Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 70
Текст из файла (страница 70)
(28) Выясним значение первого интеграла. Тройное произведение ((Я, У], Из) представляет собою объем параллелепипеда, построенного на векторах Я, Ч и !й, взятого со знаком пл!ос или' минус в зависимости от того, ориентированы ли векторы Я, Ч и пя как координатные оси в рассматриваемой системе координат или нет. Как известно из векторного исчисления, в скалярно-векторнальном произведении можно делать циклическую перестановку векторов, и в частности, можно написать ((Я, У], сй) =(Я, (У, На])! /'~~а,ч, ш1=/'~а, з а~а-|а. !'и, ар. тогда Я мы вынесли за знак интеграла, так как Я вЂ вект постоянный по величине и направлению. Чтобы дать истолкование последнему интегралу, спроектируем на плоскость экватора, параллельно земной оси, контур Е; проекцию его С Т! обозначим через Е', проекцию скорости Ч чед.5 рез Ъ", проекцию дз через !Ь' (рис.
97). Объем параллелепипеда (Я, У, Ыз) равен произведению величины вектора Я на площадь сечения, пер! ! пендикулярного Я, а последняя площадь равна площади, построенной на векторах х(з' и Ч'. ! д., ~ Обозначим через Е' вектор плогцади, огра- ! !! ! ниченной контуром Е'. Величина этого вектора ! ! ! должна равняться величине пло!цади, ограни- ! ! ! ченной линией Е', а направлен он перпендику- ! -4-~ ! лярно плоскости экватора, причем, если кои- гг, ! ! а5'! ! ! тур Е' обходится против часовой стрелки, если ] смотреть на него с северного полюса, то Е направлен, как и Я, от северного полюса к южному; если Е' обходится по часовой стрелке, то Е направлен в противоположную сторону. За промежуток времени сЫ точки этого контура переместятся на вектор ЧЩ и приращение площади Е' будет равно пределу суммы площадок, причем произволым)я из этих площадок может быть изображена вектором !У'61, уа'], т.
е. 6Е'= (Ч'Ш, Ж], откуда -„-,'-= /'(у, ь). х Далее, так как (Я, (У, ««з))=(Я, (У', Ыз'1) (это равенство выражает, что объем, построенный на Я, Ч, «й равен объему, построенному на векторах Я, Ч', ««з'), то можем написать /((Я, Ч) ««з) = ))(Я, (Ч, ««з)) = / (Я, (У', ««з'3) = /'~Ч, ~з, ( ж') + ж' Последнее равенство вытекает из того, что вектора Я и 2', а следова- ««з' тельно Я и — „-, оба направлены параллельно земной оси, а потому их скалярное произведение равно произведению их величин, взятому со знаком пл«ос, если векторы Я и Е' одинаково направлены (т.
е. оба от северного пол«оса к южному) и со знаком минус, если «г' направлен от «ожного полюса к северному. Чтобы не иметь дела с двумя знаками, условимся считать величину Е' положительной в первом случае и отрицательной †втором. Тогда будем иметь ,( ((Я, У) Ыз) = Я вЂ” — . 2 Внося это выражение в формулу (28) и вспоминая, что по теореме Бьеркнеса последний член этой формулы равен И' — № (разности между числом положительных н отрицательных изобаро-изостерических единичных трубок), получим (29) -- = — 2Я вЂ” -+ Ь' — №.
Таким образом, изменение циркуляции зависит не только от пересечения нзобарическнх и изостернческих поверхностей, но и от изменения со временем площади, ограниченной проекцией на плоскость экватора контура Е, по которому берется ю Ф' циркуляция. ««у ! Посмотрим, как влияет добавочный член — 2Я вЂ” „ « ! на изменение циркуляции в циклоне. 1 ! ! Пусть будет Š— окружность, лежащая в нижних 1 ! слоях воздуха, центр которой совпадает с центром 1 ! циклона; за положительное направление контура Е примем направление, противоположное движению часовой стрелки (рис.
98). Так как в нижних слоях ): циклона воздух цритекает к центру, то имеем сужение контура Е. Площадь ь"' при нашем условии ««х' положительна, следовательно, — 2Я вЂ” — положиРие. Ж тельно, что влечет увеличение циркуляции. Но увеличение циркуляции означает, что у нас появляется составляющая скорости ветра, направленная вдоль контура против часовой стрелки. Следовательно, в циклоне скорость воздуха, идущего к центру, имеет составляющую вправо, что и обусловливает спиралевидный характер 'йиний тока. Теперь рассмотрим влияние изменения, площади ««' на изменение циркуляции в пассатах. Здесь за контур Е возьмем окружность, лежащую в нижних слоях атмосферы и охватывающую всю земл«о в виде параллели: (рис.
