Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Из (7.1.2) получим замену переменных 11.3) Гамильтонов формализм в релятивистской динамике 519 6' = — т б(л) яп 8(т), т Е' я1п(Э2+ Э2~), 8(т) = ~е1т' " + ~сйо2(1). о Производная медленной переменной ро удовлетворяет уравнению 2 д6'1 д6' ег' . ро = (,),, = — йд(л) сояй(т). (дог' )' дсо' с Учитывая правила обращения с д-функцией, вычислим интеграл 1 (, д6 еЪ'Й T ) дс1' 2тс о и —.ц 2 т д = 1 г1т' ( Ро — Й) + до, о соя (и„+ д), (8) ~я1пм„~ до =- ~ е(1ы(1) — Э2м о Здесь ю„- — корни уравнения ~/12 соя и + ~/12 соя 122 = О. Пусть центр окружности находится в окрестности начала координат. Тогда 12 « 1„соя 2о — О, ю1 — — к/2, ю2 =- Зл1'2.
Обозначая энергию протона е = рос, получим уравнение ерй е = япд. (9) В этом же приближении находим 12 = ( — д6'!дЭ22), Д = (д6'!д12) или 1, —. Ро яшд, Э22 -— . О. (10) нтс Равновесная энергия ео(1) = (тс2)2+ (еВН)2, связанная с частотой генератора соотношением ы(1) = — Й(1) тс /ео(1), удовлетворяет уравнению, следующему из (9); е Ъ'Й ео = яп до. вс Протоны движутся по окружности постоянного радиуса Л. Поскольку радиус орбиты Ге = 212,1тй, то Йй еео ~Ъ' . 11' 4111 й — (12 — 11 — ) =, — япдо — — — ~ Й тс ~г 2с д1 ~ (6). Полагая в (2) е = О, 1(2) = 1 и пренебрегая вкладом второго слагаемого, получим [Гл.
11 Реллтивиетекал динамика 520 Следовательно, для сохранения постоянного значения радиуса орбиты напряженность магнитного поля должна возрастать по линейному закону со скоростью аВ(й1 = (2ЕЬ'/к[то) яп до. Уравнение фазов х колебаний. Поскольку Д = О, то производная фазы (12) д = (е — ео) тс Из (9)-(12) получим уравнение [171, 172, 176[ й д еУП вЂ” —, (япд — япдо). аг ы кгпв В окрестности равновесной фазы яп д = в[п до + (д — до) сов до. Фазы частиц, пришедших к зазору в некотором интервале фаз в окрестности равновесной фазы, при последующих прохождениях зазора совершают колебания в окрестности значения до (область захвата).
Механизм автофазировки приводит к тому, что при достаточно медленном возрастании величин ы и В энергия частиц, находящихся в области захвата, автоматически принимает значение, близкое к резонансному, т.е. все эти частицы ускоряются. Протоны, для которых выполняется условие сов до ( О, находятся в области захвата и ускоряются высокочастотным полем генератора в режиме нормальной работы синхрофазоторона. Механизм авгаофавировки открыт независимо в 1944 г.
советским физиком В.И. Векслером и в 1945 г. американским физиком Э. МакМилланом. Первый синхрофазотрон космотрон на 3 ГэВ (Брукхейвен, США) был запущен в 1952 г. Синхрофазотрон с максимальной энергией протонов 6,3 ГэВ, получивший название беватрон (Ьеркли, 1953 г. США), был специально создан для детектирования пары протон-антипротон (Нобелевская премия, 1955 г.). В 1956 г. был открыт антинейтрон, в 1965 г. получено первое антиядро — антидейтрон— связанное состояние антипротона и антинейтрона.
Дальнейшее увеличение энергии связано с применением новых методов фокусировки частиц. Для того чтобы достичь энергии., скажем 10 ГэВ, протон совершает 4,5 млн оборотов, проходя путь в 2,5 раза больший, чем расстояние от Земли до Луны. Поэтому необходимо обеспечить такую устойчивость пучка, чтобы небольшие отклонения от равновесной орбиты не приводили бы к потере частил.
В 1950 г. греком Н. Кристофилосом и независимо в 1952 г. американцами Е. Курантом, М. Ливингстоном и Г. Снайдером был открыт новый тип магнитной фокусировки, получившей название сильной или лсесткой фокусировки. Они предложили собрать магнит в виде периодически чередующихся секторов, каждый из которых фокусирует частицы по одной поперечной к скорости координате и дефокусирует по другой. В результате возникает эффективная фокусировка по радиальному и вертикальному направлениям. Значительно сокращается стоимость магнита и системы питания. Именно это открытие сделало возможным создание синхрофазотронов на сверхбольшие энергии.
