Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 61
Текст из файла (страница 61)
~жГ= — ск, с) О, и, наконец, паралелльно оси у имеем хотя бы опять растяжение: в = Ьу, Ь ) О. Тогда, интегрируя уравнения линий тока: к» ау а» а»»у — »»' получим ! ! 1 ! х =Ау,х з'=В, где А и  — произвольные постоянные. Проекции этих линий на плоскость хз (а также на плоскость уя) представляют гиперболические линии, проекции на плоскость ху — параболообразные линии (рис. 52). В пространстве линии имеют внд, на!ображенный на рнс. 51а, 3, только все оси должны быть взаимно перйенднкулярны. Впрочем, Бержерон указывает, что обычно как раз наблюдается асимметричный случай, который можно считать соответствующим косоугольным осям координат. Существенным для теории образования и разрушения фронтов является характер перемещения линий (а в пространстве — поверхностей) в таком поле линий тока. Если имеем чистое „растяжение", например, параллельно осн х, ,т.
е. если и=ах, и= — О, та=О, то в таком поле скоростей прямые будут поворачиваться вокруг точек пересечения их с осью у, стремись стать параллельно оси растяжения. т. е. осн х (см. рис. 50,А). В случае чистого „сжатия", например, параллельно оси а, т. е. для движения со скоростями и=О, э=О, тв=- — ся, Рис. $2 прямые в поле скоростей будут поворачиваться вокруг точки пересечения с осью х, причем будут стремиться совпасть с осью х, т.
е. стать перпендикулярно к оси „сжатия" (см. рис. 50, Ю). Следовательно„расстояние между двумя параллельными прямыми стремится В случае, когда имеет место сжатие" или,растяжение" по двум направлениям, можно 1 1 1 т сформулировать правило 1 - ° 1 1 1 1 1 1 перемещения прямой в ! 1 ! ! ! ! ! ! рассматриваемом поле скоростей, если считать О Ов „растяжение" отрица- тельным „сжатием . та- 3 У ким образом: прямые l/ поворачиваются так, что г! стремятся стать перпендикулярными к оси большего сжатия. Если сжал тия по обеим осям оди- наковы (по величине и ( по знаку), то прямые в Г / таком поле не новорачнваются.
Допустим, что мы Оо имели в некоторый момент времени параллельные прямые, почти перпендикулярные к линии наибольшего сжатия, тогда такие прямые будут с течением времени сближаться; если же вначале прямые были перпендикулярны к другой. оси, то они будут в течение некоторого промежутка времени удаляться друг от друга; когда же их поворот достигнет определенной величины, они начнут сближаться. Только прямые, точно перпендикулярные оси растяжения, будут все время удаляться друг от друга. Если теперь рассмотреть плоскость в трехмерном поле скоростей, в котором происходят сжатия и растяжения по всем трем осям, то придем к результату: плоскость поворачивается, стремясь стать перпендикулярной к оси наибольшего „сжатия", причем две плоскости в общем случае стремятся сблизиться.
Допустим теперь, по Б е р ж е р о н у, что поверхности равной потенциальной температуры суть параллельные плоскости. Если не имеем дела с исключительным случаем, то,в конце концов эти плоскости будут сближаться, стремясь стать перпендикулярно к оси наибольшего сжатия. Градиент потенциальной температуры будет поэтому возрастать и,рано. или поздно перпендикулярно к этой оси возникнет фронтальная зона или фронт, в то время как перпендикулярно другим осям будет разрушение фронта. Рвс.
33 (при а) Π— сток). Если теперь представить себе, что на оси х, вблизи от начала координат, помещены источник и сток равной интенсивности, которая определяется коэфициентом а, и расстояние между источником и стоком устремлено к нулю, то получим так называемый двойной источник илн дублет.
В этом случае скорости будут иметь потенциал — -~ так г« ° что а(2 ૠ— хв — у«) Дифференциальные уравнения линий тока, после сокращения на а буф « дут иметь вид юЬ' Иу, ав 3 3ха 3 ум 2 Ф вЂ” х« — ув После интегрирования этой системы получим: у = с х, [кв+(1+с«в)хв1в — свх«. Видим, что линии тока представляют собою плоские кривые, лежащие в плоскостях у=с,х. В плоскости у=О, т. е. при с,= О, имеем такие линии тока: (хв+ х')в = свх', или, если ввести полярные координаты х=г сов 6, в=с в!и 9, г'=с, сов'6, т.
е. г=с соввВ. В качестве примера Бержерон рассматривает,диу(вюриое поле деформации, с горизонтальной и наклонной осями деформации. Если горизонтальная ось есть ось сжатия, а наклонная — ось растяжения (рис, 53, 1), то имеем фронтообразующее поле, в противном случае (рис.53„2) — фронторазрушающее и образующее инверсии.