99). — 311— Рнс. 100 Здесь т,— вектор скорости частицы, находившейся в момент Г в точке Ам т,— вектор скорости частицы в точке Аь Пользуясь для т,— т, первыми членами разложения в ряд Тейлора, можем написать с(сг=~ — йх+ — — йу+ — -сиз)Ж=- — на + — на + — са =на раас(й г дт дт дт Х д7 дт дт ~дх ду дх ) дх н ду г дх г К моменту Г+Ш вектор сг перейдет в вектор йг+Жг=на+с(а.9)тсй,......., .. (31): да векто11 а перейдет в а+с(а=а+ — сй. Направление обхода возьмем с запада иа восток Благодаря течени10 воздуха от полюса к экватору, контур 1. расширяется с течением вре- 1Гь" мени, плошадь Е' увеличивается, †2Я „-, будет меньше нуля, следовательно циркуляция уменьшается. Это означает, что должна иметься восточная составляющая ветра„что 1 действительно.и наблюдается, так как в пассатах дуют ветры с северо-востока.
ф 4. Условие сохраняемости векториальных линий. Теоремы Гельмгольца утверждают, что в баротропической жидкости, прим наличии консервативных сил, имеет место сохраняемость, во время движения, вихревых линий, а также сохраняемость интенсивности Рнс. 99. вихревых трубок.
Вихревые линии являются частным случаем векториальных линий, т. е. линий, в каждой точке которых направление касательной совпадает с направлением некоторого вектора, поле которого задано. Так, линии тока являются векториальными линиями вектора скорости, вихревые линии =' векториальными линиями вектора а вихря. Векторнальной трубкой называется поверхность, образованная совокупностью ' векториальных линий, проходящих через произвольно взяЙ~ тую замкнутую линию. А. А.Фридман поставил общую задачу об условиях, при которых имеет место сохраняеГг".х Р мость, во время движения, векториальных линий, а также интенсцвностей векториальных трубок.
В этом направлении мы докажем теоремы: Теорема 1. Необходимое и достаточное условие сохраняемости векториальных линий вектора а состоит в выполнении равенства ~ — — (а,ч)у,а~ 0... (30) Докажем необходимость условия. Рассмотрим приращение аг радиуса вектора вдоль векториальной линии в момент времени Г (рис. 100): 6г=г,— г,. Положим сг=на, где с †мал скалярная величина. Тогда Ьх= на аУ=са, сг=аах К моментУ вРемени Г+Ф вектоР сг полУчит пРиРащение Яг„причем Лг=с1(г,— г,) =й; — с(г, = ~~"- — ~г-) ЩГ=(та т,) 1à — 312— Частицы, находившиеся в момент времени 8 на векториальной линии, например частицы А, н А„к моменту 1+с(г перейдут в точки (например Вс и В,), лежащие на некоторой жидкой линии, может быть унсе не векториальной.
Если же эта жидкая линия есть векториальная линия, то касательная к ней должна совпадать по направлению с вектором а+сй, т.. е. вектор аг+Яг должен быть параллелен вектору а+сй. Условие параллельности двух векторов состоит в равенстве нулю их векториального произведения, следовательно (йг + а(йг, а -)- Иа] = О, или, подставляя найденное значение вектора ау+сааг из равенства (31): ~а+(а. Ч)УЖ, а+" — „',сй1=0 (на а сокращено). Это произведение равно сумме четырех векториальных произведений: (а, а), которое равно нулю, произведения ](а.
У)Ус1Г,—,Ж1, которое счисса таем равным нулю, так как оно дает бесконечно малый вектор второго порядка малости относительно саг. Остасотся два слагаемых: ]а, „~Ф~+((а у)ЧЖ,а]=0. Сокращая на сгг и переставляя члены в первом слагаемом, получим — ~ —,, а1+ Ка . Ч)У, а] = 0 ~,л; — (а- у)У,в~=О, или что и требовалось доказать. Вместо вектора -- — (а,у)У А. А. Фридман рассматривает вектор Н= Ье!щ а=-; — (а. У)Ч+ас)1чУ.
Очесса видно, что условие сохраняемости вихревых линий может быть написано в форме (Н,а] =О, так как (Н,а) =~к,— (а У)У+аб1чУ)=~ —,— (а У)У,а1+ Гсса Гсса гда + (а сйч Ч, а) ~ — — (а ° у)Ч, а~ = 0 (вследствие параллельности векторов а б1ч У и а имеем: ]ас)1ч У,а] =О). На доказательстве достаточности найденного условия мы не останавливается, отсылая к книге А. А.
Фридмана [Л. 1]. Вторая теорема Гельмгольца выводится обычно в предположении, что установлена первая, т. е. доказывается, что интенсивность вихревых трубок, при условии сохраняемости вихревых линий, остается неизменной. Однако, эта теорема может рассматриваться независимо от первой„ если под интенсивностью 1 бесконечно тонкой векториальной трубки понимать поток вектора а через сечение, нормальное к вихревой трубке, т.
е. полагать — 313 — ' где:.а„—.нормальпая к площадке составляютцан:ввнтара;а, которую можно ,,и[!едстввнть в виде скалярного произведения вектора'' а на,единичный вектор нормали к площадке сл а„=(а, и)> и следовательно У = / / (а, п) сЬ. Когда частица, через которую проходила площадка ч, займвт новое " положение, причем площадка а перейдет в о', то поток вектора а будет 1' / ~ (а',и')юй. а' Это будет интенсивностью векториальной трубки, проходящей через кон-.' тур площадки а', хотя о', вообще говоря, ие будет нормальным сечением новой векторнальной трубки, и новая трубка может не состоять из тех жидких частиц, которые составляли первоначальную векторнальную трубку (рис. 101).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
