Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 62
Текст из файла (страница 62)
об'ем, равен д(Рэгги) д (р пв и1п В) д (рана) н н.~-, -~- —, [ пане. С другой стороны, изменение массы жидкости внутри элементарного об'ема будет — —" гэ а(паг(гг(аг(Л, и следовательно уравнение неразрывности, после сокращения на рпа(вайт%В, будет иметь вид др 1 д(рпггн) 1 д(рпаи1пВ) 1 д(рпЛ) дг гн дг ги!п В дВ +ги!п В дь Если вертикальная скорость отсутствует„ т.
е. если о =О, то имеем: г д р 1 д (р пн и1п В) 1 д (р пл) дГ+ги1п В дВ +ги В дЛ Если р= сопа1, то уравнение примет вид йч Ь'=О, причем Если вместо а ввести широту ср, связанную с а равенством нн а= — — р 2 то расхождение скорости (при о,=о) будет таково: дп 1 дгл и 1ят йч (а'= — '+ — — т ........ (26) гднр гсои нр дЛ Этой формулой для йч 1г пользуется Бчегбгир [Л. 12[ при вычислении вертикальной скорости ветра над Атлантическим океаном. Прн этом он подвергает ее дальнейшим преобразованиям такого рода: прежде всего, полагает г Ан, где )г †средн радиус кривизны земли. Тогда последним членом формулы (26) можно пренебречь, если угол нр не очень близок к 90".
Х Получим 1 1:= — '-[- —. )ада Гйн сап нр дЛ ' Далее, допустим, что имеем Меркаторскую проекцию области, занятой нашим движением, т...е. имеем карту, к которой экватор представлен прямой линией — осью Рис. 57. х, главный меридиан-осью у (рис. 57). Как известно, имеем такие соотношения между координатами в Меркаторской проекции и географическими координатами точки: х=тИЛ, у=гпту 1и (и ( 4 + 2 )н где т †масшт карты на экваторе. — 267 —. Если рассматриваемое движение стационарно, то — р = О, н фор- др мула (33) еще более уврогцается: р„а = — Ь б(т р$~,. . (34) Впрочем исследования Гессельберга и фридмана 1Л. 15] о порядке величин, входящих в уравнение гидродинамики, показывают, что".в уравнении неразрывности — — +д1ч р Р'=О др дь можно пренебречь первым членом по сравнению со вторым, причем де-.
лаемая ошибка не превосходит 1'(о. Поэтому можно считать уравнение (34) справедливым и для нестацнонарного движения. Если вместо плотности ввести удельный об'ем мм то последняя формула приобретает вид: А с м'л = — л мл б(т р 1',- ° ° . ° - (36) Преобразуем теперь расхождение плоского вектора к виду, удобному для графических построений. Пусть будут К1. и МФ (рис.
58) близкие между собою векториальные линии вектора А, т.е. линии, в каждой точке которых направление касательной совпадает с направлением вектора А; КМ н ЕИ-линии ортогональные к векториальным. Тогда — А Ь и будет представлять собою поток вектора А через отрезок КМ, А, ьл, †пот вектора через отрезок от'. Расхождение же вектора А есть поток вектора через контур КАМЫ, отнесенный к единице площади, т. е. А,Ьл,— АЬл а1т А=Иш ь»вЂ” Преобразуем правую часть написанного равенства так: Ит -- — — — =Иш А1 Ь л1 — А Ь л . (А, — А) Ь л . А,(Ь л1 — Ь л1 Ь А ьльл ьльв — — +1пп -'- ьльл льл =Ит — + +Иш А1 — — — — — +А —, Ьл дА да ь Ь Ьл дл дл' где пи= ' есть угол между линиями, тока КХ н МИ; он равен углу между касательными к ортогональной линии КМ в точках К и М, да поэтому производная — — есть не что иное как кривизна линии ортого- дл нальной к векториальным линиям.
Введя обозначение дл . (36) можем написать такую формулу: Применим ее к вектору РТ;: ар~, о1т РР,= а +РР, ' й (очевидно, что в этом случае векториальные линии суть линии тока). Тогда формула 135) примет вид ~л л~ а +РР ' ). Существенным является вопрос о том, при каких условиях можем мы вынислять вертикальную скорость по этой формуле [Л. 8]. Рассмотрим формулу (38) в двух частных предположениях: 1) Линии тока параллельны друг другу, т. е. да=0, а следовательно 6=0, и, кроме того, Р не зависит от а (т. е.
плотность постоянна вдоль линии тока). Тогда формула (38) дает агк, тд = — Ьв л и аа — . Так как осреднение р Ъ; произведено только по высоте, то можно переставить знак дифференцирования со знаком осреднения ар ~~,, арт; ди Далее, вследствие предположенной независимости р от а имеем ди Р ди' так что дк, те = — ли Р ---.
л ди . (39) дК,. д$~ а~ = — Ьв р — '= — Ь вЂ” ' и ли ди д~~ Ь Ъ' так как и р =1 или та = — л —. л л и Пусть тел=01 м1сек, Ь=1 км, Аз=10 км. Тогда !Ь1'(=1 м(сея, следовательно, среднее изменение горизонтальной скорости на протяжении 10 км должно равняться 1 мосек для того, чтобы вертикальная скорость получилась порядка 0,1 м/сея. 2) Предположим, что вдоль линии тока Р и $~, сохраняют постоянные значения, тогда формула (39) дает с а та»= л Р1', = л Р(~, (последнее равенство основано на формуле 36).