11.3] Г мильтонов формализм в рв лтивистской динамике 521 11.3.7 — 11.3.8. Метод удвоения переменных в релятивистской динамике. 11.3.Т. Представить уравнения движения заряда в электромагнитном поле в пространстве Л1в координат (х*, и') и импульсов (ро д;), где и' = х'. Решепие.
В стандартном подходе гамильтониан частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем содержит 4-потенциал А" (х). Можно построить теорию в терминах тензора электромагнитного поля Рио(х), С этой целью представим уравнение движения в виде системы первого порядка х =- и, и =- — Р ~(х) ид. (1) т.с Введем фазовое пространство координат (х', и') и импульсов (р„й,) с фундаментальными СП [х', и~] =- [р;, дь] .= [х', вь] =- [и', рь] = О, [х', рь" = [и', оь] =- — дь.
Тогда в соответствии с !Х-1 гамильтониан Н = — р;и' — — !'"и(х) о'и" тс (2) порождает уравнения дН, дН х" .= —, и" =— др ' дв совпадающую с (1)., и ассоциированную систему дН д": — р„= — — а„Р;,~*и, тс дН Чн д и е — в„= — р„— — Р;„д". тс Но =- — р,и', ЬН = — — Ргя(х) д'и". тс Решением уравнений, порождаемых гамильтонианом Но, являются КП х; =- х; + и;т, / Удвоение числа переменных позволяет развить новый метод интегрирования уравнений релятивистской динамики в виде ряда теории возмущений, п-й член ряда содержит только и-ю степень напряженностей поля.
11.3.8. Найти решение уравнений движения в виде ряда теории возмущений. Решение. Представим гамильтониан в виде Н = Но + ЬН, Реллтивистскал динамика (Гл. 11 522 Члены ряда теории возмущений (8.1.7) содержат СП вида Сни(т, тг) = (х;(тг), йв(т ) = бсь(т1 — тг), 1 се(ты тг) =- — ~(и;(т1 ), йв(тг)1 = бм. Полагая в (8.1.7) сл = ио получим решение уравнений движения и,(т) = и + — ~ Йт1 Ъ'„(т, т1) Р' (тг) ил + тс г т + ~ — — ~ Й г ~ Йгг Уы(т, тг) О,Р' (тг) иьСс™(ты тг) Р п(тг) и" + ,тс1 та т + Ъсл(т, тг) Р™(т,)'гь (ты тг) Р' "(тг) и„+ ..
В случае движения частицы в скрещенном поле Рл = (" д6/дЗг, 7'"" = д(й" а" — и" а"), первые члены ряда ч и„(т) = и + — ~ Йтгг'"',ьи + ( — ) ~ Йтг ~ Йтг Р' ьР "и„ и и г Н(х~ Р) К (х) Рарь + Найти уравнения движения частицы. Решение. Частица движется по геодезической кривой х'(т), где т— истинное или собственное время. Перейдем от канонических уравнений дН х' = — —, дР дН Р вЂ” д тх' = д"р,, к уравнению второго порядка представляют собой точное решение (см.
задачу 11.2.7). 11.3.9 — 11.3.12. Движение частицы в гравитационном поле. Гравитационное поле в общей теории относительности определяется метрическим тензором дга(х), который играет роль «потенциалов поля» поля тяготения [2, 40, 41, 63). 11.3.9. Гамильтониан частицы в релятивистской теории тяготения П.а) Гамильтонов формализм в релятивистской динамике 523 Преобразуем первое и второе слагаемые, учитывая соотношения дйК"*'й — "' =- дйК" К..хйх = — — К" (д~Кс. + д.Ксй) хйх, д К Рарь =. тдсК Кайх Рь = — тК д,к,ьх Рь =- — т дсКайх х аь аь й ай й 2 й а В результате получим из (1) уравнение движения х+ Г'йх'х = О. Здесь Гай = (дйКса + даКсй дсКай) К символы Кристоффеля (см, задачу 2.2.5), которые определяют анапряженностьь гравитационного пооя. 11.3.10.
т1астица в слабом гравитационном поле. Из решения уравнений Эйнштейна — Гильберта следует, что метрический тензор в нерелятивистском предельном случае слабого поля имеет вид 2йс 2йс К|~ (х) = пий + бьй(х)1 6оо = а ~ 6оа = О~ баз = о оар 1 с с где гьй — галилеева метРика плоского пРостРанства: Ооо =- 1, по = О, Чав =- — оав, Ьв(х) = — СМ~г - - гравитационный потенциал тела массы М ~2, 40, 41). Здесь опущены слагаемые, зависящие от скорости и момента импульса тела. Найти уравнения движения пробного тела. Решение.
