Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 72
Текст из файла (страница 72)
и угол рассеяния 11.1 ) Кинематика ш налетающей частицы В2. Для того чтобы исключить 4-импульс Р" частицы т1, перепишем (1) в виде и возведем обе части в квадрат. Поскольку р„" р„ц„— — р'„"р'„„= (т„с2)2, то рор2 = (тэс) + р р — р р2. (2) Раскроем 4-произведения в правой части в лабораторной системе: Р,Р2 = т1Е2, Р,Р2 = т1Е2. В с. и. м. Р2 ( Е20~ РО) ~ Р2 ( Е20~ РО) ) ~РО~ — (РО!~ Е о = Еьо Р2Р2 =- (тзс) + Ро (1 — созВ), где Ро = т1 Р2 (М.
Подставляя эти выражения в (2), находим Е, =- Е2 —, (1 — сов В). ! п11 Р2 (4) Учитывая закон сохранения энергии тгс2 + Е2 = Е, '+ Е2, находим Е1 =- т1с + 2 (1 — созВ). М Из (5) следует, что в процессе рассеяния энергия первой частицы— мишени приобретает наибольшее значение при В = п1 отношение минимального значения кинетической энергии налетающей частицы после столкновения к значению кинетической энергии до столкновения Е2 — тос (т1 — гп2) Р 2 2 Е2 — т2с М 2 2 Предположим, что т2 « т1. Согласно классической механике легкая частица может передать мишени небольшую часть энергии Т,' = 4(тп1 ~т2)Т2 << Т2. Ситуация меняется в случае релятивистских энергий: если Т2 т1с2, то отношение (6) может быть порядка 1/3 (2). Рассеяние тождественных частиц т1 —— — т2 =- т. В классической механике угол между импульсами рассеянных частиц В12 — н112.
Покажите, что в лабораторной системе минимальный угол разлета частиц В1™2 определяется соотношением сов В,2 =- Т2((Т2 + + 4тс2). ГГри Тэ « тс2 имеем классический предел. 11.1.14. Рассеяние фотонов на электронах. В начальном состоянии 4-импульсы электрона и фотона соответственно равны Р' .= = (Е110, р), Ьйо = (Ьн110, Ьнп110), где и единичный вектор в направлении движения фотона. В конечном состоянии соответствующие величины равны р'" =. (Е'(с, р'), ЬРи =.
(Ьи'(с, Ьн'и'(с). Найти [Гл. 11 Реллтиапстскал динамика 482 частоту и' как функцию единичного вектора и', направленного по импульсу рассеянного фотона. Решение. Запишем законы сохранения энергии и импульса системы частиц ри + ЬЬи =- р'и + ЬЬ'". Для того чтобы исключить импульс рассеянного электрона, перепишем это соотношение в виде р" + Ьйи— — ЬЬт = Р'и и возведем обе части в квадРат: Р„Ь" = У„Ьии + Ьий'". В результате получим РŠ— рпс и =и Š— рп с -~- Ьи (1 — пп ) Полагая в (1) р = О, Е = тс, найдем частоту фотона, рассеянного на неподвижном электроне. Самый главный результат — увеличение длины волны Л' =- —, Л' =- Л + — (1 — пп'), и тс не зависящее от длины волны падающего излучения. Максимальное смещение ЬЛ = 2Ь/тс наблюдается при рассеянии назад (и' =- — и).
Величину Л, =- Ь(тс, Л, =- 2,426 10 э нм называют комптоновской длиной волны. Э"тот эксперимент., проведенный в 1922 г. американским физиком А. Комптоном, убедил ученый мир в том, что взаимодействие электронов с рентгеновскими лучами происходит в результате столкновения частиц электронов и фотонов (Нобелевская премия, 1927 г.).
Комптон-эффект является основной причиной возникновения мощного электромагнитного импульса (ЭМИ) длительностью менее 1 с непосредственно после атомного взрыва. Образующиеся после деления урана-235 кванты имеют энергию Ьи = 0,8 МэВ. Взаимодействуя с воздухом, они выбивают из атомов электроны, которые приобретают релятивистские энергии.
Асимметрия движения электронов в вертикальном направлении анологична импульсу тока в проводнике. В результате генерируется мощное излучение, образующее начальный импульс, и происходит разделение электронов и ионов. Затем электроны движутся в обратном направлении, порождая новый импульс. 11оражающее действие импульса связано с возбуждением ЭДС индукции в цепях радиоэлектронной и электротехнической аппаратуры.
