Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 16
Текст из файла (страница 16)
"Я озиаяает ято ниже 500 л следует уменьшить в 10 раз. В табл. 3 даны производные от натуральных логарифмов некоторых элементов, ибо часто бывает удобно логарнфмировать ту или иную формулу прежде чем дифференцировать. Таблица 3 Продолжение табл. 3 Что же касается до кинематическнх элементов, то большое значение имеют'дивергенция скорости 8= — -+- — - -+.— и вихрь. В табл.
4 ди до аж ах ау ал даны 9, горизонтальные и вертикальные составляющие вихря, а такжФ и нх производные. По поводу составления 6 следует сказать, что здесь --. мы имеем дело с суммой слагаемых,"порядок коих один и тот же: 10 ~ — 10 ~ (см. табл. 1). Отсюда еще вовсе не следует что и 9 имеет тот же порядок, мы можем лишь считать, что порядок 8 не превышает этой величины, но он может оказаться и значительно меньшим. В качестве контроля можно привлечь к рассмотрению уравнение неразрывностщ, Беря из таблицы 3 порядок — (10 — 10,) можно приписать его а7ли — а дг 8. Аналогичным образом, .
вычисляя вертикальную составляющую вихря аи аи Я, имеем — — —, т.е. 12 есть сумма двух членов одного и того же порядка а| ах ау ' ' ' а (10 — 10' ). Только непосредственный анализ карт может дать истинный порядок Я,. Таблица 4 В заключение этого параграфа приведем. таблицу некоторых постоянных: ю„ю, (проекции угловой скорости вращения земли), )ь(коэффициента вязкости), л' «(ускорения силы тяжести), — — н )Р.
дд дд. Таблица 5 Следует особенно подчеркнуть большое число для величиныр, стоящей в нашей таблице. Измерения над коэффициентом вязкости воздуха, поставленные в лабораторной обстановке приводят к значительно меньшим цифрам и дают примерно 10 7 ла т гла с с. Величина р в таблице б представляет так называемую „виртуальную" вязкость и получается косвенным путем из осредненных наблюдений над свободнойатмосферой. Подробнее об этом будет сказано в главе УП1.
$10. Порядок величин метеорологических элементов (продолжение). В этом параграфе мы соберем вместе правила пользования понятием порядка и на примерах покажем, как эти правила прилагаются к дифференциальным уравнениям движущейся атмосферы (см. 5). Для простоты пред- ') Между 20'. Ф н 20' 5 и, меньше.
') Севернее 70' Ф и южнее 70' Я и, меньше. а) Между 20ь ат' м 20 5, а также севернее 70' Ф и южнее 70' Я =. меньше. дд' ди А1 .+-Аг — — В 1. Если в уравнении встречаются члены различных порядков и если имеется член, порядок коего в 100 (или более) раз меньше наибольшего, встречающегося в уравнении порядка, то этим членом можно пренебречь." Например, если А, н А, имеют порядок от 10' до 10"~', а В от 10" ', до 10" ', то приближенно можно написать А, .+. Аг — — О. 2. Члены, коими мы пренебрегаем, никак нельзя полагать равными нулю: нужно помнить, что отброшены они лишь при суммировании, по сравнению с другими.
Так в предыдущем случае ВфО. 3. В уравнении должно быть не меньше двух членов более высокого чем остальные порядков. Так, если окажется, например, что только А, имеет порядок от 10" до 10"+', а А, и В заключаются между 10" г и 10" ', уравнение приведет нас к противоречию. Правило это полезно при контроле вычислений. 4. При умножении двух членов порядка 10 — 10 +' и 10" — 10'+' мы получим непосредственно по~ядоя произведения в виде 10 +" — 10 +"+' (мы пишем 10 +"+~, а не 10 "+', ибо возможны члены вида 5.10 +' и 5.10"+', а их произведение будет 25.10 +"+', т. е. 10"+" +г). Этот интервал обычно удается сузить, считая, что порядок произведения 10 +"+' — 10 + "+г. Однако, все же для большей точности следует обратиться непосредственно к эмпирическим данным и рассчитать из инх величину произведения. 5.
Если некая величина В является суммой двух илибольшего числа членов, имеющих один и тот же порядок 10" — 10"~', мы можем сделать, вообще говоря, лишь одно заключение: порядок В не превышает 10" — 10'+'. б. Если отдельные члены меняются -независимо друг от друга и имеют один и тот же порядок, то и сумма их будет того же порядка; если же между отдельными членами существует зависимость, †поряд их суммы может быть значительно меньшим.
