Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 69
Текст из файла (страница 69)
87. чать два случая. Во-первых, центро4ежная сила по величине. меньше градиента давления: Тогда правая часть (19) отрицательна, и в леарй части о должно быть больше нуля. Так как внутри окрун<ности давление выше, чем вне (антициклон), то видим, что закон Бюйс-Балло выполняется. Располон<енне векторов А, 6 и Х (центробежная сила) х см. на рнс.
87 (виизу). с Во-вторых, может оказаться, что центробежная сила больше величины градиента давления. Тогда правая часть(19) положительна, и из левой части следует, что и отрицательно. Имеем аномальный случай минимум давления с антициклональным вращендем по часовой стрелке. Он изображен отдельно на рис. 88. Есть предполон<ение, что такие двин<ення могут иметь место в тромбах. Смерчи с антицнклоническим вращением наблюдались. й 3. Вихри в идеальной сжимаемой жидкости. Теоремы Гельмгольца. Теорема Бьеркиеса.
Напомним, что вихрем скорости мы называем (см. гл.— 11, 6) вектор Я с составляющими дсе <нс ди <см ду дл' дг <)х ' . (20) Вихрь скорости характеризует вращение отдельных частиц жидкости и равен удвоенному вектору угловой скорости частицы, какую она имела бы, если бы внезапно затвердела. В виду важности значения вихрей в атмосферных движениях, в этом параграфе мы подробно рассмотрим вопросы об условиях сохранения вихрей, а также их возникновения и разрушения. В гл.
Ъ'1, 8 были даны определения вихревой линии и вихревой трубки. Мы доказали, что циркуляция одинакова для всех контуров, охватывающих данную вихревую трубку. Мы видели, что для вихревой трубки основной величиной, характеризующей ее, является циркуляция скорости по контуру, охватывающему трубку. Посмотрим теперь, как изменяется циркуляция скорости со временем. Мы имели, по определению циркуляции . (21) Х.— произвольный замкнутый контур; символ (А В) обозначает скалярное произведение векторов (А и В). Вычислим производную С по времени. Для этого вычислим полную производную по 8 от подынтегрального выражения.
Поэтому Второй интеграл правой части, взятый по замкнутому контуру, равен нулю, так как подынтегральное выражение его есть полный'дифференциал (т' <зт) = — <Ьа. Поэтому остается . (22) Интеграл правой части представляет соб<по циркуляцию ускорения, а по тому равенство (21) выражает следующую теорему: <1 Более детальный вывод см. напрнмер (Л. 21, атр.
161. где й„ вЂ нормальн к поверхности 5 составляющая, вихря. Но эта составляющая равна нулю, так так вектор й касателен к вихревой поверхности. В следующий момент времени жидкая линия А примет пбложение Е', причем А' будет лежать на поверхности 5, образованной теми частицами, которые раньше лежали на поверхности 5 (рис.
89). По теореме Томсона циркуляция не меняется с течением .времени, а так как С равнялось нулю, то и С, =О. Но по теореме Стокса С,,= О'а„(5, откуда следует, что 2„=0 в точках поверхности 5', и значит 5' есть в Вихревую линию можно рассматривать вых поверхностей, которые во время дви не равен нулю, так как — — не есть полный дифференциал, и мы имеем 4а для производной по времени от циркуляции скорости лс рар ай . (24) Бьеркнес дал истолкование правой части этого уравнения, носящее название теоремы Бьеркнеса., Введем вместо плотности удельный объем: Тогда будем иметь (2б) Рассмотрим изобарические поверхности р= сопз( и изостерические поверхности, т.
е. поверхности равного удельного объема: аа= сопзб В случае баратропической жидкости, для которой аи= Ф(р), изобарические данаииа. иаааауааааиа. 20 Ф ихревая поверхность. как пересечение двух вихре-' жения жидкости переходят в вихревые же поверхности, линия же пересечения последних есть вихревая линия. Таким образом, действительно, имеет место сохраняемость вихревых линий. > 5 Теорема Гельмгольца о сохранении интенсивности вихревых трубок. Интенсивность вихревой трубки во все время движения остается постоянной (по- прежнему предполагаем, что жидкость баротропична и,внешние силы имеют потенциал). Рис.
89. Эта теорема представляет непосредственное следствие теоремы Томсона о сохранении циркуляции, так как интенсивность вихревой трубки есть циркуляция по контуру, охватывающему трубку. Теорема- В. Бье р к песа. Если жидкость бароклинична, т.
е. если плотность зависит не только от давления (напрнмер, и от температуры, или влажности 'и:.г. д.)и то в формуле (23) н изостерическне поверхности совпадают между собой, в случае же бароклинической жидкости зтн поверхности пересекаются. Проведем систему изобарнческих поверхностей для значений р, отличающихся друг от друга Р.
О на единицу, н систему изостернческих поверхностей для значений в, отличающихся друг от друга на единицу (рнс. 90). Эти поверхности разобьют пространство р.-г на трубки, которые называются единичными нзобаро-изостерическимн трубками. Р. Я Вычислим значение интеграла — ~ вЫР Рис.
90. по контуру 1, охватывающему единичную изобаро-изостерическую трубку, и ориентированному против часовой стрелки (рис. 91а); на линиях сМ и КИ р=сопз1, следовательно др=О. На линии К1. о>=во+1, по линии МИ в=е,. Позтому — / др= — 1~,+1) Ур=,+1, Рс> о гхг о ~ шггр= шо / ггр= во> следовательно — ~ шс1р=во+1 — шо=1, В случае, изображенном на рис. 91а, направление обхода по контуру 1 совпадает с направлением от рр к св.о) Если бы поворот от рр к;ш Рис. 91а.
