Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Прежде всего отметим, что движение „несжимаемое" (см. $ 1 втой главы), т. е. для него А1 7=-'~6«+ а««+ з«« =:-:= О. дх ду дд Поэтому уравнение неразрывности ««у — =в 61ч 7 даст «ь«дм «ь«дм д«« -„, =~+,.— н+, +,, ~=О ««т Составим теперь динамический градиент О=г —; -итурбулизируюший вектор Н= — сиг1 6. Их составляющие будут 0 1г() .
С Лг() Н =2Л(з) Л'(а)у, Н = — 2Л(а) Л' (я) х, Н,=О. Рассмотрим условия динамической возможности (см. предыдущий параграф) в форме, содержащей 1=!да 16, с««1 = Н, , ~ = 61«« 7. Б раскрытом виде они дают четыре уравнения: Л (я)у д-' +6'. е — 2Л (а) л'(з)у =О' — а'- ~У вЂ” Л« (а) х - Е + 2Л (а) Л' (а) х = О; Л' (я) х -+ — Лэ ( ) у т = О.. ф — Л(я)у ф+Л (а) х ~т =,О, Если первое уравнение умножить на Лэ (а) х, второе на «Л" (а)у и сложить, то получим третье. Поэтому имеем всего три уравнения.
д ' +Л~(з) х- — — 2Л(г) Л' (а) х=О, + Л' (а) у -йУ- — '2Л(а) Л' (я) у =О, -Д- = О. Последнее из уравнений показывает,'что о не зависит от времени, Первые два уравнения оказываются совместными. так как скобки Пуассона для ннх тождественно равны нулю. Следовательно дальнейших условий динамической возможности составлять не нужно — движение динамически возможно. Решая полученную для ««систему уравнений, найдем «р = 2 1д Л (а) + Х., (а)> тде 7.— произвольная функция аргумента а, причем хл+ул Р дх а= — — у у 2 "/ Лл(х)' Вспоминая, что а=!да, найдем ел=Лл (2) М (я), .
(57) где М вЂ произвольн функция з. Давление определится по формуле б д +0 ду+0 д хдх+уду .У и() Улг(') = у Р =)!1( )+для . ° ° - . ° ° . (58) Выберем теперь из движений" рассматриваемого вида адиабатическое: движение, т. е. такое, для которого приток тепла а равен нулю (см. гл. Ш). Мы имели для адиабатического процесса йо Так как у нас -- = О, то из уравнения притока энергии имеем Ыр др др др др ду = д-+ д и+ д,— + д- Нетрудно проверить, что др др др дх ду дг — и+ - — о+ — та= — О поэтому остается — ",'=О, дг и следовательно р = Д7 (.)+р„ (59) где рл — постоянная. Итак имеем адиабатическое движение со скоростями и = — Л (х) у, о = Л (я) х, та = О, с давлением и удельным объемом, определяемыми соответственно формулами (59) и (58).
Покажем, что условие сохраняемости вихревых линий [Н, сцг) У[ = О не выполнено. Действительно составляющие вихря у нас равны Е= — Л' (г) х, и= — Л'(а)у, С=2Л (а). то видим, что они обращаются в нуль лишь при Л=сопз1, в общем же случае отличны от нуля. Нетрудно убедиться в том, что условие сохраняемости интенсивности вихревых трубок выполняется: (Н, свг1 т) =О, Величины Ц,, Н, Н, мы имели раньше. Так как составляющие век- торного произведения [Н, сцг) У[ равны [Н, спг! У[„= — 4ЛлЛ'х, [Н, сцг! У~ =4Л').у, [Н, спг! У],= — 2ЛЛ' (хл+у'), — 327— следовательно интенсивность вихря отдельной частицы остается неизменной.
