Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ускорение силы тяжести направлено в каждой точке по нормали к поверхности уровня (тяготения и центробежной силы вместе), проходящей через эту точку. Сама . поверхность земли есть одна нз таких поверхностей уровня (если бы это бидо не так, то частица, положенная на поверхность земли, начала бы, , под действием тангенциальиой составляющей ускорения, по этой поверх' 'нрсти перемещаться). В грубом приближении поверхности уровня можно ' считать сферами (см. $1), точнее — это зллипсоиды вращения, Поверхность .уровйя, проходящая через точку, лежащую на поверхности земного океана, носит особое название: „геоид". Желая еще больше уточнить представление о форме земли, мы должны обратиться к так называемому сфероиду.
Земля обрлваегся вокруг оси за зйОО сек. звездного времени, что составляет 86164, сек. среднего времеви. 3» "х' — х = йз ~ — агги+хпз, х / пз а = чз —. йги'+ума. дл — постоянная гравитация, х', у', я' координаты точек земли, ппг элемент массы земли, Пт =(»'- «)з+ Ь' — у)'+ +(я' — Ю начало помешано в центре зем. 'ли, а ось я-по оси врашения аемли), выражение для потен- циала силы тюкести: — . Рис. 1 Следуя знаменитым работам С1а1гап1 разложим затем 1 — по степеням — (та=»э+уз+за см.
рис. 1). Получим 1 и г п=о где г'т = »'з+у'т+з'т, а 1Р— шаровые функции '). Если ограничиться теперь тремя ° и 1 функциями Ра, Р. Рз в разложении — —, мы придем к некоему приближенному предста- 1 2 и пленяю лля )г' Ж = О. Поверлность О=сопят и называется обычно земным сфероидом з). Нужно отметить, что сфероид' этот очень мало отличен от эллипсопда вращения. Ускорение силы тяжести есть, очевидно, функция от широты места (вто имело бы место не только для сферонда, но уже н для эллнпсонда) н от расстояния от поверхности земли (последнее было бы справедливо даже для шара). Эмпирическая формула Гель мер та (ук. лнт., 3) достаточно точно представляет изменение ускорения силы тяжести ла на уровне моря в функции от географической широты места рэ) К =9,80616 (1 — 0,0(З644 сов 22-+-0,00007 соз' 2р) лт,' сек.-з (11) хх'+уз'+дя' 1 + 3 (хх'+уу'+ ял)' ) о=С~,= — „, .
Рз-— -2+ —,,з,„ з) Выражение для (7 имеет вид (7= г + — -ФС вЂ” 'АП1 мп Ф)+ — с ззф чзМ чз пзгт 2га . 2 где М вЂ” "масса земли А и С вЂ” постоянные (моменты иперцви земли), а Ф вЂ” геоцентрическая широта места (т. е. широта' в сферической системе координат с началом в центре земли, отмеренная от экваториальной плоскости). При этом предполагается, что земля есть, приближенно, тело вращении.
з) Мы пользуемся здесь уже не геоцеитрнческой ф, а географической широтой ч места. Последняя измеряется углом, образуемым с осью вращения земли, плоскостью, васающейся в той точке, где измеряется широта, поверкности зеплп ( горизонтальной плоанног цевтрическая же широта ф есть простосфернческая координата ме1юше, нежели и.
скостью д о места) гео точки н оказывается всегда ..;а)тоб получить представление о цостроенпи последнего мы доюкнм написать сперва, недоля из выражений для компонентов ускорении «илы тюкести, в точке Р(х. у, а) . 3!аким образом йа меняется от 9 80616 м~ сек-' на вкваторе, до 9 83216 иг сек-а '.па полюсе. Далее чтоб представить изменение й' с высотой, в пределах ,'земной атмосферы, Гельмерт предлагает следующий линейный закон К = Ко — 0,00000808 з (12) где х выращенная в метрах высота над поверхностью землй, а д',— ускорение сцлы тяжести на поверхности земля. Комбинируя обе эти формулы, мы могли бы беэ труда построить, обратно, поверхности уровня. К некоторым вопросам, связанным с построением поверхностей уровня гравитационной и центробежной силы, мы еще вернемся позже, в главе о статике.
Построив сперва общую формулу (10), мы предполагали затем, что ; = О, т. е. что земная атмосфера неизменно связана с вращающейся землей. Допустим теперь наличие движения частиц воздуха по отношению к поверхности земли. Все движения будем относить к системе осей, неизменно связанных с землей (например, поместим начало в некоторой точке поверхности земли, ось 8 направим вертикально вверх, оси Х и У в горизонтальной плоскости). Предполагая, что единственным движением самой земли является попрежнему вращение вокруг ее оси с постоянной угловой скоростью 9, мы увидим, что на движущуюся частицу воздуха действует теперь новая инерционная сила, так называемая сила Кориолиса, равная удвоенному векторному произведению вектора скорости движения частицы на вектор угловой скорости вращения земли 21Ч,Щ.
По осям координат сила эта (отнесенная к единице массы) имеет компоненты 2м,э — 2ю„в, 2ш„ш — 2ш,и, 2в„и — 2м„э где м„, м„, ю,— проекции угловой скорости вращения земли на оси координат, а и, и, ш, как обычно, проекции на те же оси скорости движения жидкой частицы. Если известен по величине и направлению вектор скорости жидкой частицы, без труда можно построить Кориолисову силу. Для этого следует построить в данной точке вектор скорости и тут же отложить вектор, равный и параллельный угловой скорости вращения земли. Тогда удвоенная площадь параллелограмма построенного на этих векторах, и дает величину Кориолисовой силы, направление же ее совпадает с направлением перпендикуляра к площади упомянутого параллелограмма, причем для наблюдателя, стоящего вдоль Кориолисовой силы ногами на площади параллелограмма вектор скорости, путем вращения по часовой стрелке (в случае леворучной системы) на угол меньший чем я может быть совмещен с вектором угловой скорости.
