Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Поскольку величина импульса р = = т уи, то р = еВВ/с. Учитывая соотношение (рс)2 = Т (Т+ 2тсз), представим (2) в терминах кинетической энергии: Т (Т + 2тс ) = еВВ. (3) Полагая в (2) и = шЯ, получим частоту вращения частицы по окружности: еВ еВс (4) ттс тс' -~- Т й или ш = 1 -~- Т/тс где П = е В /те. В практике ускорительной техники частоту связывают с радиусом орбиты: Ттте Запишем полученные результаты в форме наиболее удобной для оценок (в СИ): мм.ч = 300чъ;)я( ), (матч = — = м™у ~ ~ ' ', ">.
В. Здесь Т выражается в МэВ. Решение 2. Пусть В = (О, О, В). Из (11.2.6), (11.2.7) следуют уравнения й=йу., у=-йл, Б=О., 8=0, (1) — (4) где у = (1 — (и7с)~) ~~~. Оно отличается постоянным множителем.у от соответствующего уравнения нерелятивистской теории. Если началь- ная скорость и(0) = ис перпендикулярна вектору В, то траектория частицы представляет собой окружность. Из (Ц следует уравнение Ре мтиаистскал динамика [Гл. 11 488 где П = еВ,~тс.
Выберем начальные условия в виде 1(0) = О, х(0) = О., 1(0) = у, 1 х = (01 юоз~ иоз). 1 — (и/с)а Тогда решение уравнений (1)-(4) х(т) = Й(1 — созйт), у(т) = Й гйпйт, Й = —, х(т) = иозт, 1(т) = 1т. 11.2.4. Бетатрон первый ускоритель электронов. В 1940 г. американский физик Д. Керст использовал переменное неоднородное магнитное поле В(1, г) для ускорения электронов по окружности постоянного радиуса В. Созданная им конструкция, получившая название бетатрон, представляет собой вакуумную камеру, расположенную между полюсами электромагнита. Переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле.
Найти условие, которому должен удовлетворять магнитный поток, пронизывающий круговую орбиту постоянного радиуса й. Решение. Электрон движется в переменном аксиально-симметричном поле., вектор-потенциал которого Ар — — О, А„= — ~дррВ(1, р, х), А, =О. 1 Г Р о В бетатроне Керста индукция магнитного поля В(1, р, х) = Во(1, х) ( — ), 0 < п < 1. Р Магнитный поток Ф через поверхность круга радиуса В равен Ф(1) =. 2я~ др р В(1, р, 0). о Проекцию напряженности электрического поля на касательную к окружности Еь можно найти из закона Максвелла-Фарадея 4Ф Едг = — —. йсо В случае неоднородного магнитного поля имеем 2ясВЕь = — ЫФ/Ж.
Подставляя значение Еь в (11.2.4), получим уравнение др сои 4Ф ао 2ясй 41 11.2] Релятивистская дик мика Поскольку при движении по окружности р = со В,В»»с, то из соотно- шения ЙГ)«И — — «тйр(«11 следует дТ одВ, — =- еогг— Ж с дс (2) А„= А, = О, Ат(1., т, я) — — — ~ йт т В(», т) — — — + .. я~ дВ В(1, .т) = Во(1) ( — ), 0 ( и ( 1. Здесь Во(г) медленная функция времени. Найти частоту линейных радиальных и вертикальных колебаний. Решение. Компоненты напряженности магнитного поля В„=- — к —.- — — В(1, т), В .— — О, В, =- — = В(1, т). (1) дА, пя 1 дтА, д .
' ' — ' ' д Обозначим ~р-компоненту вектора-потенциала электрического поля в ускоряющем промежутке А(1, т, в). Лагранжиан электрона., движущегося в электромагнитном поле, В = — гпс' [ 1 — (т'+ тзош + йз)/с' — — 'тдА (1. т. г)+А(1. ~р, з)]. Сопоставляя (1) и (2), получим уравнение дВ,»сИ = (1,12кР«з) ЫФ/а1. Пусть В,(0) = О, Ф(0) = 0; в конце цикла ускорения В, = В, Ф = = Ф . Тогда Ф =- 2(кР«зВ ). Это так называемое бетатронное правило «2:1»: полный поток через орбиту должен быть в два раза больше потока, который создавало бы однородное поле индукции В,„[43].