На практике бывает весьма трудно сказать, могут ли те или иные члены меняться независимо от других. У. Уравнение, получаемое путем отбрасываниячленовмалого порядка, нельзя ни дкфференцировать, ни интегрировать. Нужно принимать в расчет всегда полные, точные уравнения и продифференцировав.или проинтегрировав их, затем уже упрощать полученные уравнения отбрасыванием членов малого порядка, если таковые члены останутся. Правила эти применим к некоторым примерам. Рассмотрим сперва общие уравнения движения атмосферы, кои напишем в виде (см.
$ 6) — = — а — -+- Ы„-~- а Д а'о дл Иг ду ди дл дг — дг х х — = — а —.+.И .+-а)г дш дл дг — = — 3' — а —.+- д, -+- а К,, дг д,= — 2ие„ вЂ” — -ю-и~7 а в дз 3 ду э д. = 2рх„, И =2ав, — 2гдв„, в да а.= —,,--„- '~7 и, г и дз 3 дг ' и†цФФ)зим, что мы имеем .дело с уравнением, содержащим лишь три члена -;=(совершенно очевидно, что произвольный случай можно постепенно свести к.этому). Запишем его так: чй .: Посмотрим, каков порядок членов, стоящих здесь в правой части.' Нэ основании табл. 1 и б предыдущего параграфа 'имеем 4, = 10 4 (10' — 10') + 10 (10 ' — 10 ') = (10 — 10~) + (10~ — 10 ~), ~К = 10 (10' — 10') ° 10~ — 10, й, = 10 (10' — 1У) = 10 — 10 Таким образом 0 (а.)=10~ — 10, ОЦ,) = 10~ — 10 ', 0(4)= 10 — 10~.
Перейдем к членам, содержащим коэффициент вязкости а. Имеем на основании таблиц 5, 4 и 1: О (Ю О(1Ч=(10 — 10 ) (10 ' — 10 )+(10 — 10 ) ((10 ' — 10 +(10 "— 10 ') (10 ' — 10 Я) =(10-" — 10-") (10-ж — 10 — ") -1-(10 — 10 и)+(10 — 10 )=(10 ~ — 10 б)„ О (а) = (10-' — 10 ) (10-' — 10-') (10-'-10-') ((10-" — 10- ) -(10 зо — 10 э) г-(1д' а 10 т)]=(10 и — 10 1а)+(1(1 ж — 10 и)-+ -«-(10 ~ — 10 и)-1-(10 ж — 10 ) 1О ж — 10 Таким образом приближенно аК„аэ,—,=(10 ' — 1О ); аР„с~ив,— =(10 — 10 ), аА',сл дйи -з.
Ра -а — з с ъ а1 — -+- — — = (10 — 10 ). ди/ едВ 7 га да' 3 да Отсюда, между прочим, замечаем, что с большой точностью можно считать силы внутреннего трения лежащими в горнзонтальнойплоскости. Для контроля оценки выпишем еще оценку ускорений и градиента давления, Из табл. 1 и 2 имеем О©)=(10-'-10 ); О~; — ",)-(10 — 10 ), О( —;„)=(10 — 10-') О~а, ~)= (10 — 10 ), 0(а д" ),'=(10~ — 10 а); 0 (а Д)= = 101,, ' О (й) = 10' Вводя все эти члены в уравнения гндромеханики и пренебрегая членами малых порядков, приходим,к, следующей упрощенной системе дифференциальных уравнений ди ди ди — = — а — -1-' 2 а, в -+- а ив дГ дл * дФ' = — а — — 2 а, и+аэ —.
-)= дл О'ь д ду "' дат дл О=й-»- а — ~~. При этом первые два из этих уравнений выполняются с точностью до 1 1 †, а последнее с точностью до, . Получив этн уравнения, следует, прежде чем мы захотим их интегрировать, вспомнить высказанное нами в начале этого параграфа правило седьмое: уравнения нельзя дифференцировать. Действительно желая, например, исключить давление из нашей '". -«ййтемы уравнений, мы не имеем права, вообще говоря, взять перекре«т,"::,:,ные производные, а должны обратиться к общим, неупрощенным уравнениям. В качестве 2-го примера рассмотрим, можно ли упростить выражение 'для индивидуальных производных от и,, и,, р, а и Т по времени.
