Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Ь()=~ '," ~=О........... (РО) Последнее уравнение называется характеристическим. Рассмотрев различные случаи, которые могут встретиться при отыскании его корней, получим различные виды критических точек. Предположим, прежде всего, что корня характеристического уравнения простые вещественные. Полагая в уравнениях (9) ш=шь получим для Ь, н Ь, (вернее для их отношения) решения Ь,' и Ь~', полагая ш ш„ получим: Ь, =Ь;; Ь,=Ьр".
Составив функции Е = Ь 'х+ Ь,'у, т~= Ь," +Ьшу, можем уравнение (7) заменить таким: нЕ ич Е шч' Общий ийтеграл этого уравнения есть ш, Е=Сч ъ ° или Ь;х+ Ь',у = С (Ь,х+ Ь",у) ш. ° Если ш, и ш, одного знака, то получаем кривые, проходящие через критическую точку; к числу интегральных линий принадлежат две прямме' 1=Ь,х+Ь2у О, я=Ь~"х+Ь,"у=О.
Такая особенная точка называется узлом (рнс. 41, 1). Если ш, и ш, разного знака, то имеем гиперболообразные кривые. Только две линии Е=О и я=О проходят через особенную точку. Такая точка называется нейтральной или гиперболической (рис. 41,2).Прямые Е=Ои э=Оявляются асимптотами остальных линий тока. Если характеристическое уравнение имеет кратный корень ш) =-шм то из системы уравнений (9) определяется только одна пара значений Ь: Ь~' и Ь,'.
Для определения значений Ь и Ь," можно вместо уравнения (8) составить несколько более сложное: % Ь, (а,х+а,у)+Ь, (Ь,х+Ь,у) =, (Ь, х+Ьа у)+Ь,йт+ Ь,у. Сравнивая коэфнциенты при х н у„будем иметь (а~ шь) Ь~" + Ь~Ь '.= Ь~' ! а2Ь!'+(Ьз — шю) Ь "= Ьзш Найдя Ь; и Ь," нз последйей системы, н обозначая попрежнему Ь!х+Ь2у Е Ь1 х+ЬМ у Ъ сможем заменить уравнение (7) таким: на а~5 яд+ $ $ Прн помощи подстановки: ч =$8 найдем ' общий интеграл зтого уравнения Е Се ' ~ ° Здесь получаем кривые, проходящие через начало .координат. При ,С=О имеем 1=0 †прям, проходящую через начало, которой касаются се интегральные кривые 1рис.41,3).
Критическаяточкаявляется узлом, Перейдем, наконец, к случаю комплексных корней характеристи' ческого уравнения: м1 — — а+Ы, ы,=а — Ьь Общий интеграл будет 1*-ы Сл +ы .. ' (12) где 1 и .4 — комплексные сопряженные линейные функции от л н у, так что 1= т,х+ т,у+ 1(1ьх+ Е,,у), ~ = тех+ тту — $ Ях+ Цу). Логарнфмируя уравнение (12) и полагая $ ге', я=ге получим Ь!оя г=а р+Ь!оя С; где С вЂ произвольн постоянная, илн В г=Се ь 9 (131 Ф причем г = )/ (т,х+тгУ)э+ ((ах+ 1ьУ)э, йх+ ьу ~р = агс1я ' + е,х+аьу ' Линии тока представляют собою спирали; начало координат'является асимптотической точкой спнралей.
Такого рода критическая, точка назы- вается фокусом (рис. 41, 4). Если корни характеристического уравнения чисто мнимыщ ы=+Ь1, то уравнение (13) дает г=С В т. е. систему эллипсов или окружностей. Критическая точка называется центром (рис. 41 и 42, 5). Обратимся теперь к случаю, когда в выражениях (6) для координат критической точки знаменатель равен нулю: а,Ь,— а,Ь! — — О. Если при этом и числители (6) равны нулю, т. е. Ьцаь — а,Ь, = О, Ь,а, — а,Ь1 = О, то — = — = — =А ь, ь, ь, а! йэ а0 где л — коэфнцнент пропорциональности.
Лифференцнальное уравнение линий тока перепишется в этом случае так: Их ду а0+а,х+аяу ь(а0+гчх+аьу)' Общий интеграл его: у=Ах+С представляет семейство параллельных прямых. Если считать условно, что параллельные прямые пересекаются на бесконечности, то будем иметь бесконечно удаленную 'кри' т и ч е с к у ю т о ч к у (рис. 41, 6).
Рассмотрим, наконец, случай, когда в формулах (6) только знаменатель равен нулю, нз числителей же хоть один отличен от нуля, например агьг — а,Ьг — — О, аоьг — агЬо -о- О, так что из двух коэфициентов аг и Ьг по крайней мере один отличен от нуля; пусть аг~О. Так как — '= — =й, ь, ь, аг то уравнение линий тока в этом случае можно переписать так: ах лу авх+агу-о-ао Ь(ага+агу)+Ьо ' Здесь следует различать два подслучая: А~ — — '- и а= аг В первом подслучае подстановка Ъ а,х+агу=х приводит к общему интегралу а «+,г + "гао+Мо Сао г-~-оа у а+ь в где Ь, и Ьг — постоянные, зависящие от и, а„а„Ь,, Ь„Ь,. Имеем здесь логарифмические кривые, асимптотнчески приближающиеся к прямой пгх+ агу+ — ' — = О.