В цепи электромагнита бетатрона Керста, содержащей катушки индуктивности и конденсатор, возбуждались электромагнитные колебания с частотой и = а»/2к = 180 Гц. Электроны с зарядом д = — ео в течение четверти периода вращаясь по круговой орбите постоянного радиуса а, ускорялись электрическим полем и приобретали кинетическую энергию 20 МэВ на орбите радиуса Л = 18,75 см при значении В«т =- 0.,36 Тл.
Поскольку Т )) тасс, Т = рс =- еосВ, В. Запишем зто соотношение в форме наиболее удобной для численных оценок: Т =- =- 300В, (Тл)В(м) МэВ. 11.2 5. Бетатронные колебания в электронном синхротроне. В электронном синхротроне электроны движутся по окружности постоянного радиуса В со скоростью, близкой к скорости света. Энергия электрона возрастает при прохождении ускоряющего промежутка в результате действия высокочастотного электрического поля.
Для обеспечения устойчивости пучка электронов полюсные наконечники магнита создают магнитное поле, вектор-потенциал которого в цилиндрических координатах Ре мтиоистскал динамика [Гл. П 4йО Здесь точка обозначает производную по лабораторному времени. Урав- нения Лагранжа имеют вид дет .з . дтА, = етф — сео~р — ~'ат ф — сеотА — сеотА~ = — — сеотф —., дс[ ) др' дА, — ей = — сео<рт аг де (2) (4) с~~ .
д(А„+А) тс = 'от'р дс Учитывая (1), представим уравнения (2)-(4) в виде ает аг = етф — сео рт В,(1, т), (5) . дтА . дтА дА аг — [ет д — сеотА 1 = сеот + сеой + сео —, (6) дт де 4 — ей = — сеопеф В,(8, т). аг (7) Ограничимся анализом фокусировки пучка электронов.
В синхротроне частота высокочастотного поля ы равна частоте обращения электронов по орбите постоянного радиуса ~р = с/В. Тогда из (5) следует., что е(с) — еоВВ,(1, В). Энергия электронов медленно увеличивается со скоростью, определяемой скоростью возрастания напряженности магнитного поля. Подставляя оо =- й, й =.
сеоВ,(8, В)/е(1), т =- В в (7) получим уравнение д — ей = — сеопей В,(1, В). Поскольку е «ей, то имеем уравнение вертикальных колебаний 5+й, =- О, й,(1) = ьРпй(1). В том же приближении из (5) получим уравнение (8) ей = ет~рв — сев рт В,(1, т), правая часть которого при оо = й., т =- В равна нулю. Полагая в (5) р .= сут, т =- Я+ р, и разлагая правую часть в ряд Тейлора, получим уравнение радиальных колебаний р+ й~р = О, й„(Ц = — ит1 — и й(1).
где е .= тсз/ 1 — (и/с)з полная энергия электрона. Из закона сохранения энергии следует уравнение П.2) Релятивистская дик мика В первом приближении метода усреднения решения уравнений (8)., (9) р(8) =- сов ~ ЙЙ„(1)+ 7 ., г(8) = сов ) ЖЙ,(1)+о С 11 л-. о о Отсюда следует весьма важный для техники ускорителей вывод с увеличением напряженности поля и энергии электронов амплитуды бетатронных колебаний убывают.
К концу цикла ускорения площадь сечения пучка становится порядка нескольких квадратных миллиметров. 11.2.6. Движение в кулоновом поле. (Релятивистская задача Кеплера.) Электрон взаимодействует с протоном, который движется с постоянной 4-скоростью и" по прямой хн(т) = Ьн + инт. Электромагнитное поле, создаваемое протоном, определяется запаздывающим 4-потенциалом Льенара — Вихерта (1, 75] ~н( ) ,„/ — тятя ' -а 1 1 тн(х) = (х — х(т)1 — — и" '(х — х(т) 'и =- (х — Ь)" — — ин (хи — Ьи), сг с 1 т" т„= (х — Ь)г — —, (хи — Ьи)г.
с Здесь ~:анте — инвариантное расстояние от протона до точки наблюдения в один и тот же момент времени. Найти решение уравнений движения электрона в поле неподвижного протона. Решение. Заряд электрона е =- — ео. Лагранжиан системы в представлении собственного времени 1 .. ео 1 = — — тх хн + — 4 хн. 2 н с В системе покоя протона и" = (с, 0) 4-потенциал совпадает с кулоновским потенциалом. Помещая протон в начало координат, запишем лагранжиан в трехмерной форме: А= — — т(с1 — х)+ — 1.