Полагая опять р= Рл, и имея в виду, что рлл = 1, получим Ьа та = — лЪ" л Ьи' Для упрощения вычислений, имея ввиду лишь грубую оценку, предпОложим, что Р имеет постоЯнное значение, Равное Рл, тогда его можно вынести из-под знака осреднения и написать Пусть та=0,1 м(сдк, л=1 клс, T=1 лг~сек, Ьп=1: мат (т. а. Расстояние между соседними линиями тока равно 1 км), тогда найдем ~ Ьа ~ = О,1 радиана, т. е.
около бо. Следовательно, расхождение линий тока должно быть порядка нескольких градусов, чтобы вертикальная скорость была порядка 0,1 лг/сек В общем формула (39) может быть применена для .грубого вычнслення вертикальной скорости прн существующей точности в определении горизонтальной скорости. С этим результатом интересно сопоставить то обстоятельство, что нз уравнения неразрывности Маргулес получил фордр мулу для --, т. е.
изменения давления с временем, но для вычнслення по этой фоРмуле требуется знать, горизонтальную скорость с очень большой точностью, недостижимой на практике, н следовательно формула др для — совсем непригодна для вычислений. Отметим, что прн вычислении по формуле (38) необходимо знать распределение количества движения р (г, по высоте, так как рЬ; представляет собою среднее значение величины рт; в интервале от О до Л, однако обычно не имеется достаточных сведеннй о распределении значений метеорологическнх элементов по высоте. В своей статье „О прнложямостн уравненнй неразрывностн к определению вертикальных течений в свободной атмосфере" (Л. 11) К. Н. Васильев ставит вопрос о том, для какого интервала высот будет прнменнма формула (35), если в ней заменить среднее значение Р1; значением Ра)га количества движениЯ на повеРхности земли, т.
е. положить „= — Ь „г(1тг (р Ю. Оказывается, что последняя формула применима лишь для интервала высот порядка 1 лс. Заметим, что Маргулес употребляет способ осреднення величины Р)га отличный от изложенного нами, именно он полагает ( Кридг ( урода ~'а да обозначая, далее йрФ=Ро — Ра= Р * ') о причем и есть вес столба ноздуха высоты Ь с площадью основания равной единице, получим вместо, формулы (36) такую: гага= б(Ч 'айаг.
' 1',г .. а Обратимся теперь к графическим методам построеняя тэа. а(опустнм, что мы имеем карты горнзойтальных скоростей для различных высот н хотим построить карту вертикальной. скорости на высоте дТогда, согласно формуле (38), мы должны сначала постронть карту осредненных по высоте значений количества движения р$~„затем постронтвя т) Равенство оолучается в результате интегрированна уравнения равновесия атмосферы: др д — = — 8'р. дру, 1) карту †' производных от среднего количества движения вдоль линии дг тока, 2) карту произведений рФ', ° ь, где ь — кривизна линий ортогональным линиям тока,З) графически сложить системы линий пп. 1 и 2 и, наконец 4) умножить линии п.
3 на — йм„. Б % 4 этой главы мы уже говорили о графическом сложении полей. Разберем теперь вопрос о графическом умножении. Графическое умножение поля функции ~р(х,у) и поля функции ф(х,у) означает следующее: по данным семействам линий ф(х,у)=сопя(, . ф(х,у)=сопа1, построить линии ф (х,у) ф (х,у) = сопа1. Для решения этой задачи достаточно представить константы правых частей данных уравнений в виде показательных функций, например, положить ~ (х,у) = 10с* ф(х,у) = 10с», тогда Ях,у) ° ф(х,у)=10 + *. Этот прием, как видим, сводит графическое умножение к графйческому сложению, так как, логарифмируя последвее уравнение, найдем: 1оп„ф+!оп„ф=С~+Сь На рис. 59 построены линии: х= сопа1= 10с, у = сопз1= 10с . Проведя диагонали тех четырехугольников, для которых С, + С, равно одному и тому же значению, получим гиперболы, отвечающие уравнению ху =сопз1=10с +с' Перейдем теперь к графическому дифференцированию функции э(х,у) по данному направлению а, т.
е. к построению скалярного поля функции -,. Для этого построим изолинии данной функции: дт ф(х,у) =сопз1, затем линии, вдоль которых будем производить дифференцирование (в применении к построению вертикальной скорости это будут линии тока).
Обозначим значение функции о(х,у) в точке А через э, (причем ф,=Ст, в точке  — через ф, (ф,=С,). Дугу АВ заменяем отрезком М. Будем иметь приближенно: дт т,— т, С,— С, да Ью Ья Примем, что полученное по этой формуле число есть значение производной в точке С, лежащей посредине дуги АВ. Около точки С напишем найденное для „ значение; то же самое проделаем для ряда других дуг Ьа, и таким образом будам иметь поле значений производной - , имея аа которое уже нетрудно провести изолинии производной, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
