Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Мы обратимся к этому вопросу в соответствующем месте книги, а сейчас вернемся к уравнению состояния. Речь идет об определении трех функций координат и времени: р, р, Т. Вставим, однако, в эти функции вместо х, у, л выражение этих величин в функциях от а, Ь, с н д Мы придем тогда к трем функциям: р=р (а, Ь, с, С), р=р (а, Ь, с, 1), т= т (а, Ь, с, Г). Цель установления уравнения состояния заключается в построении зависимости между р, р, Т и притом такой, которая не содержит явно время, а характеризует определенную среду втечение всего движения.
В общем виде это соотношение, таким образом, следует написать так: (22) г (р, р, т, а, ь, с) =о. Вхождение а, ь, с означает, что мы имеем дело с неоднородной средой, т. е. с такой средой, физические свойства которой меняются от точки к точке. В классической механике сжимаемой жидкости ') предполагается, что уравнение это содержит лишь д и р: У (Р, р)=О. Движения жидкости с таким уравнением состояния носят название баротропных. Их основное свойство, вытекающее нз вида их уравнения состояния, заключается в том, что в них поверхности одинаковогодавления 1Х (изобары) и поверхности равного удельного об"ема (н = — ) „изостеры"— н совпадают.
В противоположность этим случаям говорят о бароклинных движениях, если изобары и изостеры пересекаются. Последнее очевидно имеет место, когда уравнение состояния имеет вид (22). Не желая вводить в рассуждение температуру явно, В. Бьеркнес оставляет все же некий простор для возможных температурных воздействий и рассматривает уравнение состояния в виде: Г' ()т,' Р, а, Ь, с) =О. Отсюда один шаг до жидкости баротропной — стоит только удалить а, Ь, с из уравнении.
Подобные жидкости В. Бьеркнес называет полу',::бароклиннымн или жидкостями с ограниченной баротропией. Частным ;;- случаем, на котором подробно останавливается В. Бьеркнес, является существойание в жидкости слоев, из коих каждый обладает все время сббственной температурой и однороден, т. е..каждый баротропен;только 'Наг'ГраянцЕ, Прн ПЕрЕХОдЕ ИЗ ОДНОГО таКОГО СЛОЯ В друГОЙ, ИЗОбарЫ могут, пересекать изостеры э).
1) научай жидкости несжимаемой получир, если иэ написанного уравнении выпадает и или'а и т. э) йрииимаетсэ обычно. что на границе давление не может терпеть раэрмв (об этом см. гл. 1Х о. раэрывах), следовательно раэрыв происходит эа счет плотности, таким образом одна и та же„ивобарическаэ поверхность совпадает с несколькими иаостерами. Возвращаясь к общему случаю (22) спросим себя, прежде нсего, какой же внд имеет это уравнениеу Для сухого воздуха можнос большой степенью точности считать, что а, Ь, а выпадают из (22), и оноприннмает простую форму: сь д гну; где )г' = 287.04 —.
сек.е ' Это известный закон Клапейрона для идеальных газов. В случае „влажного воздуха" (воздуха, содержащего водяные пары) приходится брать уравнение в более общем виде (22). Мы вернемся к этому в главе 111, посвященной термодинамике атмосферы. Бароклинность атмосферных движений имеет своим результатом одно явление, заставляющее резко отделить движение воздуха от движений жидкостей несжимаемых, или сжимаемых, но баротропных. Мы имеем в виду вопрос о зарождении н об исчезновении существующих в атмосфере вихрей.
Последние представляются, как известно, в виде вектора Я='спг1 У с компонентами ди~ ди ди дш ди ди ду дх' дх дх' дх ду (и, и, ги — компоненты скоростей) и связаны со скоростью при помощи теоремы С т о к с а соотношением: Г д Р Гlды дих г ди дил иИх-+-иду-~- сикх т ) Й вЂ” — — 1 сов (и,х).+-1 — — ---1 соз (л у).+- ~~ ду дх! ' ~ дх дх~ - © — '— ,') соз (л,х)~де.
Здесь интеграл, стоящий слева, берется по произвольному замкнутому контуру 7. в нашей жидкости, а интеграл, написанный справа, взят по произвольной площади Е, ограниченной контуром 1., причем Фа есть г элемент поверхности Е, а нормаль л †направле в ту сторону пространства, откуда ориентировка контура Е кажется направленной по часовой стрелке (в случае леворучной системы координат).
В векторном виде это равенство может быть написано так: Г= /17 ° Фв )1 /Я,де Е й (Фа — бесконечно малый вектор, расположенный вдоль Е, Я вЂ” вихрь, Я, — проекция вихря на нормаль к площади йа) и прочтено (мы используем прн этом известные термины векторного анализа): циркуляция Г скорости У по замкнутому контуру Х. равна потоку вихря Ячерез поверхность Е, ограниченную этим контуром. Ясно, что если вихри в жидкости отсутствуют (Я=, Я,=О), то циркуляция Г по любому замкнутому контуру равняется нулю. Рассмотрим какой-нибудь замкнутый контур Е и будем следить за движением частиц, его составляющих.
Линия А будет всячески деформироваться, но в силу непрерывности законов движения, будет оставаться линией и притом замкнутой. Рассматривая значение Г , для каждого положения й, мы получим, вообще говоря, некоторую функцию от времени: Г(г).