гг .г еео. 2 т В сферической системе координат 1 = — т (т + т~0 + тг ебпе~ Зг~ — сг1г) + — 1. 2 т Поскольку дЕ)д1 = О, то дХ ~д( = сопв1 = — О: г еео Н=нгс1 —— т Ре мтивистскал динамика [Гл. 11 492 Учитывая соотношение св = с~1л — хз, получим закон сохранения полной энергии 1 .з Н еео 1 з/еео12 1 ~ з з 4~ — тх ,— — — тс[ — ) ,(Н вЂ” т с). 2 тс г 2 [, г ! 2тс Очевидно сохраняется момент импульса и проекция момента на ось ш М, = — = тг гйп д ~р. дб дэ1 Полагая д = я/2, получим закон сохранения полной энергии в виде — + Г1,ф = (Н вЂ” зс ).
2 2тс Н,ф = (М~~(2тгт) (еес/г). 11.2.7. Заряд в плосковолновом поле. Найти 4-скорость заряда во внешнем поле., задаваемом потенциалом А" (х) =- 6(~р) а", ~р =- йх, В специальной системе а" = (О, 1, О, 0)., Й~ = — и", и" = (1., О, О, 1), Йх = ы1 — — г. с с Решение. Тензор электромагнитного поля (П.2.8) Еи у,„„~~а д~р ' ~яи диан д" аи Очевидно пи = О., а = — 1, па = О. Эти соотношения существенно упрощают интегрирование уравнений движения (11.2.9): хи (Ьиах — ниах)— е ..
да дф Начальные условия х" = О, хи(0) = ии заданы в области, где 6(~р) = О. Образуя свертку (1) с й„, найдем первый интеграл кхс = йи. Следо- вателыю, на траекториях ~р(т) = йх = кит. Образуя свертку (1) с аи, получим еще один интеграл, е ах =- — Л(И:ит) + аи. тс Отметим., что это решение имеет смысл при условии (еео/с) < Мз. В нерелятивистском приближении Н = тсз+ Е., Е « тс эффективная потенциальная энергия 11.2) Релятивистская динамика Исключая ах из (1), получим уравнение х" = — [к" ( — + аи) — а" йи] — . (2) Интегрируя (2), находим хи — ии + ьи + — 1д~ й — — — а~ й, (3) /е~э Ь е аи е 1,тс) 2Ьи тс Ьд тс Учитывая соотношения 1 "ии„= (й" аи — а" йи), и = к"ки, запишем уравнение (3) в виде — () 2 хтсйи) тс Е(1, х) = Е сов(ы1 — — х), Š— (Е., О., 0), магнитная индукпия В(1, х) = В сов(ы1 — — х)., В = (О., Е., 0), где ы частота волны.
Найти решение уравнений движения. Решение. В задаче 11.2.7 получено решение в ковариантной форме. Здесь используем примитивный метод решения дифференциальных уравнений. Из (11.2.6),(П .2.7) следуют уравнения тх = дЕ(1 — — ) сов [ы (1 — — )], тр = О, той = дЕх сов[и(г — — )], те~1 = дЕх сов [ы(1 — — )]. (1) (2) (3) А. Пусть 6(х) = — (с/и) Ед~р.
Тензор Е" = — (с/ы) Ед1Я . Векторы напряженности Е = (Ед, О, 0), В = (О, Ед, 0) соответствуют постоянному скрещенному полю. В. Положим 6(~р) =- — Ь совр. В этом случае тензор Р"" = Ь вш х Ри' определяет линейно-поляризованную волну. 11.2.8. Заряд в поле электромагнитной волны. Линейнополяризовавная монохроматическая волна, распространяющаяся в направлении оси е, падает на свободную частицу заряда д.
Напряженность электрического поля волны (2) Ре мтиеистскал динамика [Гл. 11 =8' 8=+ ). (5) Следовательно, на траектории частицы 1 — — = — йт. с (6) Учитывая (5), (6), получим из (1) тх = оЕе соз(ыйт), — ~ х(т) = в[в(ыдт) дŠ— > х(т) = [1 — сов(мат~~~. тем (7) Далее из системы уравнений (11.2.5) и (5) следуют уравнения (8) (9) Из уравнений (7)-(9) найдем неявную зависимость скоросгн и координат от времени. Особый интерес представляет предельный переход ы — ~ 0 к случаю движения частицы в постоянном скрещенном поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
