Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 9
Текст из файла (страница 9)
менее тривиальным, чем выше перечисленные. Целый ряд.:идей совре-. менной синоптической метеорологии связан с представлением отакназываемых фронтах. Под последними разумеются некие области более илн менее резко определенные, лежащие на поверхности земли и отделякпцне две массы воздуха, обладающие различными термическими и динамическими свойствами.
Перемещаясь непрерывно на поверхности земли и следя заизменениями плотности атмосферы, мы обнаружим, что, зообщеговоря, ялотность эта меняется незначительно. Так, порядок величины самой плотности, близ поверхности земли есть 10 ' т(м' (точнее об этом в других параграфах этой главы), ее же изменения на протяжении десяти километров обычно не превышают 10 глlмз. Однако, если в пределах упомянутых десяти километров оказалась расположенной область ~ронта,— изменения плотности могут значительным образом увеличиться и достигнуть 10 и даже 10~.Щм'. Область фронта — узкая полоса. Синоптики опередили математиков и давно уже изображают фронт в виде некоей линии, полученной от пересечения с поверхностью земли воображаемой поверхности, пронизывающей атмосферу. Мы такжебудем области фронта стилизовать в виде линии, и тогда естественно считать, что плотность вдоль этих линий (и вообще вдоль тех поверхностей, следом коих на поверхности земли являются эти линии) претерпевает разрыв.
Мы примем, что з атмосфере встречаются поверхности, при приближении к которым с разных сторон, мы будем получать различные значения плотности. Собирая сказанное, заключаем:;под" плотностью,, р 'сд»ед(ует 'Рэвумйт(э'," НВКтгй(фф);;фУ)(йфЦй„„3ВР~ЩДИЙ6т 'Н ЗРйМЕИИ» ВООфЦЕ:.бЬВОРИ»,ФфффЦМФВНУФ».; Щ~, ноРЬЩЯ(~'-:4Щ~жнйннйить,: РйзРыиы'', на '.НекФтОт»ьи»~нннеР)гнЩн»й~1 Мы будем' считать также, что р имеет"непрерывные',"вообщеговоря, производные по координатам и времени (разрывы этих производных могут существовать лишь'на некоторых поверхностях). й 3.
Переменные Лагранжи н Эйлера. Уравнение неразрывности. Мы описали атмосферу как непрерывную изменяемую среду н определили массу и плотность этой среды. Мы постараемся теперь построить дифференциальные уравнения, управляющие движением частиц этой среды. Посмотрим для этого сперва, как можно описать движение сплошной среды.
Отнесем нашу среду к некоторой системе неподвижных декартовых, прямоугольных, прямолинейных координат х, у, х. Рассмотрим бесконечно малую массу среды, заключенную в некоем об*еме ат; по определению плотности р эта масса будет равна рат. Назовем этот элемент массы жидкой точкой в отличие от точки геометрической, Если среда находится в движении — координаты нашей жидкой точки (координаты центра ат) будут изменяться со временем.
При описании движения спЛошной среды обычно предполагается, что существуют три функции: х=х (а, Ь, с, 1), у=у (а, Ь, с, Г), а х (а, Ь, с, Г) Р) представляющие этн координаты в зависимости от семейства трех параметров (а, ь, с) и от времени (г). При этом параметры имеютодноито же значение для каждой индивидуальной жидкой точки и проще всего за семейство этих параметров принять, например, координаты жидких точек в некоторый „начальный" момент времени г,: а Х (а, Ь, С, С,), Ь =у (а, Ь, С, Г,), С = Х (а, Ь, С, 4>) Если бы каким-нибудь путем мы узнали бы теперь вид функций(ф,' мы смогли бы тотчас же найти траектории движения любой жидкой точки.' В самом деле рассмотрим, например, точку, координаты коей в момент Га суть а=а, Ь=р, с=1 Лля такой точки х=х (а, Я"ь г) у =у (а> ~э т> г), х=х (аэ (~> т.
