Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 72
Текст из файла (страница 72)
(») Вспоминая значение вектора Н, напишем Н = — — [р», 6) = [6, т!Н«»]. Назовем Н т у р б у л и з и р у ю щ и и в е к т о р о м. Имеем на основании (43! «и« Н= — сит! Г+сиг! — -. »« Вспоминая формулу (36) предыдущего параграфа, напишем Н = — сит! Г+ Ье!ш спг! 7. Другое выражение Н получим, рассматривая правую часть формулы (44) Н = — сит! (»гр) = [гр, в«») [см. ни»ке формулу (*)). Вывод условий динамической возможности сводится к последовательному исключению динамических элементов р и щ. из уравнений гидро- механики. С этой целью перепишем уравнение гидромеханики в векторной форме так: — 816— Положим теперь )а =ч Тогда результат исключения р представим в окончательной форме так: Н= [6, ч~].
. . . . . . . . . . . . . (45) Это условие является не только необходимым, но и достаточным для возможности определения р из уравнений гидродинамики, так как из него и вытекает, что спг1 — „=О, а тогда, как известно, можно найти такую функцию р (х, у, в, ф чтобы Для определения э имеем теперь уравнение (45) и уравнение неразрывности, которое можно переписать так: лг+(Ь" ~'у) ="" (46) Уравнение (45) показывает, что вектор Н перпендикулярен к вектору 6, следовательно скалярное произведение этих векторов равно нулю." (Н, С) =О, .............
(47) или, иначе, (сит! 6, 6)= О. Чтобы получить уравнение, нз которого удобно было бы найти ч, преобразуем уравнение (45), умножая обе его части векториально на У: [У, н] = [У, [с, чч]]. Применяя формулу векторного исчисления ') [а, [Ь, сЦ = Ь (ас) — с (аЬ), будем иметь [У, Н]=6(У, ур) — ч~(У, 6).
что дает [7„Н]=Сейча — -т-6 — ~у (У, 6) ° (48) Множитель прн у~ А. А. Фридман обозначает через »: »=(У, 6) н называет мерой дисси патив иост и. Мы ограничимся рассмотрением случая общего движений, когда >А отлично от нуля. Тогда уравнение (48) можно решить отййрйтельно цц: (и,ч)+аа>.ч' л| а дг в' Для определения ~ мы получаем, таким образом, три скалярных уравнения, заключающихся в последнем векториальном уравнении. Поэтому между векторами (и, ч) + в ам ч в — — =а н — — =]~ Р Р Уравнение неразрывности (46) позволяет исключить (ч, ч~) из полученного нами равенства (7, тч) — сИч т'— т. е.
если сщ1 б= — О и д — — 1~~Л. до дт Собирая выведенные формулы, можем высказать такую теорему:, Необходимыми и достаточными условиями 'динамич еской возможности уравнений гидромех аники сжимаемой жидкости в случае общего нормального движения являются три группы условий: (11 (Н, 61 =О, (П) Ь Ч =О ~ (,О) (П1) сит! в=О, Достаточность этих условий проверяется таким образом: из уравнений (п1) возможно определить функцию ч (х, у, в, т), удовлетворяющую условиям . = Л, ттрн = а+Л11. дв Следовательно, ч будет удовлетворять уравнениям (49), а тогда, так как иФО, будет выполняться условие (48), и возможно будет определять функцию р, удовлетворяющую уравнению 0 тр= —,гдем=е".
Условия динамической возможности позволяют решать задачу, имеющую большое значение для построения моделей атмосферных движений. А именно, задают поле скоростей, причем в этом задании остается некоторый произвол. Затем составляют уравнения 1, П, Ш, для чего последовательно определяют динамический градиент 6 (внешние силы должны быть заданы) и турбулизирующий вектор Н и проверяют условие (1); если оно не выполняется тождественно, то дает уравнение для скоростей. Затем вычисляется и, составляются векторы а, р, по ним--векторы у и д и проверяются условия (П). Оии или выполняются тождественно, или налагают, новый ограничения иа скорости.
Затем находят Л из условия т„ т, т. — — — = — — =.-. Л ,о Х, г строят вектор ч= а+Лр, проверяют условия (П1); После этого определяют «1=1д,е, а следоваайттьно, и в из уравнений д д1 откуда получаем для яч в ) а гь'+ ч, ф'+юаней+1 'фф! где ч„, ч„а,— составляющие вектора а, С' — произвольная посттовянная. р определим из векторного уравнения 7Р= "' в откуда Г,, ь „ау+ + т.ла р= / — ' ' = — / (6„~1 +О т1у+Ст, Ю+Р Я, где р~ (1) — произвольная функция времени. лиюиич. НЮМОРОлОГи», — 322— Единственной внешней силой пусть у нас будет сила тяжести. Вычислим составляющие динамического градиента Далее, найдем турбулизирующий вектор Н= — спг1 О: Н = — ~~ -' Н =Н,=-О.
дпдг ' У Условие (1): (Н, О) = 0 выполняется тождественно. Перейдем к составлению векторов 1в, т) + б <и ч а Так как н = (7, О) = 6„+ о 6„+ю 6, = — и --;, В=г)п ав=0, то имеем д*и 1 а„=О, и =О, а,= —.- д) В. = — —. ° К = — --д-- 1 и. дг !3„= О, Далее, построим векторы у и 6 т=спг1 а+~ —, ~~, д=спг! ~+ ~д), ~~.