Преобразование света в рентгеновское излучение. Направим световое излучение лазера частоты и навстречу пучку электронов, движущихся с релятивистскими энергиями. Полагая в (1) и =- — р/р., и' =- р/р, получим частоту рассеянного излучения Е+ рс и =-и Š— рс а2Ьи ' Отсюда следует, что даже при взаимодействии фотонов небольших энергий Ьи « (тс)~/Е с релятивистскими электронами (Е )) тс ) частота Е+рс /2Е'Р Е-р. 11.2) Релятивистская динамика Длина волны рассеянного «света» Л' = Л/4 ут. При В = 250 МэВ, инфракрасный фотон (Л = 1 мкм) преобразуется в рентгеновский (Л' = = 10 нм).
11.2. Релятивистская динамика Преобразование Лоренца электромагнитного поля. После создания теории относительности стало ясно, что электрическое и магнитное поля представляют собой две формы единого электромагнитного поля. Закон преобразования напряженности электрического поля и индукции магнитного поля, измеренных в инерциальных системах К и К', движущихся со скоростью п = (и, О, 0), имеет вид В' — Я В„'=- В, уг. = (1 — иэ,Уст) ~Уз. При этом преобразовании сохраняются инварианты ЕВ и Е~ — Вз. Обратное преобразование получается из (11.2.1) перестановкой штриха и изменением знака при скорости и на противоположный. Пусть в системе К векторЕ = О, В = (О, О, В).
Тогда в системе К'. и -- у,В, с =О, В,'= увВ. В,' =О,. у Б,'=0 (11.2.2) В' =О, В„' В наиболее важном случае, когда и = с., величины векторов Е' и В' одинаковы. При малых скоростях и « с имеем Е = Е' + — [В'и], В = В' — — (Е'и) . с с 'Уравнения движения заряженной частицы. Для того чтобы уравнения движения сохраняли свою форму при преобразовании Лоренца, второй закон Ньютона следует записать в виде — = еЕ+ — (иВ), др е дг с (11.2.3) где р =- тч-~, у = (1 — (и,Ус)~) 'Ут.
Очевидно, что при скоростях и << с уравнение (9.6.3) совпадает со вторым законом Ньютона. Кинетическая энергия частицы Т = (тот)т + (рс)т — тсз = тсе — 1 (!г В„'= у,(Ви — -В»), В„' = з, (В„+ -" Е,) В,' = уу, (Е»+ — Ви), (11.2.1) В,' = з, (В, — -" В„), Ре мтивиетекал динамика [Гл. П Найдем теперь закон изменения кинетической энергии.
Вычислим про- изводную МТ[М = »те[руе«» и подставим сюда величину е[ру'е«» из (11.2.3). В результате получим 4T — = еЕт. а'е (11.2.4) Лагранжиан, порождающий уравнения (11.2.3), Ь = — тс 1 — (т,Ус)э — е ~Р(1, г) + — тА(1, г), с где Ае = — р, А — — скалярный и векторный потенциалы электромагнит- ного поля, напряженности электрического и магнитного полей дА Е = — — — 17«а, В = го1 А. дсе дх дх Йт у=1, уи — 7 — = у — — — х. ае дт «Ы Очевидно, чго координаты связаны соотношением (с1) — х — у — й =с .
' а ° 2 ° 2 2 2 (11.2.5) Отметим, что тазг = Е, Е релятивистская энергия, Следовательно, уравнения (11.2.3), (11.2.4) приобретают симметрич- ную форму тх = е1Е+ — [хВ)., с (11.2.6) те~» = ехЕ. (11.2.7) Уравнения движения в представлении собственного времени. В теории относительности пространство и время представляют собой «компоненты» единого пространства †време реального мира. Однако в уравнении (11.2.3) время 1 играет выделенную роль.
Для того чтобы упростить решение уравнений, восстановим симметрию четырех координат х, й, х и хв = с1, вводя параметр т соотношением Ж = у е[т. Очевидно, т имеет смысл собственного времени частицы. Теперь мировую линию частицы можно представить в параметрической форме х — — х(т), 1 = г(т). Для определения х(т) и Цт) необходимо найти решение четырех уравнений движения (11.2.3), (11.2.4). Произведем в (11.2.3), (11.2.4) замену 8 -» т. Обозначая точкой производную по т, получим 11.2) Релятивистская динамика 485 Запишем эти уравнения в ковариантной форме, вводя 4-потенциал поля Ав = (Ао, А).