6з и 'ятн формулы дают координаты нашей точки в любой момент времени (~), :-':.нли,'если угодно, уравнение траектории ее в функциях от параметра й Про функции (2) будем говорить, что они дают закон движения) нашей среды. Их естественно считать . ~ущдщщ(К.:,~уймй®к~ й.;:.а::.'(й::::а) Последнее означает, что если изменить""йа'"'малую" величйф 4+4ч))е меняя времени г, то соответствующие значения х, у, х изменятся мало, т. е.
что жидкие точки, лежащие в „начале" движения рядом, всегда будут оставаться „рядом". Свойство это характеризует,'Фщ рерыпт з;ь;;кйкды;-:;, Применимо ли оно, однако, с т — р я я ййй""'Мй '~""'Боулт ли две соседние частицы воздуха всегда оставаться „рядом"с Мы примем здесь, что зто свойство имеет место, по крайней мере, когда речь идет о движениях больших масштабов. Мы вернемся к атому вопросу в главе о турбулентности. Однако, здесь же отметим, что даже при изучении движения больших масс атмосферы наблюдения, аналогичные тем, о которых говорилось в предыдущем параграфе, приводят к представлению о некоторых поверхностях, отделяющих друг от друга две воздушные массы, из которых каждая движется по своему закону.
Две жидкие точки, расположенные вблизи такой поверя- кости, но по разные стороны от нее (т. е. в разных массах), могут позтому, находясь в некоторый'момент рядом, затем разойтись. :Кы примем таким образом, что три функции (2), представляющие закон движения, суть, вообще говоря, непрерывные функции своих парйметров и могут претерпевать разрывы лишь вдоль некоторых поверхностей ~у Поверхности эти известны в метеорологии под именем поверхностей' 'разрыва Гельмгольца (Не!тпойх) или поверхностей разрыва нулевого порядка.
С точки зрения классической механики мы должны ещесчитать,что функции (2) суть ' ' 'ч; '" .;-' "Щей',,)',,я::.парамепйрФ,'~).;::.:'.ф ..с.;. (жидкая точка не' "мбжет одновременно 'находиться ' в' двух разкйчных местах). Наконец предположим, чтб ур-ия (2) можно разрешить относительно а, Ь, с и что три полученные функции а=а (х, у, х, г), Ь=Ь (х, у, а, С), с=с (х, у, х, Г) (3) однозначно зависят от х, у„х ('" " ': '-' - --арйда) — в каждой геометрической точке может помещат ся" 'ийгь'"бдна"наделенная своимн параметрами а, Ь, с жидкая частица).
Переходя к первым производным от функций х, у, х предположим сперва, что существуют 9 выражений дх дх дх ду ду ду дх дс дс да дЬ дс да дд дс да дЬ дс и что они суть, вообще говоря, непрерывные функции от а, Ь, с. Такое представление не будет отвечать действительности в некоторых случаях атмосферных движений, о коих будет сказано в главе о, так называемой, турбулентности.
Еще более важными являются три производные от х,у,г по времени 1 дх ду дх дг дг дг Они очевидно представляют три компонента по осям координат скорости движения каждой жидкой частицы (это функции от а, Ь, с) в каждый момент времени (г) )(;:;,~аФпй''".,~К„"квййюгтея':-'.:мйтйхйФи~к)йа';: .о)йф~)3~~ю:: к~(й)я: цех~~;-" эти компоненты будут функциями от а,' ь, с, г. Назон'ем" ' ; — = и (а, Ь, с, Г), — =з'(а, Ь, с, С), — = ш (а, Ь, с, 8), (4) Три функции и, и, иг явным образом зависят лишь от а, Ь, с, г, позтому;.,:- чтобы в данной геометрической точке определить скорость в данкь(й .
э где дго элемент об'ема То. Пусть к моменту времени д этот же об'ем„перейдя в другую часть пространства, превратится в Т, имея плотность р. Мы должны написать (масса сохраняется) т Т С другой стороны координаты жидких частиц в момент го суть (а, Ь, с), а в момент à — (х, у, г). Поэтому дто —— йиШс, дт=дхйудг а предполагая, что наша среда движется по закону (2), получим по известной формуле дифференциального исчисления, вводя обозначение дх дх дх дл дЬ дс Ф Ф Ь да да дс дг дг дг дл дЬ дс следующее соотношение: ~~ ~РЙЫго ~ / волго, То Уо или Ро)пто = О. — Зй— момент, следует поступать так: 1) найти которая жидкая точка (точка с какими значениями параметров а, Ь, с) пройдет через даннуЮ,геометрическую точку (х„ у, г) в этот момент г; 2) вставить найденнйе:значения а, Ь, с вместе с заданным г в (4).
