Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Допустим, что мы некую величину «(например плотность нлн ско- рость) выразили как функцию от х, у, », «:«(х, у, », «). В этом случае, берн частную производную от «по времени — - мы следим за изменением д« нашей функции в данной геометрической точке. Вспомнив однако, что таяне величины как плотность, скорость связаны естественно с жидкими частицами, н желая проследить за изменением, которое претерпевают втн величины относимые к движущейся жидкой точке, мы должны оче- видно вставить в «вместо х, у, », «функции (2).
,«[х(а, Ь, с, «), у(а, Ь, с, «), »(а, Ь, с, «), «[=А(а, Ь, с, «), а дифференцируя теперь «по времени, получим дУ«д«дх, ф' ду д«дс дУ д«д» д««ду д«дс д«д« ' Чтобы отличить эту производную от той, которан получается прн рас- смотрении кзменеяня величины в данной геометрической точке, усло- вцмси-обозначать дУ д» дУ ду дУ дс дУ «(« + + "+ д» д«ду д«дс д«д«д« Замечая еще что--, —, — суть и, ««, к«для коих готовы выражения в функциях от х, у, '», «можем окончательно написать 4Ях,у,»,«) дЯ»,у,»,«), д«ф «дУ д«д«д» ду д» Величинами может быть скаляром (напр. плотностью, нлн ком скорости, илн температурой) но может также быть н векторо скоростью), Выражение наше может быть записано короче в в Ф форме: аг- —— — + У ~у ') (постановка точки между двумя-:векторами есть еу ду * аг ас знак скалярного произведения), причем в случае если У "есть' вектор, выражение У 17У является тоже вектором (это так называемое .градиентное произведение).
Производные вида †, носят название „индивидуальных, прОНЗводных от т по времени. В метеорологии они играют исключительную'роль. Вернемся однако к нашему уравнению неразрывности (6)' н попыа таемся придать ему иную форму- Возьмем для этого ннднвядуалнную производную от его правой н левой части по времени. рр от времени не зависит, следовательно †, О н мы получим Фри — О+ р — =О. з дг аг Но дх дх дх да дЬ д. ду ду ду аа 'аь ас дт дс ди следовательно дх ах дх да дЬ дс ау ду да дЬ дс дти ати да~: ' 'йа дЬ дс ди ди ди да дЬ ас ду ду ду да дЬ а + дк дт дт ~ да дЬ дс дх дх дх да дЬ дс ди ди ди да дЬ дс да ди ак дх атх ди —.—.— .= —..
"-') х=а, У=Ь, а=с, р=ре. от а, Ь, с;. 4 поэтому —. а формулу к моменту та когда есть функция (-- дх Мы применим нашу Прн этом дх — =1— да ду дс дх дх ду ду да ас дЬ дс ' дЬ дс да дс да дЬ .--- 0 О 0 10 1 0 0 + 0 — 0 ди дЬ О О 1 10 0 100 ди.
ди дти = — +" — -+" —. да дЬ дс + 01 О, дта ОО— дс Е1= 010 001 т) Сн. напр. Н. К о ч н н. Векторное нсчнсаенне. эс Мы приходим поэтому к уравнению =О Но за момент га может быть взят произвольный момент времени; обозначив его через г, получим +- ( -1- .+- ) О Р) Такова другая форма уравнения непрерывности (форма Эйлера) в которую' ' ар входят лишь проекции скоростей н плотность. Раскрывая — н, собирая,'„':,,; др е" члены, можем написать (7) еще иначе: др дри дри дрти — --1- — -+. — -+- — — = О.
