Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если исключить из рассмотрения водяной пар, то состав атмосферы настолько однородный, что его можно считать постоянным до высоты примерно 20 кя. Эта смесь газов постоянного состава (78,1% азота, 20,9% кислорода, 0,94% аргона, 0,0083% водорода и 0,000ба/а гелия) обычно обозначается термином, „сухой воздух". Вначале мы исследуем температуру, давление и плотность сухого воздуха, а затем введем необходимые коррективы на содержащийся в воздухе водяной пзр и наконец на процессы конденсации.
Уравнение состояния для какого нибудь газа илн постоянной по своему составу смеси газов, выражает соотношение, которое связывает ,';=-:.;,:: температуру, давление и плотность единицы массы газа. Из трех величин р, а и Т, характеризующих состояние тела только две будут независимыми переменными. Дйй'-всяйбго::.таба:,'":фу~жйй!Ф)7ц)й( '~фЪ|4ФВФфзЖ:с'й":- ': '$'"е л:.,ж= Для сухого воздуха законы Бойля-Мари'б'тта и Гэ-Люссака 1 дают соотношение ра=р,а, (1-+- — С) где р и а суть давление и удельный об'ем (т, е. об'ем единицы массы газа), а индексы а относятся к начальному состоянию газа (при температуре О' С), г — температура в градусах Цельсия.
Введя абсолютную температуру т=г+'ИЗ, можем написать 7' Ра=раао,— З ра ГсТ, 273 Если а означает удельный об'ем при стандартном давлении ра (напрйивр, ра= 760 мм ртутного столба, нли р,=1000 жбр,), то К. становится дйрактеристической газовой постоянной данного газа или .смеси газов. Так как при стандартном Ри величина к зависит только от ии, которое позакону Авогадро (Атодабго) изменяетсяобратно пропорционально молекулярному весу газа, то Х, М ' где К, есть универсальная газовая постоянная а М молекулярный вес газа или смеси газов. Соотношение Ра=КТ или Р=рЯТ называется уравнением К лапейрона. Приведем значения постоянной д7 для сухого воздуха в различных системах единищ Я = 2,87042.10', Я=287,042, Я= 2,87042, Я = 2870,42.
Р н и в гм, гр„ сдк. р и р в м, и, сдк. РвмдР рвм кг Р в мдр., р в м, и. ф 2. Первое начало термодинамики. Уравнение притона энергии. Рассмотрим некоторый жидкий об'ем и пусть жидкость, заполняющая этот об'ем, находится в движении под действием об'емных снл Р, проекции которых на координатные оси пусть будут Х, У, 2. Назовем элемент массы через йл, поверхность, заключающую об'ем, занимаемый рассматриваемой массой, обозначим через и, а элемент поверхности через сЬ. Мгновенные составляющие скорости элемента йв, как всегда, обозначим через и, и, и. Тогда уравнения движения, в самом общем виде, напишутся, как было показано (Гл.
П, $ 5), таким образом." д 1 7дХ„дХ„дХ, ~ — = Х вЂ” — ".+- —.+-— дт и дм дЯ дз ди 1 7 дУ„ду„ду, 1 — У- — ~ — ".+ —" +.— *) да и~дх дт ди)' ° (1) йш 1 / д2„ д2„ д2 1 — = 2 — — ~ — +.—.+— дг а ~ дк ду дз7' Умножим эти уравнения соответственно иа ийи, Ыт и пайи и сложим. Тогда получим д(й+ И+ив) йт 1 / дХА дХ„ — ~ — (Хи +- Уи+-2ш) йя — — ( — и-+- —" и.+- ...) йл. дт 2 дк ду Проинтегрируем это уравнение по всем элементам йя рассматриваемого жидкого об'ема.
Тогда получим ~И у= ~ ~ ~ (Ха-ь- Уи-+-Ъи)и†д2„д2„д2 - тайкакйл=рдт,гдедтесйь элемент об'ема.Здесь а,= ~ / д + + йя ° / Я .означеат живую. силу (кинетическую энергию) массы лг. -.,'.::Последний интеграл уравнения (2) можно преобразовать таким образом: д(У„и) д(У„и) д(У, и) ) ) д(Л„ш) д(Е„и9 д!Е, В) ~1 + дт дк ( ( дх д,т дз Вх — ~ ~ ~ ~Մ— ~ -~- ӄ— "- +- 2, †.+- ибо (см. $5, гл.
