью циклона или. антициклона. 4. Два вихря могут служить простейшей моделью двух центров— максимумов или минимумов, или максимума с минимумом. Особый инте- рес здесь представляет вопрос о У перемещении вихрей. Комплексный потенциал двух вихрей, находящихся в точках а, и вм имеет вид: С, 2 2х 1 й ~ 1) + + —, !й(з — хх),... (63) Сх х. где С,— циркуляция первого вихря, С,— второго. Комплексная скорость в любой точке плоскости равна И/ и — 1О= — = гИ С1 1 Сх 1 2х1 х — х1 2ив х — хх Чтобы получить скорость в точке вм рассуждаем так: один вихрь не перемещается в жидкости (вихрь сам на себя не действует)„ поэтому в выражении и — хо первый член следует отбросить, а во втором положить з=з,.
Получим скорость в точке з,: С и — Ы =— 1 1 2М х1 — хх' Аналогично, для скорости в точке з, будем иметь С, вв — Ы 2хв хг Очевидно, что комплексная скорость и — хо есть производная по времени от я, где з=х — ху: хх и — 1О ~й Следовательно предыдущие два уравнения можно переписать так: хх1 Св 1 гав С1 Ю 2х1 х,— х,1 ° сИ 2х1 хх-х1 ' ' ' * Умножая первое из атих уравнений на С„второе на С, и складывая,, получим откуда, после интегрирования, найдем С,з»+ С а» вЂ” — сопз1. Отделяя вещественную и мнимую части, будем иметь два интеграла дифференциальных уравнений движения двух вихрей: С,х, -+- С»х» — — сОпз1; С,у, + Сху» = сон з1. Перепишем последние уравнения, разделив их на сумму С1+С,: С1»1+ С~»1 С,у,+ С.,у, С+С, С+С, — — — = сопз1 — —.— — сопз1.
Полученные уравнения показывают, что точка с координатами С1»1 + С»»1 С,у+ С,у, хо= С,+С, Ус= С,+С, которую называют „центром инерции" вихрей, остается неподвижной во все время движения. Далее вычтем уравнения (64) одно из другого: л(»,— »,) с,+ с, »1' 2»1»1 — »1 ' Заменяя все комплексные величины в атом уравнении им сопряженными, получим К(»1 —,) С,+ С, Ф 2»1»»1' » 1 1 Умножим: теперь первое уравнение на х1 — яь второе на х,— я» и сложим: к(»1-.'з) — — Ц ' — ') 1а-а)~+1~ --„1 =О. откуда, после интегрирования, найдем ( ~1 ~1 ) ( ~1 ~з) сопз1, Наконец подставим а1 — х1+»у„㻠— х»+1у», получим окончательно (х, — х,)'+(у, — у,)' = сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