В терминах тензора электромагнитного поля дА" дА" дх„ дх (11.2.8) уравнения (11.2.6), (11.2.7) можно записать в виде (2) тра = е Ра"* с (11.2.9) где х' = дх" 7с1т, ха — у (с, и), 'у = (1 — ио/со] Лагранжиан, порождающий уравнения (11.2.9) 1 .. е . 1 Ь =- — — тх х" — — А х" — — тс . 2 " с н 2 (11.2.10) * =О., 41 а =еоС, =О. (й ' 41 Найдем решение (1) при начальных условиях г(0) = О, и(0) = О. Из (1) получим ,, — ° , "" — на~, . — о. (2) †(е г Отсюда находим и (1) =- О, и,(1) = О, и„= и(1), сосо ,а П*.0~7 г ' (3) 11.2.1. При производстве пленки широкая тонкая полоса пластмассы протягивается со скоростью и через два последовательно расположенных ролика. В процессе обработки поверхность пленки приобретает плотность поверхностного заряда и.
Оцените индукцию магнитного поля вблизи поверхности в центре пролета между роликами. Решение. Пусть пленка расположена в плоскости ху, скорость пленки и = (О, и., 0). В системе отсчета, связанной с пленкой, напряженность электрического поля в окрестности центра поверхности найдем из закона Гаусса: Е' = (О, О,а,12ео), е > О. Поскольку и « с, то в неподвижной системе отсчета В = (дони,~2, О, 0), Е = (О., О, Е,'), ">О. 11.2.2. Движение электрона в электрическом поле. Найти решение уравнений движения электрона в постоянном однородном электрическом поле.
Потенциал поля ~р(у) = Су. Решение 1. В этом случае Š— постоянный вектор. Г1усть Е =- (О, — С, 0), 0 < у < д. Заряд электрона е =- — ео. Уравнения (11.2.3) приобретают вид (2) Релятивистская динамика [Гл. П Для значений 1, удовлетворяющих условию 1 « тс/(еоС), получим знакомое выражение и(1) = еоС1/т. Для большего промежутка вре- мени 1 >) тс/еоС имеем релятивистское приближение (4) Скорость частицы приближается к скорости света. Найдем теперь скорость как функцию у-координаты. Из (11.2.4) получаем уравнение Т вЂ” соЕу = тсг., или -( и* (5) Из (5) найдем скорость в точке у = д.
Поскольку потенциал поля эг(у) = Су, то разность потенциалов \ о = эг(Ы) — сг(О) = Сд, ~с.н,' ° я7С 'С г т 1+ ео'г'о/тс Очевидно, при ео'го/(те~) << 1 имеем и(с[) (2еоЦо/т)~~~: релятивистские эффекты несущественны. При значениях ео'го/(тс ) >) 1, и(п') = с. Решение 2. Запишем систему уравнений (11.2.6), (11.2.7) в представлении собственного времени: Из (2) получим первый интеграл у = — С1. ео т (5) (6) у ееСс еС1 М т об от т К+ (о1)г я=О, ту = еаСс., Б =-О, тс 8 = еоСу.
После подсгановки (5) в (4) следует уравнение 1=-а 1., а= — С вЂ” г 1= — в[гот. ео 1 тс о Из (5), (6) получим формулу (3) решения 1: (1) (2) (3) (4) П.2) Релятивистская дик мика Из (5) и (6) имеем уравнение у = с эп от, решение которого с с ~ у = — (спок — Ц, у = — ~ 1+(о1)з — 1~ о а ~ 11.2.3. Движение заряда в магнитном поле. Найти решение уравнений движения заряда в однородном постоянном магнитном поле. Решение 1. Из уравнения (11.2.4) следует, что сохраняется кинетическая энергия частицы: из =- сопз1. Поэтому уравнение (11.2.3) можно представить в виде (в СИ) 4и е т.у — = — (иВ1, иг с и е 2 гп у — = — иВ, й с (2) где й — радиус окружности, и = ис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