' Посмотрим отдельно, что получится для свободной атмосферы илн в горных областях и близ поверхности земли. В свободной атмосфере или горных областях: ди, ди, ди, ди, ди, — ' = — ' -+. и — ' +- о — ' -~- ги — '. дГ дт дх ду да Таблица 1 дает нам для всех этих трех членов один и тот порядок— 10 — 1(Г«, следовательно, сумма должна быть оставлена в том виде, ди, ди, в каком она нам дана, то же можно сказать и про — '= — *+. ди дГ диа диа дие -« -« «а да да да да д7' -г-и — -ь-и — -ю-и,=(10 — 10 ) — = — -+ и — -«-и — -ю-и,— — = дх ду 'дт дт дх ду а дг' «'Г дТ дТ дТ дТ ди = — -+. и — + о — -+-о, — только — можно несколько упростить ибо дГ дх ду *дхэ ФГ 1 — — — +-и †-и- и†-«-и, — = (10 †)-+.(10 — 10 и).+ (10 — 10 ').+- -+-(10 — 10 ) и для — можно оставить — = — +.оа1 —.
-« -з др 4р др др дг дг=дг ди, Близ поверхности земли (ровная местность) можно написать — '= дг до, ди, ди, ди, Иш, ди, дт дх ду = — ' + и — „' -+-о — ' (членом ги — ' можно пренебречь) — *= — *-иди «т дГ ди дик диа да да да да, да И7' дТ дТ -+- и — * -г- о — -+- ги — *, — = — -+. и — -+- и — -~- ги — — = — ~-и — -+. дх ду ди ' ат дГ дх ду да дт дт дх -+ о — (член ги — можно отбросить), — =-- -+- и —.+ о — -< и —. дТ дТ др др др др др ду да ' да дГ дх ду ди' Мы видим отсюда, что ни в каком случае нельзя отождествлять индивидуальные и локальные (частные) производные по времени. Считая, что †= †, где/ некий метеорологичсский элемент, мы с тем же правом а ау дГ дР можем положить просто — =О. Метеорологические теории, развивае- дУ мые;на основании предположения — = —, имеют ценности ничуть не ф' дУ дг дг' больше, чем простая теория: „погода не меняется" (5).
5 11. Классификация атмосферных движений. Начиная с того мо- мента, как мы вывели уравнения Навье-Стокса, мы не перестаем считать, что движения атмосферы им подчиняются. Основываясь на эмпирических данных, мы показали в Я 9 и 10, как можно эти уравнения упростить, если речь идет о движениях, происходящих в больших масштабах В динамической метеорологии мы сталкиваемся, однако, с изучением отдельных, конкретных атмосферных движений (циклоны„пассаты и т. п.); каждое из таких движений обладает своими особенностями, а потому, обращаясь к общим уравнениям, следует эти особенности отметить, прежде чем приступать к решению задачи.
Здесь мы встречаемся с тем типом задач, о котором мы говорили в начале $9 (там это было названо пер- вой постановкой вопроса). Мы должны, подходя к изучению отдельного процесса, рассмотреть частную задачу, ввести упрощающие предположе-: ния, оставить лишь те величины, кои имеют значение для данного про-, цесса, отбросить величины, влияние коих в данной задаче мало и кон, не изменив 'существенным образом результатов, вошли бы в рассуждеияял в, качестве математического балласта. Построенные таким образом уравне- нйя могут быть затем упрощены е1це больше, путем отбрасывания членов малого порядка и построения уравнений приближенных (на подобие того . как мы из обших уравнений Навье-Стокса строили приближенные уравнения 5 10).
' В этом параграфе мы хотим, имея в виду упомянутую конкретизацию отдельных задач, дать суммарную классификацию всех встречающихся движений земной атмосферы. При этом мы будем говорить здесь, главным образом, о движениях больших масштабов. Естественно, что классификация, о которой здесь идет речь, должна базироваться на эмпирическом материале. Однако, в то время как данные наблюдений играли лишь вспомогательную роль, когда речь шла об общих уравнениях (упрощали уравнения), теперь эти данные имеют ведущее значение. Более того, в основу всякой конкретной метеорологической задачи должна быть положена некая качественная, построенная из наблю-, дений над атмосферной действительностью; модель и эту модель падле- ~ жит облечь в математическую форму, чтоб затем возможно было применить те или иные упрощенные уравнения механики. Таким образом, первой задачей динамической метеорологии является построение, на основании эмпирического материала, классификации атмосферных движений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