Это означает, что надо вставять в (4) и, Ь, с, выраженные по формулам (3) через (х, у, г). Предполагая, что это выполнено, получим и, и, ю в функциях от х, у, г, г непосредственно (мы сохраним прежние обозначения: и, и, ш). Относительно вида функций и, э, и здесь мы не будем делать каких-либо весьма общих предположений, а аналогично тому, что мы предположили относительно р,и х; у, х, будем считать их вообще непрерывными и если и терпящими разрыв, то лишь на неких поверхностях. Мы будем также считать, что у иих существуют первые производные, обладающие теми же свойствамио что и ссамые функции.
Мы перейдем теперь к установлению одного из основных законов движения сплошных сред, в частности атмосферы — такназываемогоувьавнен я не хн ассмотрим некий об'ем, конечный или бесконечно малый, составленный из жидких точек. Отделим его воображаемой поверхностью от всей остальной среды и проследим за его движением втечение некоторого промежутка времени. Из свойств функций (2) следует, что об'ем наш хотя и будет деформироваться и принимать может бытьвесьмэприхотливые формы, все же остается об'емом. Мы прибавим сюдаещеодио свойство, соверп(еинр необходимое с точки зрения классической физики: будем считать, чт))„.масса- заключи(гя((~ и этом,',оьбьеме,:сохвзкйеяя))жФесче-.': Ийй:: 'ЗСЕт4Г дйИЖпййя ф! ГЫ,'"цОЛуЧйжэ 'йТСЮ)(а": яМВНф~ВЩфффЫййффф!,; для''этого рассмотрим ' произвольный 'об'ем Т 'нашей 'среды' "вхмомгент времени го (начальный).
Обозначив плотность в этот момент через ро (а, Ь, с) (а, Ь, с — начальные координаты), найдем массу всего об ема Т, в виде понентом м (напр., екторной, Вспомним теперь, что об'ем 2[« совершенно произволен. Это приводит ::йас;:к необходимости считать, что уравнение рФ'~-:ф~~,'~..':() (6) — ' «. необходимо должно выполняться во всех точках среды н в любой момент времени. Действительно, допустим противное, т. е. что найдется такая точка пространства (а, Ь, с) что в ней например 𫫠— р,)0. Если рй — ро непрерывная функция от координат, то около точки (а, Ь, с) мы сумеем найти малый об'ем, в коем 𫫠— ро будет еще положительно. Но тогда, выбрав за Т««этот самый об'ем, мы получим, что / (рп — р,)д,) 0 т, будет сам положителен (как сумма положительных слагавмых), а это противоречит тому, что интеграл этот равен, прн лю«бом,Тц,'.
нулю, Уравнение (6) есть ууяннеиии-иейрерь«Фуфу~„'р„.' фщйй$,'«[[~ф' Отметим здесь, что по са оду дбйазательства р=р(х, у, », «)= = р[х(а, Ь, с, «),..., «), а р,=р[х(а, Ь, с, «), ..., «,) =р(а, Ь, с, «) (нбо х(а, Ь, с, «,)=а, ...). Уравнение (6) компактное по своей форме, удобно, если известен закон движения. Часто бывает однако так, что известно нли отыскивается лишь распределение скоростей (ветра напр.).
Мы постараемся придать (6) другую форму, так чтоб туда нвно входили лишь проекции скорости н плотность. Предварительно сделаем следующее замечание. Мы уже видели на примере скорости, что величину, связанную с движением среды, можно задавать двумя способами: как функцию от а, Ь, с, «(переменных Лагранжа) нлн как функцию от х, у, », «(пере- менйых Эйлера), причем переход от одного способа к другому осуще- ствляется прн помощи формул (3) нлн (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
