Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 57
Текст из файла (страница 57)
НУЕГМС. М. 1934. ГЛАВА Ч1 Кинематика атмосферных движений а 1. Введение. В этой главе мы рассмотрим следующие вопросы: 1) построение карт линий тока и изучение особенностей линий тока, 2) вычисление вертикальных течений по методу Маргулеса, основанному на использовании уравнения неразрывности, 3) изучение плоского движения с применением к некоторым случаям атмосферных движений, 4) теорию А.
А. Фридмана порывистости ветра, основанную на рассмотрении вихревых цепочек Кармана. Прежде чем перейти к изложению перечисленных вопросов, отметим следующее. В метеорологической практике приходится иметь дело главным образом со средними значениями скорости ветра. Приборы, с помощью которых определяются скорость и направление ветра, производят осреднение этих величин как по объему, так и по времени. Прн построении линий тока и вычислении вертикальных скоростей мы имеем дело именно со средней скоростью ветра. Однако, в последнее время приобретает все большее значение вопрос об определении мгновенных скоростей, для чего существуют специальные приборы — „микроанемографы", характеризующие так называемую порывистость ветра Вопрос о структуре (можно сказать— .микроструктуре") ветра имеет большое значение в практике воздухоялавания и ациацни„где порывистость ветра является часто препятствием для удачного под'ема и спуска летательного аппарата.
В настоящее время структура ветра представляется в столь сложном виде, что математически настроенный ум может даже поставить вопрос о том, существует ли скорость ветра, т. е. существует лн производная пути движущейся частицы по времени [Л. Ц. Предполагая, что эта скорость существует, мы в последнем параграфе этой главы рассматриваем именно мгновенную скорость ветра. ф 2. Линии тока.
Линией тока рассматриваемого движения называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением скорости в этой точке. Для стационарного движения, т. е. такого, в котором скорости не зависят от времени, линии тока совпадают с траекториями частиц. Для нестационарного движения это совпадение, вообще говоря, не имеет 'места: линии тока зависят от времени, и вся картина линий тока меняется от одного момента времени к другому.
Таким образом, линии тока дают лишь некоторую геометрическую характеристику двйжения в данный момент времени. Приведем ярнмер, принадлежащий В. Бьеркнесу: если твердое тело движется поступательно, то его частицы могут описывать всевозможные траектории, линиями же тока являются параллельные прямые (так как в каждый момент времени все точки тела имеют одинаковую. скорость), 'меняющиеся со временем. Для вывода дифференциальных уравнений линий тока заметим, что касательная к линии тока в,точке (х, у, х) жидкости имеет направляющие косинусы, пропорциональные дифференциалам: Их, Иу, гЬ (рис.
38). Если составляющие скорости по осям координат обозначить через и, и, и>, то условие параллельности (в данном случае †услов совпадения) касательной к линии тока и вектора скорости даст «х «у «ж и о и>' Уравнения (1) и являются искомыми дифференциальными уравнениями линий тока. Если и, з, ж зависят от времени, то оно при интегрировании рассматривается как параметр. Сопоставим с уравнениями линий тока уравнения траекторий частиц жидкости — =и(х,у, я, г), «у «) = и (х> у> х> г)> — =ну (х,у,з, г). «г Их можно переписать в виде пропорционального ряда и и ти В этих уравнениях, в отличие от уравнений линий тока, г рассматривается как независимая переменная. В качестве примера предлагается найти линии тока и траектории частиц для движения Рис.
ЗЯ. и=й, си=0, (Й и т постояные). О т в е т: траектории — параболы: (а и 6 †произвольн постоянные), линии тока — прямыщ у= — 'О+с ,л Рис. 39. (с в произвольная постоянная), прн г=О линии тока параллельны оси х, при возрастании ~ они 'поворачиваются н прн с- о стремятся стать параллельными оси у. Этот же результат можно получить н без интегрирования, рассматривая уравнения (4) непосредственно. Именно, видно, что при 1=-0 скорости ': всех частиц параллельны осн х, следовательно за весьма малый проме-,,: жуток времени частица, находящаяяя в начале' координат, переместитеа'"'-;„, в точку А, в момент >>с (отсчитываемый от начального 8 0), все частиц(г::.' будут иметь скорость:и= я, о=тЬ г, та=О, и частица нз точки А будет".
перемещаться по направлению фВ, и т. д. Предельное положение лома-. ~ной ОАВС дает траекторию частицы; линии же тока в различные момент)я времени параллельны соответственно отрезкам ОА, АВ, ВС... (рис;:39>), Дая предсказания погоды имеют важное значение траектории чартнцы, так как по ним можно судить о перемещении холодных и тепл6ся масс.:;. — 241— воздуха, фронтов и т. д. Но построение траекторий требует изучения ряда карт для различных моментов времени, для построения же линий тока достаточно одной карты скоростей.