а, +ьг Эта прямая является линией сходи мости илн расходимостн, в зависимости от того, как направлены скорости — к асимптоте или от асимптоты. На рис. 41, 7 изображена линия сходимости. а, Во втором подслучае, когда а= — — ', та же подстановка а,х+а,у=в приводит к общему интегралу (а,+п,х+а,у) =2(агао+агЬо)х+С, определяющему семейство парабол.
В этом случае будем говорить, что имеем бесконечно удален- ную критическую точку (рис. 41, 8). Таким образом, исследование коллинеарного движения приводит к особенностям такого рода: 1. У вел (случаи 1, 3). 2. Нейтральная или гиперболическая точка (случай 2). 3. Фокус (случай 4).
На метеорологической карте фокус трудно отличим от узла. 4. Центр (случай 5). 5. Л н н и я с х о д н м о с т и и л и р а с х о д н м о с т и (случай 7). 6. Бесконеч но-удаленная точка (случаи 6 и 8). Ниже будет указано значение критических точек для исследования атмосферных явлений. Теперь же по поводу нашей классификации кри- тических точек мы заметим следующее: она является исчерпывающей лишь для коллинеариого движения. Что касается не коллинеарных дви-' . ';,'.,:!о — 247— Ф' жений, то,'для довольно широкого класса скоростей она дает возможность определить характер особенных точек.
А именно, если для точки х= а, у= Ь, в которой и=О и о=О одновременно, функции и:и о разлагаются в ряды и а, (х — а)+а, (у — Ь)+ р (х — а, у — Ь), о=Ь, (х — а)+Ьа(у — Ь)+ ) (х — а, у — Ь),' причем а„а„Ь„Ьа не равны нулю одновременно, и не связаны зависимостью:-' = '=, то можно доказать, что характер особенности в точке (а, Ь) будет таким же, как в рассмотренных выше случаях 1 — 5.
Прн этом характеристические прямые заменяются кривыми. -Если имеются еще точки, в которых и=о=О, и если около этих точек также имеют место разложения указанного вида, то можем определить характер особенности в этих точках. Так, Веренскнольд (Фегепзк1о1б) [Л. 3) рассматривает примеры дифференциальных уравнений линий тока, в которых и и о имеют сйедующие значения: 1) и = (х+ а)'+ (у+а)а — га, о=(х — а)2+(у — а)г — га, га >2аа Здесь координаты двух точек, в которых и= э=О. Одна из точек нейтральная, другая — центр (рис. 42, 1).
2) Во-вторых, возьмем и = — х~ — (у+ а)' -[йг~, о =х'+(у — а)' — г', га)а . Здесь х=+)~га — а', у=Π— координаты критических точек. Из ннх одна — узел, другая — нейтральная точка (рис. 42, 2). 3) Если бы для случая 1) взять Р=2а', то обе критические точки совпали бы, и мы получили бы одну точку: х= О, у= О, с особенностью,' изображенной на рис. 42, 3. 4) Если в случае 2 взять г'=а'„то обе критические точки сольются в одну: х=О, у=О.
На рнс. 42, 4 видно, как выглядит особенная точка. В случаях 3 и 4 мы имеем особенные точки, не вошедшие вклассификацию особых точек коллинеарного движения. Дело в том, что здесь при исследовании критической точки нельзя ограничиться членами первого порядка в разложении скоростей, ибо имеем пропорциональность между коэфнциентамн этих членов. Действительно, для случая 2 ,'и = — (х — а)'+ (у — Ь)' — 2а' = — 2ах — 2ау+ х'+у'1 о = (х+ а)'+(у+ Ь)' — 2а' = 2ах+ 2ау+ х'+у'. Если ограничиться членами первой степени в разложении и и о по степеням х, у, то получим ах ау — х ах — 2 ау 2 ах+ 2 ау ' или — г1х = ду.
Последнее дифференциальное уравнение не имеет особых точек на конечном расстоянии, тогда как исходное движение имеет критическую точку х = О, у =- О. Следовательно, для решения вопроса о характере особенности мы должны привлечь к рассмотрению, кроме членов первого порядка, н члены второго порядка относнтельно х н у. Если считать особенную точку коллннеарного движения (находящуюся на конечном расстояннн) особенностью первого порядка, то в рассматриваемых нами случаях 3 н 4 мы имеем дело с особенностями второго порядка, поскольку для нх исследования необходимо взять члены до второго пбрядка включительно.
Рис. 42. Вместе с тем обнаруживается, что прн построении метеорологических карт встречаются особенности, не вошедшие в нашу классификацию крнтнческнх точек коллннеарного движения. Однако, трудно дать нсчерпывающую класснфякацню особенностей лнннй тока, которая исходила бы нз некоторого единого принципа. Поэтому некоторые авторы рассматрнвают отдельные примеры дифференциальных уравненнй нлн для получения особенностей более сложного вида складывают' более простые поля линий тока (например Гессельберг (Л. 4]; см. дальше 5 4). Мы можем несколько расшнрнтькласснфнкацню особенностей линий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