Поскольку поле стационарно, то все производные дК'ь/дг = О. Следовательно, ОО 2 с В случае слабого поля можно ввести почти декартову систему коорди- нат, в которой Г = — — дс6оо = — — д 6оо = ~0 — ь7<р) 2 2 ~ с Из уравнений х + Г'осзгн = 0 следует система 1=0, эквивалентная второму закону Ньютона ь' = т, а~х/Ж~ = — 'ьГР.
11.3.11. Задача рассеяния. Найти зависимость переданного импульса от прицельного параметра при рассеянии частицы массы т в слабом гравитационном поле К*й(х) — ц'й(х) — бьй(х). Решение. Представим гамильтониан в виде Н = Но + 6, Но =- — — и р.рй+ — гпс ЬН= — 6 (х) р'рй сй 1 2 1;й 2т * 2 ' 2т Ре мтиаистскал динамика [Гл. 11 524 и пРоизведем КП х = х' + Р'тггт, Р = Р'.
ЭволюциЯ штРнхованных переменных определяется гамильтонианом Н' = глН(х(х', р', т), р'). Полагая в (8.1.11) х„= р„и заменяя 1 — г т, получим решение в виде ряда теории возмущений: т р„(т) = р'„(те) + ~ г1тг [р'„, Н'(т, )) + ., те Известно, что решения нелинейных уравнений обладают подвижными особенностями, зависящими от начальных условий [11]. Построив все аналитические продолжения каждого из элементов решения (1), можно найти общее решение для геодезических кривых. В приближении слабого поля [1[ т~(х, Н) = (х — Н)~ — (хи — Ни) —, Н~(т) = е~+ и" т, (2) с где М, и" — масса и 4-скорость частицы, создающей гравитационное поле. Гамильтониан ЛН ™ 2(ир) „2 переходя в (1) к пределам т — г оо, те — г — оо, получим приращение 4-нмпульса СМ [ ( „)а ,) [ „ „( ,) ггп 2 ~ 2 Р тг 2 зге (3) г (х, т) = Ь вЂ” — Ьии + (Ъ' — —., Иии )т, ь 1 ь г ь 1 ьг с с где Г а .= ив — и".
Из (3) находим [2 (ии/сс)~ — 1) Ь вЂ” Ьии г ,Е,нт 1 а Г) (4) Положим р'„.= иге„. На траектории частицы х(т) =- х'+ ет. В системе покоя частицы М прицельный параметр Ь" = хеа — е", Ь" =- (О, Ь), Ьи = О., Ь" и„= О, Ь" и„=- О. Представим вектор (2) в виде 11.3) Гамильтонов формализм в релятивистской динамике Отметим, что где и~ — инвариантный квадрат относительной 3-скорости. В нерелятивистском пределе из (4) получим а" = (О, с1), с~ = — 2оЬ/и,бз, о = .= ОМт (см. задачу 8.2.3). 11.3.12. Отклонение луча света Солнцем. Уравнения Максвелла, позволяющие найти векторы напряженности электромагнитного поля., не содержат коэффипиентов преломления.
Однако, если искать решение уравнений Максвелла в весьма грубом приближении геометрической оптики, то благодаря условию существования нетривиального решения системы однородных уравнений, можно ввести новые понятия - — лучи и два коэффициента преломления. В оптике лучи представляют собой математический объект — семейство кривых ортогональных фронту волны [2, 40, 41]. Приближение геометрической оптики в гравитационном поле справедливо при выполнении двух условий: 1) длина волны Л « Ь, где 1, характерная длина, на которой изменяется напряженность поля; 2) Л « Й, где Я характерный радиус кривизны пространства-времени.
Гамильтоннан, описывающий траекторию луча в гравитационном поле, Н(х, р) = — — д'~(х) р,рм где р' — волновой 4-вектор размерности м з. Уравнение траектории луча х' = х'(в), где в некоторый аффинный параметр. Па траекториях луча Н(х, р) = — О. Найти угол отклонения светового луча в поле тяготения Солнца. Решение. Производная дх'/ав задает касательную к световой геодезической — лучу света от звезды в гравитационном поле Солнца. Учитывая решение задачи 11.3.11, запишем гвмильтониан ЬН = — — (ир)~ — р В нулевом приближении Н = Но уравнение траектории луча х = х' + + р'в, р = р'. Полагая р' =- 6, к~ =- О, получим приращение волнового вектора и6 6" — Ьии" 2г с (Ьи/е)а — 6 где гв — — 2СМ/са — гравитационный радиус Солнца. Пусть и' = (с, 0), 6' = (Ьо, Ьо, О, 0), Ь' = (О, О, Ь, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