Если контур С будет очень малой длины, т.е. площадка Е будет весьма мала, мы,сможем считать, что Г просто равна ~~а -.;: "'й«'«';,:, — 4У '- ь'. ««п«йй(«яйв«юсти вихревой трубки („линии'), проходящей через Г. т). В самом ,=;:=:,~ф«й,:-.ппд интенсивностью вихревой трубки разумеют обычно проиэведе- : «««Й й«э величины вихря трубки на плошадь нормального сечения трубки. ::;".яьяя:. малой Е можно написать: Г=ая ° Е, :где Š— величина площади нли Г=6«соа(п,ЩЕ, новыражеиие соа(п,«6)Е .,','::,:-".:представляет, очевидно,'как раз площадь нормального уже сечения трубки; отсюда и получается, что циркуляция скорости равна интенсив«юстн соответствующей вихревой трубки.
Если интенсивность вихрей сохраняется постоянной (например равна нулю, т, е. вихри отсутствуют), я«Г то и Г(Г« = сопз«., и, следовательно, производная — будет всегда нулем в этом случае. Попробуем, однако рассчитать, чему равна --,— в общем случае дви- ««Г .
жеиия. Чтобы произвести дифференцирование Г по времени, составим :;:,-','-: сначала производную от скалярного произведения У. 6$; (6$ написано для ясности вместо ба, и представляет бесконечно малый вектор, расположенный вдоль контура т.). Имеем очевидно ««(«« ° Ж) ««'т' Ф8 ' — — — 6$ ч- У о«г о«г ат (Здме«тим, что здесь надо брать индивидуальную производную по вред и ' не —, нбо мы следим за движением частиц). Но м у(г — т) лт ут — — — У' — У =6У ««) «Ф о«т Й '(г и «" суть радиусы-векторы начала и конца дуги 6$ соответственно; У' и:У'†скорости в начале и в конце дуги 6$; 6У вЂ изменен скорости при перемещении вдоль А на дугу 6$); поэтому фЧ.
6а) = — 6а -+. У 6У, о' «г«« и значит — - = ту — - ««э-«- У ««У. ««Г Г «Гт' т .у «г «. У . ««У = — - ««(7 Т); 1 л таким образом — = уз — ° ««а-т- — у ««(У ° 7) ЛГ Г ДЧ тг — / т а/ Второй из стоящих справа интегралов равен нулю как интеграл по за«минутому контуру от полного дифференциала однозначной функции '',~", '. ««Г таким образом оГ ~' с««« (23) '««:.:;,~::::;:т ":е,«:.-'Прпизводная по времени от циркуляции скорости по контуру х'.
'«~:,';::;;:::-'„:. †;:УМФа;.циркуляции ускорения по тому же контуру т.. Мы можем теперь 'р',";::,,':;:.,',всфавмть в нашу формулу выражение'для ускорения, входящее в урав- К':" Ф т) ««нарезая трубка, проходящая через т'., есть поверхность, образоваяиая всевовмому. мь«ми:.виярвамия линиями, проходящммн через точки контура уч вихревые же линии суть ':-.«::;6(й«нн;ректора К т. е. такие линии, направление касательных к коим совпадает с напра:=;.щщщ96)я,айаг«фа М. ИЧ 1 — — =*17 Ц вЂ” — 17 р йг Р где 17 потенциал внешних сил. С другой стороны, применяя теорему Стокса на этот раз к производной от циркуляции по времени, получим1 ( Д спг1 —, спг! 1 т7 0 — — ~7 р )= —,[~7а, 17р] ик ' г 1 а Но а — удельный об'ем; и= — ); следовательно ( 1 — — ~ (т7 и, [„? р) сЬ.
(24) Мы видим, что если бы изостерические и изобарические по' 'хь7г ности совпадали (17 и а ~7 р, т. е. 117 а, [7р1=0),'то было бы — ~'-', ' астности в жидкости несжимаемой„йли баротропной, было бы 'да 1Л ~ а=О и (1„7а, ~7р)=О соответственно, следовательно — =0 и ' нсивность вихрей не могла бы меняться. Напротив, в бароклиииой атмосфеРе †, 4.0; поэтому даже если в некий момент времени вихри отсутиг ствуют н Г=О, то в следующий момент вихри могут появиться, и наоборот, если в.
некий момент вихри существуют, то они могут исчезнуть. Теорема получающая свое выражение в формуле '(~~,':241)ась%':пЭ888)1Й(~ '-'Гйаааке':;М Ы.,Ю~ 6'ьй рк:.й"е"с:;яд Она имеет различные приложения в' метеоро'лг'огйв'(тобразование бризов, циклонов, пассатов и антипассатов ядр;). Мы встретимся в главе Ш с первыми ее приложениями. В главе И1 мы вернемся еще к вопросу об изменении Г, отбрасывая ограничение, поставленное выше — о том, что силы допускают потенциал и привлекая к рассмотрению Кориолисову силу. В этом параграфе мы имрем в виду лишь подчеркнуть разницу между баротропными и бароклинными движениями.
$8. Принцип подобии Гельмгольца. Нам предстоит при помощи системы дифференциальных уравнений — =р 12ив — 2иаэ — — — -7-1-р,~'Д и.+.— — —. 1;7 У~ ьр лил г, 1 а дх иГ7 3 дх — = р ( 2ва — 2им — ' — 1-1- в ~1/а и-+- — — -- 'Д У ~, др г йище г 1 а ду.= 1 к и —,фЯ ~ З -ду — -г~2 — 2 — — ) р[9~ — — ~7 Г) — ру, др / байи 1 Г а ах = .1. ° - иг/ 3 дг — -+- — х -1- — +.
- - -- = 0 др ь(ьи) д(еи) д(ыи) дГ дх ду дх изучить атмосферные движения. Задача интегрирования этой системы представляет большие трудности и доведена до конца лишь в небольшом количестве конкретных случаев при упрощающих предположениях или пения движения (20). Чтоб более выпукло укайнть на.влияние баро-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
