Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 74
Текст из файла (страница 74)
11.2.9. частица в поле плоской волны круговой поляризация, распространяющейся параллельно вектору напряженности постоянного магнитного поля. 4-потенциал поля А"(х) = — ~(еййх)е", — (е<цх)е" ~]  — (сйпде", — 1 сову е< ), где х =- йх, с -- безразмерный параметр интенсивности волны с круго- вой поляризацией 1 =- +1. В специальной системе координат е~ ~ — — (О, 1, О, 0), е~" ~ — — (О, О, 1, 0), пв =- (1, О, О, 1), й" =- ( — ) и". Найти решение уравнений движения [162, 163].
Начальные условия: г(0) = О, г(0) = О, г(0) = у, х(0) = у(0, О, и), 7 = [1 — (и/с)']-'~' Найдем скорость частицы и(г). Решение атой задачи позволяет провести строгое исследование взаимодействия частиц с лазерным излучением. Из (2) получим у(т) =- О. Вычитая (3) из (4), находим 11.2) Релятивистская динамика 495 Решение.
Отметим., что в специальной системе 4-потенциал А"(х) = О, — васа+ —, 1 сов(с — — Вх, 0 тс б . Ву тс б 1 с Тензор электромагнитного поля (11.2.8) 2 Р" — В(а — [сов (с ( + 1вп р 1' (1) а и а а со~ йи а а ью уа =- /сас" — е~ й". с(., 2 =-х — пи+ (с +х +у ). 1 1 2 2пи Теперь, учитывая соотношения с(~(а (( ( = к ., е(Ца( = е(з~., е(2(н( = — е(0, ~<~ е(а(, = У("(е(0„= О., 1", п„=- О, найдем решение уравнений (11.2.9), соответствующих значениям д = = 1, 2. Образуя свертку (11.2.9) с векторами е'", е", получим систему х = Йу+ сбИи совсс, 9 = — Йх+1сбйи впос, (4) Й = еВ [то, сс = йит.
Подстановкой х + 19 = И (т) приведем систему (4) к уравнению первого порядка И'+(ЙИ' = сбйие' (5) А. Нерезонансный случай ки ф Й. Применяя метод вариации постоянной, получим решение И' = Сое ™ — гсбйи (ко+ Й Со = и| + 1из. Выберем начальные условия ха(0) = О, ха(0) =- и". Решение уравнений движения (11.2.9) будем искать в виде разложения по 4- векторам: х" =- хе "О + ()е~~ (+ Чзп" + с(ап". (2) Здесь и" =- (1,.
О, О, — 1)., х" .= с(х" [((т 4-скорость частипы, х" =- =- у(с, и), у — [1 — со,(с~) 1(з. Из (2) следует, что й = оз — оа, с( = оз+ + оа, с( — 2 = 2оа. Образуем свертку (11.2.9) с вектором п". Поскольку п„г '" = О, то пх = пи — первый интеграл, пх = пит, (с = (сит. Из (2) находим оа = = пи,(пп (пп = 2). Далее из уравнений с( — 2 =- пи и (11.2.5) получим Ре мтиаистскал динамика [Гл. 11 496 Отсюда находим вп йт + вп Иит х =- и~ соя йт+ из впйт + сГИи 1аи 4.
й соя йт — соя[вот у = — и~ впйт+ из сояйт + сСки Ии+ й (ба) В. Резонансный случай 1 = — 1, йи = й: х = (иг + сСйт) соя йт + из вп йт, у — —. — (иг + сСйт) вп йт + ия соя йт. (6Ь) Последующее интегрирование уравнений (3) и (6) приводит к параметрическому представлению траектории. Пусть ия = иа = О. Тогда х = сСйт сояйт, у = — сСйт впйт. Из (3) находим с1, 1 = х — пи+ [1+(сйт) ~. В этом случае решение уравнений в параметрическом представлении имеет вид х = — (йт вп йт+ соя йт — 1), й = — (йт сояйт — вп йт), сб сб й й 1 тс 1 з я я с1, с = х — пит+ [1+ — с,~й~т )~. 2 2пи[ 3 А" (х) = —., и" ~(е<цх) — (еййх)з~ Ит(~р)., х = кх.