дс дх Ь ас (8)' ' — зз— ййетййЕ. чем перейти к рассмотрению сил, действующих в атмосфере, . айт~йввнмся еще на представлении об ускорении жидких частиц. Частицы, дяигаясь по закону (2), обладают скоростями —, -„-, —,, — функциями От а, Ь, с, й Ускорение этих частиц поэтому будет иметь компоненты: дйк . д'у дтя А дг" Ь=дг" 4 -дг Если однако считать что —,— =и=и(х„у, я, г), — = и, —; — =юи т.е. ввести х, у, з, а не а, д, с, то для составления компонентов ускорения придется написать дн ди дх дп ду ди дя аи ди . дш у = — -т- — — -т- — — -1- -- — = —, / = —. / Х дт дл дт ду дт дя дт дт ' у дт ' я дт ' ,"и', "уско)тей))я':жидйяхт4йьгйтц':.ссуть'-'индийяйуйльмяе:йройзводийе 'еМфк о 'тпсй",4~';йб'-''йф(($)итти."т рубой ошибкой было бы ограничиваться, вообще тот'воря, при изучении атмосферных движений лишь первым членом этих дп ди дш формул и считать за компоненты ускорения —, —, —.
К этому вопросу мы вернемся еще в $9. а сейчас перейдем к рассмотрению сил, действующих в атмосфере. ф 4. Силы, Силы, действующие в атмосфере, можно разбить на две Груииы: ф$Ц$~""'бб~~))й(ййй(,,'~';:: ': ':,";~. т .:::~)Щ(рйФИ, "М ЯЙЛЫ::-ттбВФРХНййЧС) ЙтМ,4 '~3ЙФР) ко'ЙНЬ(айФ~".', ",,;~3~"'.Ъб В этом параграфе ''мы рассмотрим лишь об'емные, или как их еще называют массовые (действующие иа элемент массы) силы.
Их принято описывать, вводя так называемые единичные силы (силы, действующие иа единицу массы). Так, обозначая компоненты единичной силы через Х, у, л, получим компоненты соответствующей силы действующей на массу, заключенную в об'еме Ит в виде рХдт, русй, рай, где.р плотность среды. . Важнейшими массовыми силами, действующими в атмосфере, являются сила тяжести и разного рода инерционные силы. Чтоб лучше уяснить себе, как появляются инерционные силы, отметим прежде всего что нам не было бы нужды вовсе нх вводить, если бы ' 'мы всегда относили движение атмосферы к системе осей„абсолютно неподвижных в пространстве. Тот факт, однако, что земная атмосфера увлекается вращающейся землей, в соединении с тем, что и мы сами производим наблюдения с поверхности вращающейся земли, приводит к тому, что в громадном большинстве случаев, при описании атмосферных движений, бывает удобно пользоваться системой координатных осей, неизменно связанных с вращающейся землей.
Напомним теперь две основ'ных теоремы из механики точки. Представим себе две системы координат: неподвижную в пространстве (абсолютную) и движущуюся по отно'.шению к ней заданным образом (относительную). Пусть затем некоторая ттучка М движется в пространстве и назовем скорость ее по отношению к'абсолютной системе через Т.я,, а скорость ее по отношению к системе относительной Ч,, Тогда, в силу известной теоремы механики где т,т„., †т называемая скоростьвлечения,') т. е. скорость точки, находящейся в данный момент в М н принадлежащей фиктивному твер'дому телу, неизменно связанному с нашей относительной системой коор- ') Часто употребляется еже термен,Скорость переносная .
3 где 7, есть скорость начала координат нашей относительной'системы, а Я мгновенная угловая скорость вращения твердого тела, вросшеговэту систему. Из этой теоремы выводят обычно соотношение, связывающее ускорения в движении абсолютном с ускорениями по отношению к системе относительной: 1мь.=1 .+.1 .-«-2[(й, У .) (9) где 1,«„— ускорение точки по отношению к абсолютной системе осей, 1„„— ускорение по осям относительным, 1®,®,.— ускорение по абсолютным о™сям точки, находящейся в данный момент в М, но неизменно связанной с воображаемым твердым телом, вросшем в относительную систему; наконец ь! попрежиему мгновенная угловая скорость, вращения этого последнего тела.