Рассмотрим подробнее вихревые линии нашего движения. Дифференциальное уравнение вихревых линий Нх «у с~г дает их ~~у х' (х) лх х у 2Х(х) откуда после интегрирования будем иметь С1 у = С,х, у = —.==. ~' 1(а) Видим, что вихревые линии суть плоские кривые, расположенные в вертикальных плоскостях у = С,х, проходящих через ось в. Если в некоторый момент времени Ь расслютрим частицы, находящиеся в плоскости уоа, на вихревой линии АВС..., то в последующий момент времени Ь, эти частицы расположатся на жидкой линии А, В, С,, причем эта линии уже не будет лежать в вертикальной плоскости, так как частицы А В С... вращаются с различными угловыми скоростями ) (а), и значит не будет вихревой линией.
Вихревой же линией, проходящей через точку Аь будет линия А, В, лежащая в плоскости, проходящей через ось а, и состоящая из других жидких частиц, не входивших (кроме А,) в состав линии АВС... Точно так же через точки В„С,... будут проходить новые вихревые линии. Можно, построить около линии АВС бесконечно тонкую вихре- Рие. 102. вую трубку, затем около каждой точки: Аь '„ф... построить вихревые трубки.на тех площадках, в которые переходят площадки, находившиеся в соответствующих точках А, В„ С,...
первоначальной вихревой трубки (рис. )02). условие (Н, сцг( у)=О означает, что интенсивности этих вихревых трубок равны интенсивности трубки АВС. Таким образом приведенный пример представляет аднабатическое движение сжимаемой жидкости, в котором происходит образование н разрушение вихрей. й 7. Теоретическая модель перемещающегося циклона. Применяя метод условий динамической возь(ожности движения, Н. Е. Кочин рассмотрел движение типа вращающейся жидкости, при котором в каждой горизонтальной плоскости имеем вращение около перемещающегося центра (Л.
51. Пусть координаты перемещающегося центра вращения будут а (а, 8), Ь (а„Ф), а, угловая скорость вращения — ((а), тогда скорость частицы будет слагаться из скорости перемещения центра и скорости вращения вокруг рассматриваемого центра. Поэтому и = -,—,— с(у — Ь), да дЬ о= —,+((х — а), Р'„=2Лзо, Г = — 2Л,и., Г' = — и — 2Л,о; Л вЂ” угловая скорость вращения земли, Л, = — Л соз ~, Л„= — Л з1п р. Задача сводится к определению функций а, Ь, ~, удовлетворяющих условиям динамической возможности движения.
Обозначив, для краткости +С Ь=~(, Ь), дЬ,. ду . (61) перепишем уравнения (60) так: и= — ~у+г, о=.( х+т1, а~=О. . (62) дт Выпишем теперь составляющие динамического градиента 6 = à — д и турбулизирующего вектора Н= — снг1 6 б„=фх+А, 6 =фу+В, б,= — 2Л,Гх+С, д4 дВ де дА 0„= — 'у+ — Н„= — — х — — — 2Л,(, Н =О.
х дх дг ' г да да Х Здесь Ф=(,((+2Лэ) А=~+2ЛЬ) Ч вЂ” д, В= — ~+2Л ) Š— — -, С= — д — 2Л1ч. Условие динамической возможности (Н, 6)~0 Здесь а и Ь вЂ” функции я и 8, ~ —.функция одного а. Н. Е. Кочин показал невозможность движения при 1 зависящем от времени. Мы не останавливаемся на этом доказательстве вследствиЕ' его громоздкости, а сразу принимаем С=С(г). Будем считать, что-на жидкость действует сила тяжести (в которую включена центробежная сила вра- Ь -'-~ Т щения земли), и инерционная сила вращения земли, УЕ'э равная ,! — 2 (й, т'1, где Я вЂ” вектор угловой скорости вращения земли, направленный параллельно земной оси от северного полюса к южному (в левой системе координат). Рассматривая движение на широте т (положительной— Рис.