В лабораторной системе е~вй ††. (О, 1, О, 0), е~' ~ .††(О., О, 1, 0)., и" =- (1., О, О, 1), и' =- — п"., с Если в начальный момент времени скорость частицы равна нулю, то пи = с. Энергия частицы я = гпсЧ, я = те~ [1+ (сйт)~/2) возрастает. 11.2.10 — 11.2.12. Движение частицы в двумерной ловушке Пауля — гиперболическом волноводе. Открытый волновод образован двумя парами металлических поверхностей 9~ = х~ — Л~ и р = хз + Ва, к которым может быть приложено напряжение с постоянной и высокочастотной составляющими (рис.
11.2.10). Основная ТЕМ- волна, которую можно возбудить в волноводе, имеет критическую частоту равную нулю и распространяется со скоростью света в вакууме. Решение уравнений Максвелла, удовлетворяющее граничным условиям на поверхностях волновода, можно представить в терминах 4- потенциала 11.2) Релятивистская дин мика 497 ы -- постоянная величина, И'(~р) -- произвольная функция. 11.2.10.
Найти уравнения движения частицы в поле основной волны (164, 165). Решение. 4-потенциал удовлетворяет условию Лоренца дяАн = О. Очевидно., Аз = О. Напряженности электрического и магнитного полей соответственно равны Е = — а (-х., у, 0), (1) 2И' 77~ тх = — — (1 — — ) УУ(р) х, ту = — (е — — ) И'(~р) у, (3), (4) тй =- — (хх — уу) И' (~р), тс 1 = — — (хх — уу) И' (~р). 2е 2е (5),. (6) Начальные условия: Х(0) = О, х(0) = (хв, ув, 0), К(0) = ив, х(0) = и. Из уравнений (5), (6) находим первый интеграл — — = Д', (7) е где д = (ив — и,)/с — константа. Следовательно, на траекториях 1— — е/с =- нт, ~р(т) .=- ыдт, Тривиальный первый интеграл системы (3)--(6) (с1) — х — у — 2 =с.
' 2 ° з ° 2 ° 2 2 Из уравнений (7), (8) находим ° в 2 ° 2 ° 2 (8) (9) (10) В = —, (у, х., 0). (2) 2 ИI Я~ Отметим., что Š— В =- ЕВ О. Уникальная особенность рассматриваемой открытой системы состоит в том,что конфигурация поля основной волны и полян статическом случае совпадают. В случае движения пучка нерелятивистских частиц эта электродинамическая система, предложенная В. Паулем (Нобелевская Рнс. 11.2.10 премия, 1989 г.), позволила создать масс-спектрометр высокого разрешения ~166-168). Подставляя в (11.2.6), (11.2.7) напряженности поля (1), (2), получим систему Ре мтавастскал динамика [Гл. 11 498 Подставляя (7) в (3)., (4)., получим уравнения тпх = — И~ [у(т)~ х, В~ гпу =, И'[у(т)) й.
(12) 11.2.11. Найти решение уравнений движения в случае 2И'(~р) = = Рл + Ъ' сов ~Р. Решекие. Переходя в (11), (12) к безразмерным переменным в = = Ят)(2, а = 4ес'ге/(ы~дй~), 6 = 2ес1т/(ы~дЛ~), получим уравнения да , + (а+2Ь сов2в)п =. О., дв а~в — — (а+ 2Ь сов2в)в = О, дв (13) (14) которые представляют собой частные случаи уравнения Матье ат Л4 + (Н + 2о сов 2в) М =- О. йл Для реализации движения частипы необходимо, чтобы решения удовлетворяли условиям [х(т)[ < Й, [й(т)[ < Я.
Из теории функций Матье известны два класг са решений ограничен- ные и неограниченные [139, Н~0 140[. Области устойчиво- ~0 Ь, сти н неустойчивости решений в плоскости параметров (Н = а, и — — Г— — — — = Ь)и(Н = — а.,и -6) разделены семейством Но Нн симметричных кривых Н = = Ль(и).
