Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Чтоб на этот вопрос ответить~ докажем сперва две теоремы. Покажем во-первых, что в силу наших уравнений напряжения для двух" взаимно противоположных направлений / и — / будут равны по величине и противоположны по направлению, т. е. что Р, = — Р,.
Для этого выберем в качестве об'ема Т (каковой может быть взят в атмосфере произвольно) некий шар Т с центром в точке А, и проведем через А произвольный луч / и диаметральную плоскость Е, перпендикулярную этому лучу. Два полушара, лежащие по положительному и отрицательному направлению /, обозначим через 7" и 7 соответственно, а их поверхности — через У и К. Тогда очевидно должны иметь /( — «««') «« / Р,«.= / ( — "«/« ~) «« / ~ / /=«, Ф « « , где Ь' поверхность всего шара, а л нормаль к де. С другой стороны, беря Ф за Тоб'емы Т и 7 отдельно, получимдва соотношения: (г — ф«~~/ «„«~ / «,« у ( «* — «") р«' / « .«.
/ « ,«. - о. Э я 46 Скаадывая два последних соотношения, придем, принимая во внимание парное соотношение, к равенству (Р, -Р,) Ь=О. Так как этР соотношение справедливо в случае шара любого радиуса, т. е. для круга Е любого диаметра, окружающего точку А, то будем иметь Р,-(-Р, =О или Р, л — Р, т). Во вторых покажем, как можно, зная напряжения„ действующие на три каких-либо взаимно перпендикулярных площадки, проходящих через точку А (например, зная Р„, Р„, Р,), найти напряжение Р, действующее на произвольную площадку (с нормалью 1), проходящую через А.
Для этого в качестве об'ема Т возьмем некий тетраедр с ребрами, расположен- Х ными вдоль осей Х, Г,Е, и с вершиной в начале координат. Грани рнс. г. этого тетраедра, лежащие в плоскостях координат нааовем Е,, Е„, четвертую грань -Е, (нормаль 'к ней будет,(). Тогда должны Е,, а иметь гделТ, об'ем всего тетраедра, а последний интеграл мы берем со знаком минус в силу равенства Р, = — Р „предположив сперва, что соз (1, л) > О соз (1, у) ) О, соз (1, «) > О. Обозначая площадь всей грани Ж', через о, замечаем, что о О (йз) (т. е.
о есть величина порядка йз), где Ь вЂ” васстоянне от начала до плоскости Е,; можем очевидно написать е(т — Ще Ооч, ~тфио=т ~ма. ) Оач Рта(«с(«= Р,о соз (1, у)-т-О (йа), Р,д«л(«Р,о сов (1, д)-ф-О (йа) Рфо=Рро-т-О (Ф), 1 9 Действнтеаьно, пусть, напротпв,в точкеА оказалосьмапрнмер, что (Р~+Р ~)я)0; еслн Р~ непрерывна, то можно найти такую небольшую область, окружающую А, в коей (Р~+ Р <)ч) 0 будет еще положнтельно. Но тогда, постронвшн наш шар настолько малого раднуса, чтоб Е не вышло за пределы упомянутой области, будем необходимо иметь ) (Р,+ Р ~)л Ф~ О, что протнворечнт доказанному. ь, 1 ом Роу> Ро*> Ро~ ':: аиачения соответствующих векторов в начале координат. Вставляя зти :;-:выражения в написанное выше равенство и переходя к пределу, полагая !у ',О, мы придем к следующему соотношению: Р соз (!, х).+-Р соз (1, у)-+-Р, сов (1, «) — Р„=О или, если отбросить значки (начало координат может быть помещено где угодно): Р,=Р„соз (С, х)-у-Р соз (С,у).+-Р, соз (1, «).
' (13) Это соотношение и позволяет, зная Р„, Р„, Р„найти Р, при любом !. Мы можем теперь ответить на вопрос о том, возможно ли бесконечное число систем наших уравнений заменить одной системой. Действительно, мы можем теперь преобразовать Р о(о= [Р соз (л, х) о-Р соз (л, у)-о-Р соз (л, «)] о(о прн помощи формулы Грина (Оуееп) к виду Г! д!У дну Р о[о ~~ — д ~ — -о- — У.+.— / агу, ~7 ~ дх ду д« / а вместо [Р„, г] Ио написать ! Р г ] с о 3 ( ! ~ х ) ~ ] Р у г ] с о $ ( ! «) ~ [ Р г ] с о 3 ( ! й ) 1 Ф = — /'[Ыу,+ Аг~„йр). О ~ — !'[[ Р.