Ц) Х„= У„, Х.= У, У, *2„. Преобразовав далее первый интеграл последнего выражения по формуле Гаусса, получим: = ~ Д(Х„соз (И, Л) +-Х„соз (Ф, У).+- Х, соз (Ю, Я)) и-+- +- ~ У„соз (Ф, Х) .+- У„соз (Ф, У)-+- У, соз (Ф, Х) ~ з-+. -«-~У„сов (Ф,Х)-~-У„сов (Ф, У)-+.У, сов (Ф, У)~и ~дз — / / „~ Йй, где через Я для сокращения обозначено выражение: а нормаль Ф направлена внаружу жидкого об'ема. Легко понять, что выражения — ~Х,сов ()У,Х)-+-Х, сов(И, У)'+ Х, сов (Ф,2фЬ, — (-У„соз ()У, Л') + У„соз ()У, У) +- У, соз (Ж,.Е)10~ — ~У„сов (Ф, Х)+-Я„соз (Ф, У)-+-2, сов (Ж, 2)~сЬ ~г ',! „~ ~ ~ ~~~„ соз (Ж, Х).+.Х„ соз (Ж, У)-+-Х, соз (Ф, 2)~ и -Ь"...1Но дает' выражение работы всех поверхностных сил, действующих извне на поверхность а, заключающую жидкий об'ем.
В -эти поверхностные силы входит давление и сила' трения, которые внутри жидкого об'ема нейтрализируются по закону равенства действия и противодействия. Если обозначить проекции всех поверхностных сил', действующих на поверхность а буквами К, Я; 3 то уравнение (2) перепишется так: — = ~ ~ ~ (Хи<- Уэ-+-Хш) йт-ь- ~ ~ (Ми-ь- фи-г- яш) до-+- О ~„Чаю,-.-'...,.........
(3) Два первые интеграла, стоящие в правой части уравнения (3), представляют работу массовых и поверхностных сил, действующих на жидкий об'ем т. Если помножить обе части уравнения (3) на элемент времени й', то получим уравнение для изменения кинетической энергии Х за бесконечно малый промежуток времени и-д.2 -( ~„Ч вЂ” 'ь)дг,. . (4) где й5 означает работу, совершаемую всеми силами, действующими на жидкий об'ем т за элемент времени й.
Все уравнения сохраняют свое значение, как бы мал или как бы велик не был рассматриваемый об'ем тг Таким образом последнее уравнение может быть яаписано и для жидкого бесконечно малого элемента йи. Тогда оно имеет такой внд: ° (б) Все изложенное до сих пор представляет простое следствие уравнений движения. Заметим, что для уравнений Навье-Стокса составляющие Х„, Х„, Х,... и т. д.' имеют внд: Х,=р-ю-Х — 2р.— —, Х'= У„= — Н~--"--+ — ), У вЂ”,р.+ Х — 2р.—— ди г.
' ду э л,=р+.ь8 — 2в —— дш (дз при чем ди Ьи дш 8 = — -ь. — -+- —- дх дт дз и по Стоксу 2 а (см. $6, гл. П). Обратимся теперь к первому началу термодинамики, которое в са:: мом общем виде можвт быть выражено таким образом." ф представляют компоненты поверхностных сил, действующих на элемент поверхности сЬ, а -Д ' Полбжим', 'как обычно, что эта полная энергия состоит из кинетической энергии Я: н внутренней энергии 1, кото ая нчт иное как кинетическая энергия молекулярных движений.': )Г' -::, " фдцтп~:"Сбвтйщфщ,::~рйуй(4' 'т~: *ф',-ффцц~трл.
у((:.;:. ".. Для элемента массЫ ЖМ''можно"кганйсаТь выражение вйутреннейл 'Энбргии в виде Т=~(р, У)йп. В элемент времени яг внутренняя энергия элемента йп изменяется на величину ипр, у). ь. Для идеального газа, как показывается в термодинамике, внутренняя энергия элемента йп имеет выражение йп Ес„Т, где с„есть теплоемкость при постоянном об'еме, а Š— механический эквивалент тепла. Сопоставляя это с предыдущим выражением, получим У(р, У)=-Ес„7; Первое начало термодинамики в применении к элементу атмосферного воздуха йп можно написать таким образом .
. (6) (И +.М =ИВ+.ЕЩйп, где яЬ означает работу совершенную массовыми я поверхностными силами над элементом йп, а ЕИДйп — приведенное в элемент времени количество тепла. Вычтем из уравнения (6) уравнение (5). Тогда получим гй ЕйОйп — — йп ~й; разделив на элемент массы йп и элемент времени пГ,:получим выражение для изменения внутренней энергии единицы массы в единицу времени: Выразим функцию Я через составляющие скорости т. е.