Линии тока характеризуют лишь тенденцию частиц двигаться в определенном направлении, н только для стационарных движений они совпадают с траекториями частиц. Атмосферные движения не являются, конечно, стационарными, но весьма часто изменение скорости со временем происходят сравнительно медленно, и, следовательно, линии тока сохраняются некоторое время (порядка нескольких часов). Так как на поверхности земли вертикальная скорость тв = О, то соответствующие линии тока являются плоскими линиямн. Их дифференциальные уравнения можно переписать так их и(х,у. 0, г) л в ду ах р(х,у,0,0 0 (в выражениях для и н а положено г =О).
Для местностей горл(стых, где могут существовать вынужденные рельефом вертикальные течения, уравнения (2) несправедливы, и нх можно. употреблять лищь с известной степенью приближения. Вычерчинание екарт линий тока в метеорологии впервые было применено Рис. 40. Рене де Соссюром в 1898 г., но получило распространение лишь после появления книги В. Бьеркнеса „()упаш!зспе Ме(еого!од!е ппс1 Нуг(гойтарп!е" в 1912 г'.
Укажем, каким образом производится построение линий тока, Допустим, что имеем леетеорологическую карту с нанесенными йа ней векторами скорости ветра. Применим данный Сандстремом !Л. 2! метод нзогон, т. е. линий одинакового направления ветра. А именно„ соединим плавной линией точки, в которых ветер имеет, например, южное направление, н на этой линии нанесем целый ряд черточек, параллельных этому направлению; тоже проделаем с другими направлениями.
Получаем картину, изображенную на рис. 40. Возьмем теперь произвольную точку А плоскости и проведем через нее отрезок АВ параллельный ближайшим к ней черточкам; из точки В проводим аналогичным образом отрезок ВС и т. д. Сглаживая на-глаз ломаную АВС..., получим линию тока. Беря вместо точки А другие точки плоскости, можем провести ряд других линий тока. $3. Особенности линий тока на плоскости.
Расслратривая карты линий тока (см. например рис. 40), замечаем на ннх ряд особенных точек-и линий. Мы дадим классификацию особенностей плоского движения, осио- днненнч. нетеоронеенн. !6 .ванную на теории критических или особенных точек дифференциального уравнения. Пусть имеем дифференциальное уравнение линий тока на плоскости: ах Фу и а ' причем допустим, что и и и разлагаются в ряды Тейлора вблизи рассматриваемой точки плоскости. Из теории дифференциальных уравнений известно, что если в рассматриваемой точке функции и и о не обращаются в нуль одновременно, то через эту точку проходит одна и только одна интегральная кривая' дифференциального уравнения. Для нас будут представлять интерес как-раз те точки, в.'которых обе составляющие скорости обращаются одновременно в нуль; такие точки называются к р и т ичее кими или особенными точками дифференциального уравнения.
Представляется интересным рассмотреть подробно колл и не а рное движение, т. е. движение, скорости которого являются линейными функциями координат: и=а«+а,х+а,у, о = Ь, + Ь,х+ Ь,у. % Это движение можно рассматривать как первое приближение для ряда случаев, когда и и о суть ряды, расположенные по целым положительным степеням х и у или х — а, у — Ь, где а и Ь вЂ” заданные числа.
Для нахождения критической точки коллинеарного движения нужно решить систему уравнений аь+а,х+а,у=О, Ь.+Ь,х+Ь,У=О.' % Обозначая координаты критической почки через (хм у1), будем иметь ь,ь —,ь, х, а~И« — а«Ь| " ,ь,—,ь, у~ = а1Ь« — а2Ь1 (6) Ь, (а х+ агу)+Ь,(Ьх+ Ьу) =в(Ьх+Ьру). Тогда сможем написать Если а,Ь| — а,Ь, отлично от нуля, то существует критическая точка на конечном расстоянии. Перенесем в нее начало координат. Тогда мовьем переписать дифференциальное уравнение коллинеарного движения так: Лх ау а,х+ау Ь,х+Ь«у ' ' ' ' ' " ' (7) Умножим числитель и знаменатель первого из отношении (У) на произвольное число Ь„ второго отношения †число Ь, и составим производную пропорцию ах а'(И,х+ И«у) а,х+ ~у и, (а,х -1- а«у)+и,(ь!х+ ь«у) ' Подберем теперь числа Ь, и Ь, так, чтобы знаменатель полученного отношения равнялся произведениьо некоторого числа м нв Ь,х+Ь,у, т.
е. чтобы их Л(ь,х+ И„у) ЛЬ а1х + а1у «' (И1х+ И«у) «4 где (= Ьзх+Ь«у. Для опре4рления Ь~ и Ь, имеем урзвнения, которые получаются приравниванием *оэфициентов при х и у в левой и прввойг,частях';,-':.": ) уравнения (8): (а,— )Ь,+Ь Ь,=О, е '3......- .. (9) ..+,--;=.. Для того, чтобы эта система однородных уравнений имела решения отличные от нуля, необходимо равенство нулю определителя, составленного из коэфициентов при Ь, и Ьа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
