Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 14
Текст из файла (страница 14)
клинности на изменение циркуляции, мы сделаем. два упрощагощихпред-. положения: 1) будем считать, что об'емные силы"допускают потенциал (так что силу Кор пол пса в расчет принимать не будем) и2)жидкость будем считать идеальной (р=О). В таком случае !.;:,'~.;:::ар)(олмажйнно. Однако Гельмгольц показал, ') не интегрируя системы (25), :-':.;;.'~';:;:Можно„применяя так называемый „принцип геометрического подобия", :"Л 'Е)ЕЕйучснть ряд замечательных результатов, освещающих качественно во- ::.:;ЕЕ(7©с о'связи между различными элементами, входящими в самую общую .~"';:::;:,'::::систему (25). Пусть у нас имеются две вязкие сжимаемые жидкости, движения ""..
Которых подчиняются уравнениям (25). Спросим себя: при каких усло- "'.::".,-'вйях эти две жидкости будут совершать движения, геометрически подобныег Обозначим скорости, давление, плотность, координаты, время, :р коэффициент вязкости для одной жидкости через и, и, в,ал, р, х, у, л, г, р, а для другой через О, К Иг, Р, р, Х, г', л, Т, М соответственно. Мы ;".,"';рассмотрим также случай движения под действием иной, чем на земле ":;:„ " силы тяжести (й и О) и при наличии отличной от земной угловой скорости вращения (не и а а). Мы привлечем к рассмотрению также и уравнение состояния, причем вместе с Гельмгольцем возьмем его в виде р+-с=пар где с „внутреннее давление", благодаря присутствию которого даже при р=О получается конечная плотность, а и' постоянная, связанная с изменениями температуры.
Гельмгольц берет уравнение состояния в таком виде, чтобы учесть роль сжимаемости. Чем больше с, тем сжимаемость очевидно меньше, чем меньше с тем ближе наша жидкость кидеальном~ ',: '-:- газу (с=О). Для второй жидкости возьмем, вместо с — С, а вместо а' — А. Мы предполагаем, что уравнения наши справедливы как для малых, так ; и для больших букв. Отсюда мы получаем, что отношения величин, изображаемых большими буквами, к соответственным величинам, изображаемым малыми буквами, каковые отношения мы предполагаем постоян- :.,' ными,— должны быть связаны определенным образом. В самом деле, считая что Х=Ех, У=Еу, У=Ел, У=ли, 'г'=пи, И'=пи, Т=тс, Р=ар, р=гр, М =рр, О = тК, а = 1 в, С = ас, Аа =алз, ;,,'-.где Е, и, т, а, г, д„т„а, а, а постоянные величины, получим из двух первых уравнений (25), что необходимо должно быть л л и из 3-го —, = —, Е, = —,.
-г-=т, л В и 1 а -"" нз уравнения неразрывности г гп м 10 отношений и 7 раз отношения длин Е, ско- , а= ляг, а=па одной плотностью (и та а=ля а=па. В, нз уравнения состояния а= а=аг. Мы имее ваактв; мы можем выразить 7 отношений чере ::, йрстей и и плотностей г. Получим Е па и а=изг„д=/Ел т=— л'' " ' Е' Е а':пРЕйнплагая, что обе наши жидкости обладают н.
другйя —.воздух), т. е. что г=1: Е Ф и 1=' —, а=па л=Еп т= —, 1,= —, =пв — г = > ~) ВЮ'Ф. ~ В~. Аш. д. ш~ л В. тз Б. аь3. ф 50— При помощи этих соотношений .постараемся решить два вопросш о возможности подобных движений: 1) с одинаковыми скоростями, но при различных пространственных соотношениях и 2) с разными скоростями, ио при одинаковых пространственных соотношениях. 1) Здесь надо положить я=1, тогда: т=Е, я=1, и Е, т= е, л= е 1 1 Мы видим, что подобные движения земного воздуха при таких условиях существовать не могут, ибо некоторые нз величин, которые следовало бы считать неизменными (снлы н вязкость), оказываются зависящими от Е (т Е, Л= —, юу=Е).
1 1 Это затруднение мы обошли бы, полагая Е =1, но тогда движения были бы не подобнымн, а просто тождественными. Мы можем однако сделать несколько следующих ценных заключений. Рассматривая движения больших масс воздуха (Е>1), мы должны также и время измерять большими масштабами (т=Е>1), т. е. истинное время играет при движениях больших меньшую роль, чем при движениях маленьких. Второе заключение, значительно более интересное, можно сделать относительно вязкости. Чем больших масштабов движения мы рассматриваем (Е>1), тем больше должно было бы быть и э (д Е>1), чтоб оказывать прежний эффект; следовательно старое к будет играть значительно меньшую роль при движениях больших масштабов.