103. для северного, отрицательной — для южного полушария) будем считать ось з направленной вверх по вертикали, ось х — к северу по меридиану, ось у— к востоку по параллели (рнс. 103). Тогда составляющие силы Г„действующей на движущиеся частицы, будут — 329 дает ()х+ А) (д у + -,— ) + (~у + В) ( —,— х — д - + 2 Л1 1) = О. дв дй Ф вЂ”; —  — '=О, Первое из этих уравнений дает после интегрирования в= — Фд В где д,— произвольная функция времени, третье уравнение сводится ко второму и дает после интегрирования А= — ф 91 (г) — 2ЛД з /' Иг с+ 2лз з д,— произвольная функция 1. 1' дя Обозначая у ' — =Х(я) и вспоминая выражения для А и В, получим / С+2Лк (1+2Лз) $+-д — = ~~Чз (1), (С+ 2Лз) 4 — ., - = — 2Л1 ф Х (а) — фд1 з).
(63) Остальные условия динамической возможности: 11 и Ш, выполняются тождественно, что нетрудно проверить. Величина 9=(7, б) оказывается отличной от нуля, так что имеем дело с общим нормальным движением. Подставляя в уравнение (4) вместо 1и а их значения по формулам (3), получим для, определения а (д, г) и Ь (а, Ь) систему дифференциальных уравнений: м +2Лз д, +~ Ь= ~~~, (Ь) * дг+Фа=ФЧ,(1),+2Л,~Х(,) ~. . (64) Общий интеграл этой системы имеет вид а(я, Ь)=я(я,1)+А1созУ+В, з1п(1+Аз соз(С+2Лз)+В, з1п (С+2Лз)41 Ь(я, Ф)=~(я, Ь)+ А1 з1п У вЂ” В1 соз С1 — Аз з1п (б+2Лз) 8+В, сов (С+2Лз) й 1 а(я, Ь). р (я, К) являются частными решениями, которые можно найти путем квадратур, когда известен общий интеграл однородной системы. А„В„ Аз, В,— произвольные фукции а.
Во вращательном движении рассматриваемого типа любая частица жидкости может быть принята за центр вращения. Если принять за центр вращения, лежащий в плоскости я=сопз1 частицу, описывающую траек- торию а=я (я, ~)+А, соз (С+2Лз) Ю+В. 81п (~~2Лз)(„) Ь вЂ” ~1 (Я Ф) — Аз зьп (г+2Лз) 8+В соз(С+2Лз) ~ ) * Так как это условие должно быть выполнено тождественно относительно х и у, то долзкны быть равны нулю козфициенты при ху, х, у и свобод- ный член. При ху имеем тождественный нуль, другие члены будут — ЗЗО— то формулы (60) для и, о, те примут внд: и= — Су+--+»»ф — 2(С+2Лв)А,в1п(~+2Л,)8+2(С+Л,)Ввсов(Г+2Лз) ~, "(67)' о=~х+-- — Ь вЂ” 2 (С+Л) Авсов(С+2Л,)Х вЂ” 2(С+Л,) В,в!п(С+2>»)~, те=О.
Мы ограничимся рассмотрением случая, когда не имеют места одновременные равенства д»=сопя(, »ув — — сопя», Ау=В,=О (здесь получается стационарный циклон нлн антициклон). Тогда для определенна удельного объема вычисляем а и Л, для чего предварительно находим векторы а и т. Оказывается'„что а =а=О,а= — —, 1 дф у ' ~ $ де т„у т, ОЛ= — —., то имеем: Л=О.
0» Так как Далее, а =а„+Лр =О, а =а +Лр =О, а =а,+Л»»,= —, да Условие — = »»Л оказывается выполненным. Находим теперь удельный объем »а ик-» оуау+юдж~+ь»» )— у,Ц . 68 в=Се =Се ~ С)=С»,(»,+2Л,) * ' Видим, что удельный объем зависит только от высоты, так как 6 есть функция только а. Можно задать распределение а с высотой в соответствии с действительными условиями, и определить затем С (з) из уравнения (9). Давление находим по формуле /'б дх+ 6 ду+»» дх» Г Р=/ . — . — * — +Ро(а) =2С1~х — 2Л»Х(з) — й (~)!'+ —,-»у — д,Щ» — 2/ ~;* — ~Л, /'~-'-'-"".';.'" — »".Ш,.»-р„Я, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