а] [ ~„а '+ ( 1*' д«)( '!о Вставляя эти выражения в уравнения, дающие закон количества двяжения и закон моментов, будем иметь ! [, [у — '«) — [ —,') ] а=о ,!'[[[ — — ) -[ — - - — ")] ] -,!'И' — ]- -1' — "1-1' — "11 "=' Так как об'ем 7" взят нами произвольным и если считать под'интегральные, выражения непрерывными функциями координат, то, как легко убедйтьси„приемом, приведенным выше в доказательстве равенства Р, = — Р подуйитегральные выражения должны обращаться в нуль. первое векторное соотношение дает нам, таким образом, единственное уже векторное ' условие',''кое должно выполняться в любой момент времени и для всех точек живости; --)= ' ИЧ1 дРх д! у два Р— — — ~ р = " .+.
— ".+- — *. о!! дх ду д« (14) ' — 42— Это последнее векторное равенство и представляет уравнения дви.- жения сплошной среды. В скалярной форме оно даст: -) = ,ув~ дХи дХ аХу / аа1 аук дуу дуу Х вЂ” — -1 р= — *-у- — -у- — * ( У вЂ” — ) р= —" +- —" + — ' (1б) уу)) ах ау дх ' ~ Ид = дх..
дэ ах ак. ая„я, ( Гу /р= ах ау д Обратимся теперь к выражению, получившемуся из теоремы моментов. Если „уравнения движения выполнены, то 1-й интеграл будет там сам собой обращаться в нуль и нам останется записать лишь, что под'интедг аг гральная функция 2-го интеграла есть нуль. Так как вектора дх, дг — — имеют, очевидно компоненты (1,0,0), (0,1,0), (О,ОД соответственно, мы придем к следующим трем скалярным условиям: ( Р ф р=ЧР.
(17) В покоящейся земной атмосфере ~У= — =0 ) свойство нормальности ггу напряжения выполняется вполне точно. При наличии движения приходится, к сожалению, вообще говоря, иметь дело с напряжениями, действующими различно на различно постайленные, хотя и находящиеся в одной и той же точке среды, площадки. Представляется целесообразным отделить в выражениях Х„..., Я, члены, исчезающие вместе со скоростью, и написать Х„=Р -Х„, 1у=Р 1 Х,=Р-+-г',. Выражение Р, стоящее слагаемым во всех этих трех компонентах напря-, жения,.носнт название давления. Нам надо теперь постараться выразить Х„, У'„, Я'„ Ху (= У„), Я„ ( Х,), У, (=Ху) непосредственно через компоненты скоростей.
Таким образом из девяти величин, характеризующих напряжение вданной 'точке (Х„, Ху Х У Уу У Я ху х,) только шесть независимы. Предположим теперь, что среда наша обладает тем свойством, что какую бы площадку в точке А этой среды мы ни выбирали, всегда напряжение, действующее на площадку эту, будет перпендикулярно к площадке. Легко видеть, что в такой среде Х„У„=2',, а Ху=Х, * У,=О.
Действительно, рассматривая, например, площадку, перпендикулярную осн Х, должны заключить, что липуь Х„=ДО;: а У„=2'„=0 (ибо напряжение, действующее,на эту площадку, будет иметь, по определению, компоненты Х„, У„,:ф а оно напррвлено теперь в точности перпендикулярно к площадке, т. е. вдоль оси Х). Аналогичным образом найдем, что и Ху=О. Но теперь (по (13)) Х,=Х„сов (А х), У,= У сов (1, у), г., =Х, сов (у, х), где Г нормаль к площадке, а так как Р, направлено, по предподожению, по нормали, то Х, =(Р~ сов(1, х), У,=~Р~ сов (г, у), 2,= =)Р,! сов (А х), таким образом Х„= У„=Х,=~Р,~.