Будем иметь до дги дго дго дои 1 д дидГ додп Т и дг ди дг дт д-дг дР '(-) ди;и > 1у Т,= дг,! до дго дг ду дг из ~, до г Очевидно, что условие 1,,а]=О выполняется тож~йетренио. Далее Г' д'О ди дги д~и'1 „ :я111 „.,'. ' Т ~ дпдп дГ диду дг.! -'~'- .ф! . Ь до ( ди',~ дго дг 1,дК/ й дидГ Если составить вектор о=а+111, то д'и -д,д, — йд б я ди ив дг и=О а=— х Условие спг! и=О дает д /л'~ спг1„а= -- ~~ — ! =О, сцг!„и=спг1, п=О. до ~и) Рассмотрим в качестве примера применения изложенного метода случай прямолинейного движения со скоростью, зависящей только от высоты и времени: и=О, о=о(л, С), я=О, Из первого уравнения получаем х где й †произвольн функция 8. до Далее условие — =у1 сводится к уравнениям д) до го! ду д1 дг Х Второе уравнение указывает, что — не зависит от 8 и следовательно есть постоянная: Х = й'= сопз1, (51) и следовательно что в раскрытом виде дает такое уравнение дго до дго дго Гди ~'догг д'о1 доди дг додг )дг о (до (,дЦ й дгг) ' до д> Условие —,' = — ' выполняется тождественно.
дг до Перепишем выражения для а и Х так: дго доо) а„= О, а„= — (г, д) Дифференциальное уравнение (51) имеет бесчисленное множество решений. Положим, например, что о зависит ат высоты линейным образом: тг=т (~) в+и ®, где т и и —,функции 1. Беря производные, от о и подставляя их в уравнение (51), получим т" (и'я+и') — т' (т"в+и) =(г (т (и'а+и')г о (т"в+и")) Это уравнение должно выполняться тождественно относительно з, а по"тому дрлжны равняться коэфнциенты левой и правой части при одинакофйх степенях з и свободный член.
При хг имеем: й тт"=О, откуда илн Ц р=О илн 2) т'=О нли 3) т=О. жег Коэфициент цри я равен йр" т т' и'- лто =О. В случае первом имеем т"=О, т. е. т='Сг8+Сг, в случае втором н:.третьем соотношение выполняется тождественно, Д~р~;:::,:свободный ,о,'=" член равен т"и' — т'И" — йт и'г' — "" ~у~" = О. йФ:,... '.;:.',„-'..':-"~ ' В случае первом имеем т'и'=О, откуда и'=О„ т.
е. и=К)г 1+Х)г, ю=(Сг ~+Сг) я+г)г й+Йг.......... (52( В случае втором получаем: ти" +йио=О причем г т = сопз(. Поэтому — — л= ~ !п (т~+»»)+ С (С и !» — произвольные постоянные), я ' »»» и окончательно о=та+-~- !и (тг+А)+С.......... (55) Наконец, если в случае третьем т=О, то имеем. что»»"=О, т. е. а=Р»1+Р» — это частный случай первого случая, при С,=С,=О. Итак, видим, что возможны лишь два вида движения со скоростью о=т (г) а+в (~)» о=(С»г+С,) я+Р»!+Р„ и о=та+ ~~ (и (т1+в)+С, где С» С„С, Єл. т, !» — постоянные.
Для случая первого, когда !!=О . (54) ° =. =О, ° = . +~, Л=О. с» х» ' г С»г+!!» ' Следовательно снм Ух «»+о»«у+;»»+»'»» .[ с»+й »»»=»»»~ е = »»»ае = ма (С»Ф -1- Р»! «х+О «у+О, «х г'(С,»+П,) «у+~ » /, (с,.+сц =У ' = — У ' — „-С [и (Сгс+Р»)+Р»»(г) В случае (53) а„, О, е= — !», ~, = — [! (т~+ А), Л =!» [та + л !и (тС -[- А) + С]Л Р гск+ы — »+т»»! — г».» а»! «' — агс,»+ы-г+те! Х м + а»! л«у р= —,/ е (тс-[-й) '" (.л '--«-дж). й 6. 0 теоретических моделях-атмосфериых движений. Адиабатическое движение с образованием вихрей.
В этом параграфе мы' рассмотрим некоторые случангдвнжений, представляющих большой интерес для динамической метеоролло»»а(Н, так как этн движения представляют аналогии с атмосферн)ями: движениями и являются стилизацией атмосферных движений, илиу„ммнк» мы будем говорить — м одел я ми атмосферн,ых. д в и ж е н и й. По)строение этих моделей позволяет иногда разрешать некоторые.... принципиальные вопросы, примером чего может служить адиабатическое,движение, рассмотренное Н.
Е. Кочинь»м [Л. 4[. Теорва»а'"Вьеркнеса (см. $4 этой главы) говорит, что в общем случае движения сжимаемой жидкости, под действием консервативных снл, если только жидкость бароклнническая, т. е. давление зависит не только от плотности, но н от температуры, возможно возникновение и разру-'';;.:;:: шение вихрей. Можно поставить вопрос о том, не является ли это обстоятельство, т. е.
отсутствие сохраняемости вихревых линий и интенсивностей вихревых трубок следствием наличия притока энергии, другнйи словами, будет ли иметь место теорема Бьеркнеса при отсутствии притока энергии, т. е. в случае адиабатического движения. Оказывается, что имеет место, т. е. что можно указать пример адиабатического движения, для которого условие сохраняемости вихревых линий не выполняется.
Именно такой пример дает движение, в котором частипы вращаются вокруг оси а в горизонтальных плоскостях, с угловой скоростью Л (а), зависящей от высоты (56) и= — Л(а)у, о=Л(а) х, та=О, Мы видели, что для несжимаемой жидкости такое движение является динамически возможным лишь при Л=сопз1 (см. 5 5 этой главы). Покажем, что в сжимаемой жидкости, при наличии силы тяжести, это движение динамически возможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