Рнс. 91Ь. происходил в противоположном направлении 1см. рис. 91Ь), то для рассматриваемого интеграла мы получили бы — 1. — ~ Ур= — 1. г Будем называть единичную трубку положительной, если — вЫР =+1, и отрицательной, если — 1 го>1р= — 1. т) Напомним, что ГР направлен всегда в сторону воараставших давлений, в: отличие от метеоровогического градиента давления, направленного в сторону убывашнгих Р> Если данный контур Т. охватывает Ф' положительных трубок и № отрицательных, то контур А можно разбить с помощшо вспомогательной линии, разделяющей область положительных трубок от области отрицательных трубок, на два контура, ь' и Е' (рнс.
92). Тогда будем иметь Следовательно, производная циркуляции по времени определится формулой ~й — -=Л)' — №........; -... (26) Получаем таким образом теорему Бьеркнеса: Производная по времени от циркуляции. скор'ости по жидкому контуру Е равна разности числа положи. тельных н отрицательных единичных п зоб а р о-из остер ичес к их трубок, охватываемых контуром Е.
Теорема Бьеркнеса имеет важное значение при рассмотрении вопроса о возникновении вихрей. Дело в том, что по теореме Стокса, циркуляция скорости по контуру ь' равна потоку вихря через произвольную поверхность 5, опирающуюся на контур ул Рис. 92. Следовательно, теорема Бьеркнеса может быть сформулирована так: Производная по времени от потока вихря через жидкую поверхность 5 равна разности между числами положительных н отрицательных единичных изобаро-изостерических трубок, пересекающих поверхность Я. .Таким образом, теорема Бьеркнеса указывает причину возникновения вихрей в идеальной сжимаемой бароклннической жидкости, при наличии только консервативных внешних сил: вихри образуются вследствие пересечения изобарических и изостерических поверхностей.
,. Если в начальный момент времени движения жидкости не было, но пзобарнческие и изостерические поверхности пересекались, то в моменты времени, близкие к начальному, будут образовываться вихревые трубки, близкие к изобаро-изостернческим трубкам. которые не будут сохраняться, так что в 'последующне, моменты времени вихревые трубки будут состоять из других жидких частиц. Применем теорему.Бьеркнеса к объяснению некоторых атмосферных движений. Допустим, что некоторая, площадь на земле подверглась местному нагреванию.
Согласно уравнению„Клапейрана, имеем Давление мало меняется с изменением температуры, удельный же объем изменяется почти пропорционально температуре. Позтому изобарическне поверхности будут близки к горизонтальным плоскостям, изостерические же поверхности будут вогнуты кверху, т. е. в нагретой области они будут итти низко, в ненагретых участках--высоко, так как в нагретом месте удельный объем велик„и в ненагретой области такое же значение удельного объема будет наверху. Образуются изобаро-нвостернческие трубки, .л потому возникает циркуляция (рнс. 9Э) в направлении от пр к ум, 20" 8 центре возникает восходящее течение воздуха, на границах †нисходящее, снизу воздух прнтекает к области, наверху †расходит от центра к периферии.
Аналогичным образом можно объяснить явления муссонов, которые обязаны своим возникновением неравномерному нагреванию суши и моря знмой и летом, н бризов, происходящих от неравномерного нагревания суши и воды ночью и днем. На рис. 94 и 95 имеем схемы бриза ночью н днем. Днем изотермические поверхности поднимаются над сушей, ночью над морем; значения удельного объема возрастают днем от моря к суше, Рис. 93. ночью †наобор.
Направление от пр к тии указывает„ в каком направлении должна происходить циркуляция. Перейдем, наконец, к рассмотрению циркуляции в атмосфере, окружающей землю. с.ъ! ' ~ ъ — "'" А ЯоРмй 9 е.м Рис. %. Давление с широтой мало меняется, так что нзобарические поверх- ности можно считать совпадающими с поверхностями уровня. Изостери- ческие же поверхности поднимаются от экватора к полюсу, так как удельный объем, вследствие значительной разницы температур, у экватора больше, чем у полЮса.
Направление циркуляции соответственно на- Г .г сг правлению от ср к уе будет таким: от экватора воздух поднимается и вверху растекается к се- верным и южным широтам, у полюсов опускается, ( 1 ~ / и внизу течет к экватору. Таким образом, имеем ! схему пассатов и антипассатов (рис. 96). ! До сих пор мы предполагали, что внешние силы в движущейся жидкости консервативны, т. е. сила Р имеет потенциал. Если рассматри- вать движение воздуха над вращающейся землей, то имеем уравнения для относительного движе- ння в такой форме (см.
гл. П): (о!! —,— = — К' — 2 (И, 7) — — пр,........ (27) где (р =и — — "'~ ю т. е. И' есть потенциал силы тяжести, слагающийся из силы прнтяже- 'Ф;..:::"::, Рис. 96 ния к центру земли и центробежной силы, происходящей от вращения земли, — 2(Я, Ч] — сила Кориолиса, Я вЂ” вектор угловой скорости вращения земли; Й вЂ” расстояние движущейся точки от центра земли. Применяя теорему о том,;что производная по времени от циркуляции скорости, равна. циркуляции ускорения, получим в случае относительного движения, на основании уравнения (27) — (ЧВ; !2а) — 2 ~ ДЯ, У] ° сй)— Р Так как первый интеграл равен нулю (ннтеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала), то остается .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
