Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 66
Текст из файла (страница 66)
условия неизменности растояний между всеми вихрями цепочек во все время движения. Очевидно, для „твердости" цепочек необходимо, чтобы скорости их перемещения были одинаковы: и, — 1о1 = и2 — )оя. Сравнивая выражения (81) н (82), находим, что для этого должно выполняться соотношение С, = — 'С„ т. е. интенсивности цепочек должны быть одинаковы по величине и противоположны по знаку.
Мы будем Ч в дальнейшем писать С вместо С1, рассматривая твердые цепочки. Положим теперь, что обе цепочки перемещаются параллельно оси х. В:этом случае должно быть ч!1 = е2 = О. Обозначимся! — ас =Ь+Ь! (рис. 80). Рн Отделяя вещественную н мнимую части с1п — (Ь+Ь!), будем иметь: 2оЬ 2оа вщ— вв— 1 сна (Ь + Ь!) 2 (83) сь — — сов —-- ,1 СЬ вЂ” — СО2— ! с» я л ля+с где в)1х=, сй х = 2 ' 2 с.
80 верхней цепочки — С„нижней — С,. Одним из вихрей верхнего ряда пусть будет х„ближайший к нему вихрь нижнего ряда — в2. Очевидно, что для комплексного потенциала будем иметь (х) =-2 — '. (д в1п — 1 — (х — х1)+ 2 '. 1Я 21п — (х — вя) ° - ° ° (79) Выясним, как будут перемещаться в жидкости рассматриваемые вихревые цепочки. Очевидно, что все вихри первой цепочки будут двигаться с оди- наковой скоростью, также все вихри второй цепочки должны переме- щаться одинаково.
Поэтому каждую цепочку можно рассматривать, как одно целое, и достаточно исследовать скорости двух вихрей, например в1 и хя. Вихрь к1 будет перемешаться лишь под влиянием второй цепочки, так как одна цепочка, как мы видели, не перемещается. Следовательно, чь скорость и, — !211 вихря получим, если в выражении скорости и — т= о.— „— — — ',.— с1К- — '(х — х1)+ —,. с!к — '(х — ая).... (80) ку с, с, а!а 26 1 2Н 1 выкинем первое слагаемое и положим а=а1 во втором слагаемом: и,— !Ь1 =- — ял сгп — "'- (х1 — ая).......... (81) Поэтому получаем: 2ла С 2Ь— ! 21 22В 2лЬ ' СЬ вЂ” — СО2— 1 Даналла.
лаааараяагмя 22Ь я!и— С 21 22Л 2 12Ь СЬ вЂ” — СО2— 1 — 290— Так как по условию ть =ть — — О, то необходимо з1п = О, 2хЬ У откуда или Ь=О нли Ь= —. В первом случае получаем расположение 2 цепочек, называемое с им м ет р и ч н ми: под каждым вихрем одного ряда имеется вихрь другого ряда.
Во втором случае имеем ш а хм а гное расположение вихрей, т. е. такое, в котором посредине между каждыми двумя вихрями одногО ряда находится вихрь другого ряда. Нетрудно видеть, что скорости перемещения цепочек будут с ~л и,= — с1п — для с им метр и чно го порядка 21 ! С тса и, = — 1п- - для шахматного порядка....... (85) 1 В дальнейшем под цепочками Кармана мы будем понимать две цепочки, расположенные в симметричном или шахматном порядке. Впервые такие цепочки были изучены Карманом и Рубахом в применении к вопросу о сопротивлении, испытываемом цилиндром, движущимся в жидкости при наличии образования позади него вихрей. Карман и Рубах изучали вопрос об устойчивости вихревых цепочек, который состоит в следующем: под влиянием некоторых воздействий все или некоторые вихри цепочек могут получить малые смешения, тогда может оказаться, что вихри с течением времени будут оставаться вблизи тех положений, которые они имели бы, если бы двигались, не подвергаясь смещениям; в этом случае говорят, что движение устойчивое.