Отметим, что параметры а и Ь в уравнениях (13), (14) лежат на прямой д = (2Ре/Ъ')и в областях и ) 0 и и < О. ОграниченРис, 11.2.11 ное решение уравнения (15) существует в первой области Устойчивости, котоРаЯ лежит спРава от кРивой Н,е(и) и огРаничена кривыми ры(и) при и ) 0 и Нм (и) =- Ны( — и) при и < О. Эта область изображена на рис.
11.2.11. В нашей задаче представляют интерес только те значения параметров а и 6, для которых одновременно устойчивы решения уравнений (13), (14). Для анализа общей области устойчивости произведем преобразование инверсии относительно оси и и найдем множество значений 11.2) Релятивистская динамика 499 параметров, на которых области устойчивости решений уравнений (13), (14) перекрываются. Общая область устойчивости в (р, и) плоскости ограничена на рис.
11.2.11 криволинейным треугольником с вершинами в точках (О, 0), (ас 6,)., (О, Ьы), где а, =- 0,237., Ь, =-0,706., Ь„, = 0,92. Отметим, что в ультрарелятивистском случае, т.е. при е, с, [и,[, [ио[ « и, д = тс2/2е, е начальная энергия. Изменяя отношение Ъо/Ъ' в интервале 0 < 1го/1в < ав/26« = 0,168 можно управлять размерами области пересечения рабочей прямой с зоной устойчивости, а изменяя частоту, можно пропускать через волновод электроны в ограниченном интервале энергий [164[.
11.2.12. Дираковская «гребенка». Структура поля в ловушке Пауля формируется периодической последовательностью волновых импульсов противоположной полярности с амплитудами 1'1, 'в'2, длительностью 11, 12 со скважностями 91 .—. Т)1„92 =- Т['12, Т вЂ” период волны [164[. Найти решение уравнений движения частицы, полагая И/(Ьх) = ~1 б[~ — (2о — 1) Т, '— ~2 Ь[~ — 2оТ(, ~1 = Ъ'11,.
в=1 в=1 Решение. В квантовой теории кристалла эта функция получила название гребенка Дирака. Уравнения (11)., (12)., полученные в задаче 11.2.10, имеют вид х = — 1(т) хв У' = ) (т) УЧ (1), (2) 6 н 62 1(т) =- — ' б[т — (2о — 1) То)) — 6[т — 2оТо), (3) То То в=1 в —.. 1 х(т) = и(т) — ~ Йт'С(т — т ) 1(т ) х(т'), (4) где С(т — т') = (г — т') 6(г — т') — функция Грина уравнения С = = б(т — т'), и(т) — решение уравнения х = 0 с начальными условиями х(0) = хо, х(0) = 'уоио*, уо = [1 — (ио/с)2) 112. Подставляя (3) в (4), получим уравнение х(т) = и(т) — — С(т — То) х(То) + —, С(т — 2То) х(2То)— 61 62 Т.
'Ро — — С(т — ЗТо) х(ЗТо) + . (5) 6 То Введем фундаментальную систему решений уравнения х .=- 0: ибй = 1, ибй = — — о, о = 1, 2, 1 2 То Т = 77(8, Ь, = еЪ',Т2 ((цодтп~~), 1' =- 1, 2. Из (1) следует интегРальное уравнение Фредгольма Релятивистская динамика [Гл. П 500 Из (5) находим: в интервале 0 < т < То решение х(т) = и(т), или х(т) =- С»и~ ~, С» -— — х(0)., Сг =- х(0) Тс, в интервале 0 < т < 2То решение х(т) =- и(т) — Ь»С(т — Те)х(Та) можно представить в виде х(т) = С~ ~и~~ ~1, С~ ~ = о»ьСь, ог» = — 61, огг = 1 — Ь,: оп =ош=1, в интервале 0 < 1 < ЗТо решение х(т) = С[ ~»»~ ~ С~ ~ = Д С»В дп =юг=1, 1321 =62, Д22=1+Ь,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