Так," например, для точки, движущейся в северном полушарии вдоль меридиана с севера иа юг, Кориолисова сила будет направлена по кругу широт и притом с востока на запад. Кориолисова сила играет исключительную роль в атмосферных явлениях. Ее значение особенно сказывается, когда речь идет о движениях больших масштабов (об этом подробнее см. % 8 этой главы). На протяжении всей книги с ней будет связано большое множество как качественных, так и количественных построений. Мы предполагали, что единственным движением земли является ее вращение около оси. Однако, земля движется еще вокруг солнца и увлекается движением солнца; инерционные силы будут поэтому иметь более сложный вид, однако прибавочные члены будут настолько ничтожны по величине, что их без ущерба для вычислений можно отбросить.
$6, Уравнения движения. Давление. В этом параграфе мы установим дифференциальные уравнения, управляющие движениями атмосферы. Для этого придется прежде всего облечь в математическую форму представление . о внутренних силах, действующих на какую либо площадку, вырезанную в атмосфере. Вообразим некую точку атмосферы А (х, у, х), имеюГцуа:.координаты х, у, з по отношению к системе прямоугольныХ '!;-:::":::.:.".-:::.,: прямолинейных декартовых осей координат. Через точку А проведем .
какую угодно полупрямую 1 и пусть лэ„есть элемеитауцяя, площадка; перпендикулярная к Р с центром в точке А. Чтоб описать действие внутренних сил в сплошной среде, предполагают обычно, что есин внутри сплошной среды выделить мысленно об'ем, ограниченный поверхностью 5, в состав которой входит указанная выше площадка, проходящая через точку А, причем полупрямая ! направлена внутрь об'ема, то на.тякую площадку действует сила, направленная не обязательно вдоль |, а составляющая с! угол, вообще говоря, отличный от 0' или 180'.
Вектор этой силы, отнесенный к единице площади, обозначим через Р,; тэн будет, вообще говоря, функцией не только от координат точки А и времени,' но и от направления выбранной нами полупрямой 7, что мы и отметим, снабдив его значком Г. Компоненты этого вектора по осям координат будем называть Х, г, Е,; величина силы, действующей на площадку ~Ь, будет таким образом У' Хэ, +. Уэ, + Лз, сЬь Так, например, под буквами Х„У„, Е„будем разуметь компоненты нашей единичной силы, действующей на площадку, перпендикулярную оси Х„т. е.
на площадку 4ай, через Х, У, Л'„— компоненты силы Р„действующей на элемент Илах, через Х„У„У,— компоненты силы Р, действующей на элемент эха. Сила Р, носит название напряжения. Отметим еще раз, что можно говорить лишь о напряжениях, действующих на площадку' около каждой точки А может быть построено столько „напряжений', сколько проведено через эту точку направлений 4 при этом из данного нами определения Р, пока еще не следует, что два напряжения, отвечающие одно направлению 1, а другое прямо противоположному направлению — 1, как-нибудь между собой связаны.
Обозначая вектор единичной силы, действующей на об'ем, через Р а вектор скорости движения воздуха через У, рассмотрим какой-нибудь конечный об'ем атмосферы Т, ограниченный поверхностью 5, и постараемся записать для него закон сохранения количества движения и закон моментов. Количество движения всего нашего об'ема в момент г будет очевидно вектором Урду, где р — плотность, А в элемент об'ема, интеграл распространен на об'ем Т, а функции р и У зависят от координат и от времени и берутся в выбранный моментА. Кодичество движения в момент Г-~-г' представляется в виде / У'р'Фг', где T, р' и У предста- т вляют вектор скорости, плотность и рассматриваемый об'ем к моменту г-+-Г'.
Приращение количества движения, получающееся за промежуток времени рт г до г-+-Ф', представится поэтому в виде. ч р ж' — чрев. В этих об'емных интегралах совершим замену переменных, переходя от об'емов Т и Т" к нашему начальному об'ему Т,, Так как, в силу сохранения массы — уа'г — уэФ~м (здесь р, и йт~ плокность и элемент об'ема в „начальный момент") получим приращение количества движения в виде 0~' — ~) йФ о где для э' и У' мы сохраним прежние обозначения. Импульс всех действующих на Т сил будет очевидно, за то же время / (/г«« /'«.«)««: " где сЬ злемент поверхности 5, ограничивающей Т, а Р, †напряжен, 'действующее на этот элемент (и †направлен внутренней нормали к поверхности йз). Теорема о приращении количества движения напишется теперь в виде: ~у — «>м= /' (/««« / ««) «« 1 Аналогично этому можем написать закон сохранения моментов в виде /' (( ъ, «) — ( «.
~) ) ««ц /' ) / ) «..1 «« /(«„.) ««) «« где г и г' векторы, компоненты коих суть координаты точек об'ема Т и Т' соответственно. Деля оба наших равенства на /' н переходя к пределу, полагая, что г' стремится к нулю, (мы перейдем затем от Т, вновь к Т, помня что /ьвто рай, и соберем об'емные интегралы, причем заметим, что = ~ — г~ -ь-~~Чф~ ~- —, г~, ибо — =Р) получим очевидно следующие равенства Итак, для каждого об'ема Т, мысленно выделенного нз атмосферы, должны выполняться написанные соотношения. Возникает вопрос, нельзя ли построить вместо этого бесчисленного множества уравнений:такую единственную систему уравнений, которая была бы всей этой системе эквивалентна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