Если же смещенные вихри будут удаляться от положений, отвечающих невозмущенному состоянию, то движение называется неустойчивым. Результаты исследования кармановских цепочек на устойчивость таковы: симметричное расположение является неустойчивым; для шахматного расположения найдено необходимое условие устойчивости: сй — = )~'2, ............ (86) из которого получается такая зависимость между величинами Ь и 1, т. е. расстоянием между цепочками и расстоянием между соседними вихрями каждой цепочки: — = — 0,2806... Ф й 12. Теория порывистости ветра А. А. Фридмана. Под порывистостью ветра мы понимаем явление беспорядочного отклонения величины и направления ветра от среднего значения. Период и амплитуда этих отклонений зависят от различных обстоятельств: так, в общем, с увеличением средней скорости ветра увеличивается амплитуда отклонений и уменьшается период; с увеличением высоты над земной поверхностью порывистость уменьшается, причем иногда это уменьшение происходит постепенно; иногда же на определенной высоте (обычно в слое инверсии температуры) наступает резкое уменьшение порывистости ветра.
Однако, в некоторых случаях, например в циклонических областях„ бывает, что порывистость меняется с высотой неправильным образом, имея и на значительных высотах (2 — 3 км) большие значения. Совершенно очевидно важное значение для авиации и воздухоплавания определения зон сильной и слабой порывистости ветра, поэтому представляет интерес хотя бы грубая теория порывистости. А. А. Фридман 1Л. 131 делает предположение, что порывистость ветра обусловлена периодическими системами вихревых линий, которые проносятся в атмосфере.
В главе о динамике атмосферы будет показано; что в атмосфере вихри с горизонтальными составляюшнми имеют большое значениеПозтому мы ограничимся рассмотрением вихрей с горизонтальной осью. Предположим, что в воздухе проносятся вихревые цепочки, тогда они в месте наблюдения будут давать периодические изменения скорости ветра.
Требуется по характеру порывистости ветра, определить высоту на которой находятся вихревые цепочки, их интенсивность и расстояние между отдельными вихрями цепочек. Простейшее допущение, что порывистость ветра вызывается одной цепочкой, находяшейся над местом наблюдения, не целесообразно, ибо, как мы видели, одна вихревая цепочка, оставаясь неподвижной, не может дать периодических колебаний скорости." Следовательно, приходится допустить существование по крайней мере двух 1~ ,р о) цепочек. Мы рассмотрим задачу для случая двух цепочек с шахматным расположением вихрей.
Выберем оси координат таким образом: ось х расположена посредине между двумя рядами вихрей, ось у направлена вниз, и притом так, чтобы онапроходилачерез у место наблюдения, координаты которого будут, следовательно, (о, у). Дру- Рис. 81. гимн словами, у есть высота вихревого слон над местом наблюдения (рис. 81).
Мы будем считать, что из наблюдений могут быть определены следующие величины: 1. Скорость перемещения вихревых нитей, которую мы обозначим через д; на основании некоторых средних наблюдений она равна примерно '~, средней скорости ветра. 2. Период колебаний скорости ветра Т. 3. Амплитуда порывистости ветра А. Наша задача состоит в определении величин: 1 †расстоян между соседними вихрями одного ряда, Ь вЂ расстоян между двумя цепочками, у †высо вихревого слоя и С вЂ интенсивнос вихрей. Для шахматного расположения задача решается полностью. Именно, имеем, очевидно 1=от; .............. (87) далее, из условия устойчивости шахматной системы вихрей: 6=0,2811 ..............
(88) Для определения циркуляции С воспользуемся формулой (85), в которой вместо и, будем писать ф с ял ~У = — 1)1 —. зг Имея в виду условие устойчивости сй — =)/ 2, найдем, что и следовательно 4 откуда С = 2 г '2 Ьу. . 189) 19" — 292— Чтобы определить высоту у вихревого слоя над местом наблюдения, выведем, прежде всего, формулы для составляющих скорости в точке (О, у), где производятся наблюдения. С этой целью перепишем формулу (80) (полагая С,= — С,=С) С с и — (п = — с1п — (я — я~) — —. с(я — (я — гв) 2И 1 2И ! и определим входящие в нее значения в, я, и л,. В точке наблюдения имеем: я=ус'.