Отсюда путь к возможности пренебречь э~ когда речь идет о движениях болыцих масс воздуха (Гельмгольц). 1 Ъ Обратное имеет место относительно силы тяжести (~т= — е и силы = ЕУ Кориолиса ~Л= — у. При больших масштабах т и Л должны были бы 1Ъ = Е У. стать меньше, чтоб оказывать прежний эффект. Так как на земле они остаются неизменными, мы можем считать, что движения больших масс происходят как бы под действием увеличенной силы тяжести и силы Кориолиса.
Значение этих сил таким образом возрастает при увеличении масштабов рассматриваемого движения. 2) Рассмотрим теперь движения, при коих Е=1, но п=Д1. Мы получим здесь 1 ч = —, я=па, д=», т=яэ, Л=я,х=пэ, а яа я ' Снова приходится заметить, что подобных движений прн различных скоростях в воздухе быть не может,ибо для большинства величин (силы и т. д.) в воздухе коэфициент. подобия равен 1. Однако и здесь, как и в предыдущем случае, мы можем высказать несколько замечаний. Пусть например я > 1, т.
е. движения совершается быстрее. Тогда н д>1, т.е. внутреннее трение должно было бы возрасти, чтоб движение было подобным, но в воздухе оно постоянно (т. е. д=Ц, следовательно заключаем, что чем быстрее совершается движецие, тем меньшее влияние на него оказывает внутреннее трение. То же можно сказать про давление и силы: их действие будет тем меньше, чем быстрее движется воздух. Важнее, однако заключение, которое можно сделать о сжимаемости.
У нас э=аз >1, т. е. для подобия воздух должен был бы стать менее сжимаемым. Сжимаемость его остается, однако, прежней (а=1). Отсюда заключаем: при медленных движениях воздух более приближается к жидкости несжимаемой, нежели при быстрых Таковы основные качественные заключения, кои можно сделать из рассмотрения уравнений движения атмосферы. — и†!"::,.', "."-,';,".":~:"4,:-'Порядок величин метеорологических элементов. Трудности, с ко"!::.;:.+.
гф~ыми сталкивается всякий желающий заняться интегрированием общих -'-урдвненнй движения атмосферы, заставляют обратиться к упрощающим '-"':;:,::::,:;,.;:::-::,',:;;::::;".,„::;:вредположериям. Каковы бы эти предположения ни были: обоснованы ли Они качестйенными соображениями, аналогичными высказанным в преды':;:-:,';,' ".дущем параграфе, играла ли большую роль при выборе этих предположений чисто математическая сторона вопроса,— во всяком случае мы должны резко разграничивать две постановки задачи. Первая заключается в том, что мы заранее оговариваемся, что решаем некую частную задачу, например мы считаем, что втечение всего движения строго выполняется условие и=О, т. е. мы сознательно совершенно пренебрегаем вязкостью; или же, например, мы заранее уславливаемся изучить чисто вертикальные токи, считая, что строго выполняются втечение всего движения условия и=и=О и т.
д. При этом, если считается, например, , что и=О, то и во всех уравнениях движения полагается и=0; если считается,чтои= и=о, то во всех уравнениях движения и в уравнении неразрывности члены, содержащие и и е, пропадают. Вторая постановка задачи заключается в отыскании решения некоторых приближенных уравнений. Последние строятся, по большей части, из общих уравнений движения и уравнения неразрывности путем отбрасывания тех членов этих уравнений, коими в данной метеорологической задаче можно пренебречь, в виду йх малости по сравнению с другими.
При этом одна и та же величина. например и, входящая в разные уравнения, может быть отброшена, как малая по сравнению с соседними величинами„в одном уравнении, но оставлена, как равноправная в другом. Подобного рода упрощения дифференциальных уравнений движения требуют большой осторожности, причем всякая ошибка тем более усугубляется, что речь идет ие о конечных соотношениях, а о дифференциальных уравнениях, которые после упрощения надо будет еще интегрировать.
Несомненно, поэтому, что прежде чем начать упомянутые упрощения, необходимо составить себе полное представление о значении величин, встречающихся в уравнениях при исследовании атмосферы и о пределах, в которых эти численные значения изменяются. Гессельберг и Фридман (б) построили таблицы изменения величин, встречающихся в динамической метеорологии, а также указали, на отдельных примерах, как можно использовать этн таблицы в целях упро' щения дифференциальных уравнений движения атмосферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