Из других линий тока, представленных на рис. 51 а и 1«, можно отметить линии типа 6, 7 и 8; подобного вида линии наблюдаются в смерчах и циклонах. В качестве примера особенной точки второго порядка для линий тока в пространстве рассмотрим движение, которое может служить моделью кучевого облака и которое можно назвать двойным источником в пространстве.
Если движение таково, что линии тока представляют пучок прямых, проходящих через некоторую точку, например начало координат, причем скорость в любой точке пространства обратно пропорциональна квадрату расстояния от начала координат (при этих условиях будет выполнено уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости), то говорят, что имеем в пространстве и с т о ч н и к или сток, смотря по тому, от начала координат или к нему направлены скорости.
Я Проекции скорости такого движении равны ах ау аа и= —— гз %= —— «а ° В каждой нз плос~(остей у=с,х линии тока имеют такой же внд, как в плоскости у=О (рнс. 54). Как раз такого вида линии тока имеют место в кучевых облаках. й 6. Определение вертикальной скорости нз уравнения неразрывности. Метод нахождения вертикальной скорости с помощью уравнения неразрывности был дан Маргулесом [Л. 8[; Бьеркнесу [Л.
9) принадлежит разработка графического способа, основанного на формуле Маргулеса„ усовершенствование метода Маргулеса дано Береком [Л. 10); К. Н. Васильев [Л. 1Ц рассмотрел вопрос об интервале высот, для которого прнменнм метод Маргулеса, В.гл, И мы имели вывод уравнения неразрывности. Дадим здесь другой вывод уравнения неразрывности, основанный на применении формулы Гаусса; Определим количество жидкости, протекающей в единицу времени через заданную произвольно поверхность 5. Возьмем элемент поверхности а(5; в некоторой точке внутрн элемента возьмем вектор скорости К Через промежуток времени лГ частицы ээ 1 3 у„гг К1Г з Рис. 54.
Ряс. 55. составлявшие элемент И5, передвинутся на отрезок ЪЩ а потому количество жидкости ИЯ, протекшее через элемент п5 за промежуток времени Ш будет равно массе жидкости, занимающей об'ем цилиндра (рис. 55), имеющего основанием Ы5 и высотой — проекцию 1Ж на нормаль к площадке Ю, т. е.
з„цг (и„— нормальная составляющая скорости). Поэтому Щ=ро„НИ5, где Р— плотность жидкости. Если поверхность 5 замкнута, то будем считать положительным направление внешней нормали: тогда ИЯ будет положительно, если жидкость через элемент п5 вытекает из об'ема, ограниченного поверхностью 5, н отрицательно„— если втекает.
Количество жидкости, протекающей через поверхность л в единицу времени, выразится интегралом Найдем другое выражение Я, исходя нз следующего: пусть а есть замкнутая поверхность, ограничивающая об'ем т. Количество жидкости в об'еме т есть интеграл плотности, которую мы обозначаем д (см. гл.
11, стр, 31); выражение, нр стоящее во второй скобке, есть расхождение скорости. Поэтому можно представить уравнение неразрывности в такой форме: — '+р б)ч ('=О............ (25) Переписав это уравнение таким образом сЪУ~ —, др рдс' можем выразить зависимость между скоростью и плотностью так Расхождение скорости дает относительное изменение, отнесенное к единице времени, плотности элемента жидкости.
Очевидно, что для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности принимает вид г б)т (:=О. Если рассматриваются атмосферные движения на большом участке земной поверхности, когда нельзя пренебрегать кривизной этой поверхности, следует применять уравнение неразрывности в сферических координатах. о Для вывода этого уравнения возь- мем элементарный об'ем АВСОЕГОН Ряс. 56. (рис. 56) и подсчитаем поток вектора р(' через все грани этого об'ема. Обозначим через и, составляющую скорости по направлению радиуса вектора, через и„— составляющую по параллели, и,— составляющую по меридиану.
Л обозначает долготу точки,  †дополнен широты; широту будем обозначать через р. АВ и С0 †ду меридиана, равные п(В; А0 и ВС вЂ” дуги параллели; А0=гв)пВНЛ, АЕ=1)Н=с(г. Поток вектора р(' через грань АВС0 равен — (рп,) ° пл. АВС0= — (рп,гв в1п Вдз АУЛ)ь поток через грань ЕГИН равен (рп,г' в1п Вс(ап'Л) . Поток через обе грани д(рн гв ян Вд Л дВ) (р и, г' в(п В а Л с( В), — (р п,я в)п Е с(Л а Е), = д в)п В(ЛВВдп 'д(рн~~ ) Аналогично получим для потока через грани АЕН0 и ВРОС выражение гсХЫВсУЛ, дВ и для суммы потоков через грани АЕРВ и 0НОС д(р ~в) д Л ПХп( 8 И Л. Поток через всю поверхность, ограничивающую элементарный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