Член 2 [й, !«) носит название ускорения Корйолиса. Эта теорема и приведет нас к необходимости, при описании движения атмосферы по отношению к системе координат относительных(например, вращающихся с землей) рассматривать фиктивные инерционные силы. В самом деле, несколько позднее (см. $5) мы увидим, что силы и ускорения в движении воздушных частиц(точек) по отношению к системе абсолютно неподвижных осей связаны так называемыми уравнениями движения.
Силы Г и ускорения входят в эти последние уравнения совершенно так же, как они входят в уравнения движения точки, именно уравнения эти выглядят (см. стр. 41): Г= 1~е ..+ другие члены. Вставим, однако, в эти уравнения выражение !м,. из (9). Получим Г=1, .-«-1 .«-2[11, У„,„,)-«-другие члены à — 1,, — 2[!), !« „.[=1,.+-другие члены. или Ясно поэтому, что если мы пожелаем отвлечься от абсолютной системы и будем изучать движение по отношению к системе относительной, сего скоростями !« . и ускорениями 1,, то все будет происходить так, как если бы вместо прежних внешних сил Г участвовали силы т. е. прибавлялись фиктивные силы (10) Последние и носят название инерционных сил. Возвращаясь к нашему вопросу о силах, действующих в атмосфере, рассмотрим сперва подробно случай покоящегося по отношению к поверхности земли воздуха.
Рассмотрим систему координат, неизменно связанную с вращающейся землей. По отношению к втой системе (относительной) мы будем иметь в изучаемом случае У„,. =О. Таким образом из инерциокных сил (10) останется только — 1 Нетрудно рассчитать ее величину.
Действительно, движение нашей отно- динат. Заметим еще, что !« . может быть выражено по:мзвестиой тебреме Эйлера так !«, .=7 -«-[й, г[ (г радиус-вектор М в относительной системе). 4птельной системы есть вращение вокруг осн, совпадающей с осью земли, с постоянной угловой скоростью яа Поэтому скорость влечения г' „, будет для точки М равна просто ~У ) го (г расстояние М от оси земли) и направлена по касательной к кругу широт, проведенному через точку М, а ускорение влечения равно по величине ~1 .~=гоз и направлено вдоль проходящего через точку М радиуса этого круга к оси земли. Итак, единственной инерционной силой, действующей на ,покоящуюся атмосферу будет сила — 1 ., равная по величине гоР н направленная по радиусу круга широт, проходящему через рассматриваемую точку покоящейся атмосферы, и притом в направлении от оси земли.
Величина этой силы колеблется между нулем гместа близкие к полюсам) и 3,385. 10 — ' и/секя на „границах' атмосферы (20 — 30 ки над поверхностью земли) в экваториальной плоскости. Отметим еще раз, что мы говорим все время об единичных (действующих на единицу массы) силах. Инерционная сила (о которой, только что шла речь), действующая на элементарный об'ем с(г, будет — р1 Фс где р плотность в этом об'еме. Инерционную силу, действующую на каждую точку покоящейся атмосферы, назовем центробежной силой вращения земли.
Кроме инерционной центробежной силы у на каждую точку покоящейся атмосферы действует со стороны земли Ньютонова сила притяжения. Силу эту обычно не отделяют от описанной только что силы,у, так что, коль скоро речь идет о силах, действующих на точку, связанную неизменно с поверхностью вращающейся земли, принимается всегда в расчет равнодействующая из двух сил — собственной силы притяжения -' земли и центробежной сплыл. Ускорение этой равнодействующей и назы'вается обычно „ускорением силы тяжести". Так как ускорение силы тяжести иМеет порядок 10'.и'сек — ', а ускорение у лишь 10 — ' и'сек — з, то роль этого последнего слагаемого появляющегося благодаря тому, что как земля так и'увлекаемый ею воздух вращается, незначительна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