Пусть янгрбозначает комплексную коордн11ату того вихря нижнего ряда, который в начальный момент вреде мени находился на оси у, т. е. в точке — . Так как все вихри перемещаются параллельно оси х, со скоростью а, то выражение а, к моменту времени 1 будет У + 2 Ь) Пусть будет ав тот вихрь верхнего ряда, который находится ближе всего справа от вихря а,. Тогда, так как он сдвинут относительно з, на отрезок †, имеем Л а =а1+ — — — и 2 2 Подставляя теперь найденные з, а, и вв в формулу для и — Ьп, получим= и — си= —.
с1йЯв (у — --) — чЬ< — —.— с(К вЂ” Сг (у+ 2) — Чг — 2) (90) Применяя к со1апиепз'ам от комплексного аргумента формулу преобразования в1о2 а вй 2 Ь с1а (а+ Ы) = —— сЬ2Ь вЂ” сов2а сп2Ь вЂ” сов2а и отделяя затем в выражении (90) вещественную часть от мнимой, найдем Ь вЂ”". (2у+ Ь) вв — '(2у — Ь) 21~ 2аа а 2аа 3 св (2у+Ь)+ сов г св (2у-Ь) сов 2аа 2аа С мо — г - мо — -г 1 Ю вЂ” —- 21 а 2ач) + а 22оа сп — 12у+ Й) + сов — Ф св — (2у+ Й) — савв 1 ! Если построить график горизонтальной скорости и, то это будет как раз график теоретической порывистости ветра. Если амплитуду колебаний и приравняем полученной из наблюдений амплитуде А, то будем иметь уравнение, из которого можно найти у.
Нетрудно показать, что если место Ь наблюдения находится под цепочками, а не между ними, т. е. еслиу+— Ь .иу — — положительны, то максимум и минимум величины и осущест- 2 а вляются тогда, когда соз-"-- 1=+1. ) Обозначая через и — наибольшее, а и,„— наименьшее значения и, получим для амплитуды вв — (2у+Ь) вв — -(2 у+а) А=и — и юзвв п3[о 2 1 а св — (2у+ Л) — 1 св —.
(2у+ Л)+ 1 эь — (2у — И) эв — (2у — а) 1 . (91) + 1+ сЬ вЂ” (2 у — Ь) сь — — (2у — Л) — 1 с Из уравнения (91) и'надлежит определить у. Делая в правой части уравнения приведение к общему знаменателю и пользуясь тем 'что сЫх — 1= = эй'х, получим !А 1 1 д С я + эь — (2у+Ь) эь —. (2у — Ь) Я Преобразуя далее зй суммы и разности и избавляясь от знаменате- лей, получим такое уравнение: 2пу 2С я» 2пу э~~» зЬ' — — - -- сЬ вЂ” зЬ ---- — зЬ вЂ” =О.
Ю !А 1 Х 1 ял Вспоминая, что из условия устойчивости: сй — =3Г2, и следовательно э(1 — = 1, перепишем последнее уравнение так: , .и э2ку 2С) 2 2зсу Ф' — — — — — зЬ вЂ” — — 1 = О.. !А 2%у Решая это квадратное относительно зЬ --'- уравнение, найдем 1 2ку С)' 2+~/2С'+ 4д+ /16~ф+ (92) Иэ этого уравнения можем определить высоту у вихревого слоя над местом наблюдения. Если взять случай, когда средняя скорость ветра — 5 м1сек, средняя амплитуда порывов — 4 м(сея, средний период — 1 мин. и принять д=З вЂ” м~сек, то вычисление по формулам (87), (88), (89) и (92) приводнт к таким величинам: 1=200 м; Ь=5б м; С=188,0 м'(сея; у=83 м. В заключение этого параграфа приведем соображения проф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