подставим в уравнение (я] иа место Х, Х„н т. д. их значения. Тогда получим ' ~дх ду 'дх) где под Р разумеются члены, зависящие от трения. Согласно:уравнению неразрывности сжимаемой жидкости гЬ /ди ди диЛ вЂ” р ~ — -3- †.+- — ~. лг ~дл ду дг/ — =КТ, — — йр - — йр=к«Т, р р га г йт — = йт . айр — йтййТ, .
р«г то и уравнение (10) принимает внд «Т = ЕИО«т -ь- айрйт — К«Т«т -ь- аР«тйй Разделив на элемент массы йт и элемент времени «Г и обозначив через 1=ЕС„Т внутреннюю энергию, отнесенную к единице массы, получим — = Š— -+- а — — й — -ь- а Р «1 «9 Ф> «Т «г «г «г «г или Š— -1- аР -а- -1- ~К вЂ” — а — ~ ~Ж «1 г «Т ~Ф~. «г Ж (, йг «г,)' приняв далее во внимание дифференциальное соотношение, получаемое из уравнения Клапейрона йр=Е(р«Т-+- Тйр), можем переписать предыдушне уравнение в виде Š— -1- аР=ЕС вЂ” +. р —.
«о «т «а йг т йг «г Помножая иа термический коэффициент иметь: работы А= —, будем 1 — +.АаР= с„— -1- Ар —. «() «Т «а «г «г йг Если обозначить количество тепла, притекающее в единицу времени к единице об ема череа а, то — =аз и Ф й() «г а[ач-А Р1=с„— -+.Ар— «Т «а «йг «г ......... (12) В применении к идеальному газу первое начало может быть записано таким уравнением: Щ = г„йТ-+- Ар«а Е~Ц =ЕС«Т-1- рйа. илн Это уравнение выражает, очевидно, такой процесс.
К единице мабсы. газа приводится малое количество тепла ФР. Это тепло отчасти идет на повышение температуры единицы массы, т. е. на увеличение внутренней энергии ее молекул, отчасти на работу расширения газа, причем работа авгий:-'травы нли в потенциальную энергию поднятия морских волн н ,::-,'в"яниетнческую энергию днйлгения поверхностного слоя воды в океане и прочих водных=':.бассейнах. Остановимся теперь на уравнении (10) и преобразуем его с помощью уравнения Клапейрона.
Так как — Т5 ..Дая. атмосферного воздуха с, = 0,2375, с„ 0,1690, а = 1,41 х — 1 Если обозначить — „=Х (для атмосферного воздуха й='0,2864), то третье уравнение получит внд Оно носит названне уравнения П у а с с о н а 1Р о 1з з о п1. Заметам еще, что известные нз термодинамики соотношения с, — с„= Ад' дают возможность выразить с, н с„через трн постоянные А, К и ю Именно: АФс АД с= —, с= —. Р х — 1' ~ к — 1' Укажем еще приближенное значеняе интеграла, выражающего механическую работу расширения, произведенную при адиабатическом процессе. Из уравнения 115) имеем рйа = — ЕСаТ.
Интегрируя, получим з Р~Ь=Ес (Т,— Тз) = Ес Т, ~1 — (Р') ~, где индексы 1 и 2, относятся к начальному и конечному состояниям прн аднабатнческом процессе. Зная начальную температуру и давление массы воздуха в начале н в конце процесса, можем вычислить произведенную механическую работу. Удобно воспользоваться разложением правой части в рядн откуда Позтому для механической работы расширения единицы массы гада,.„,. прн аднабатическом процессе получаем следующее выражение: /' ~ 1 уруп — ю+1(ю — и)' й 4. Полнтропическне нзменення состояния. Для данной массы газа может существовать безчнсленное множество путей перехода нз одного состояния в другое.
Каждый такой путь может"-"быть охарактеризован уравнением, связывающим переменные параметры р, а и Т. Так как уравнение состояния газа дает другое такое соотношение, то один из параметрон, очевидно, изменяется произвольно, а два другие являются зависимими и изменяются определенным образом при данном пути перехода. Простейшие уравнения изменения состояния суть следующие: 1) р= сопз1 — изобары, 2) Т сопз1 — изотермы, 3) а =сопз1 — изостеры, 4) ~(') ~-сопз1 — адиабаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