Обозначим величину напряжения, действующего в данной точке такой среды черезР(х, у, х,у). Мы имеем теперь уравнения 2 гди ди дв~ ди Л",= — р ~ + — -+- — ) — 2р — У' ... 2' =. 3 ~дх ду дх) дх' lди ди~ Хг= У»= — Н 1 —.+ — 1' Х =Е =... ' У,=Юг=. ду дх ' (19) где н „коэффициент вязкости . Выражения эти нам надлежит вставить в правые части уравнений (15) и дифференцировать по координатам. Можно ли при этом сеитать и постоянными Если предположить даже„ что среда наша однородна в смысле вязкости, то все же, с точки зрения физических представлений о вязкости, э следует считать функцией от температуры.
Так как последняя в атмосфере подвергается изменениям, естественно считать, что и р есть величина переменная. В этом параграфе мы, однако, оставаясь в духе классической механики вязкой жидкости, предположим, что изменения этн настолько ничтожны, чтор можно совершенно строго считать постоянной величиной. Мы вернемся еще к этому вопросу в $8. Вставляя выражения (19) в (15) и собирая соответствующие величины, мы без труда приведем уравнения движения к виду Таковы уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости †тако .уравнения движения атмосферы.
Положим, что мы отнесли движения . к.системе осей, связанной неизменно с вращающейся землей, расположив осн"Х и У в касательной к поверхности земли плоскости и направив ось л вертикально вверх. Вспоминая, что было сказано в $4 о силе тяжести и силе Кориолиса, можем написать теперь уравнения движения в виде: , ',дд ди Г, 1 д ~ди ди дил1 ' — =резв, — 2сов„— — ~)-+-р~~7эи~- — — ~ -- -+---.+.— д дх= ~ дт~ ~ 3 дх, дх ду диет ~:в:3~2гив„— 2ив, — — ) -+.
у.~~7 и-г- — — ( — +. — -в — )1 (20) ди Г.- Фв~ (" э 1 д ~ди ди ди>Я1 дх ъ . дг,' $ — 2ивг — 2ивх —,— 1-+-~А ~7 ю.+- — — — -$- —.-1- — — Щ. 3 дх ~дх ду дауд -', й 6. Напряжения. Уравнения движения я окончательной форне. В -классической механике вязкой жидкости принимается, что все 9 ком';'"ионентов напряжения являются линейными функциямй от „скоростей ::'деформации" среды. Последние представляют из себя в свою очередь ::, 6 величин, построенных простым образом из различных производных от :," компонентов и, и, и скоростей жидкости по координатам. Доказывается .
прн этом, что только 6 из велкчин Л'в Х„, . . . Я', независимы и что (см. предйдущий параграф) Уу, — Ху, Уд —— Яу, 2ф — — Х,. Тогда из изотропности среды следует, что линейные формулы, выражающие все 9 (вернее 6) величин Х'„,..., Г, через 6 „скоростей деформации", могут содержать всего лишь 2 различных коэффициента. Наконец, для „газов" и эти два коэффициента оказываются связанными линейным соотношением, так что существенным является лишь один единственный коэффициент, которому дают название коэффициента вязкости. В этой книге мы не будем останавливаться на физическом обосновании существования и линейности зависимости Хв..., Я', от скоростей деформации.
Мы однако здесь же выпишем выражения всех наших 9 величин через скорости деформации и коэффициент вязкости, с тем, чтоб написать уравнения движения (15) в обычной форме. Примем, как обычно что ' ~,"::й:::,и." р. Так как температура Т движущейся атмосферы не может счи- ''2)й()весят'величиной и рг)ог1 известнпй, мы, вводя уравнение состояния, хотя ,~."увеличиваем число уравнений движущейся атмосферы до б, но зато ;:,.'и'число неизвестных функций доводим до б. Как выйти из этого нового .вйтруднения? Наиболее естественный путь есть применение 1-го закона термодинамики, связывающего приток энергии извне с изменением, в жидкой часткце, р и Т. Особенно плодотворно это оказывается в тех случаях когда приток энергии извне известен (например, в адиабатических процессах, где он равен нулю). Со значительной трудностью, ';-'3 ' однако, приходится сталкиваться при рассмотрениидвнженияатмосферы, поглощающей излучение и излучающей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
