Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 67
Текст из файла (страница 67)
= п=г Метод удвоен л переменнь х [Гл. 10 452 х =- х~+ ~р(1), д(1) =] е1г'1(0, г'), р = р'. о Новый гамильтониан Н'(х', р', 1) = р' [1(~р(1) + х', Х) — 1(0, Х)) . Полагая в (8.1.7) е =- х', .еп =- Н'., получим решение в виде ряда теории возмущений. Полагая 1(х, 1) =- х~ + гР, найдем [123, с. 25] 81в 37937911(79)15 Развитый здесь подход является гамильтоновой формой метода Чаплыгина. Решение Я. Представим Н' в виде Н' = Но + ЬН', Н, '—.Р'[У(д(1), 1)+ еаьУ(Р., 1) — У(0,1)]. Решение уравнений с гамильтонианом Н' х' =- хн ехр [ф(Ю, О)] + ~ гав в[1 [~р(11), 1г) — 7(0, Н)) еец' "~., о р' = рп ехр[ — х(1, 0)].
ф(1, 1в) = ~ е[е а 1(р(в), в). Эволюция переменных х", рн определяется гамильтонианом Н". В слу- чае 1 = х~ + Го из (Ц следует решение задачи Коши з г в х(1) = — + ~ Ж1 — ехр ~ — (1 — 1 )] + .. г, 3 1 9 о (2) Интегрируя по частям, находим, что (2) совпадает с решением, найден- ным по методу Ньютона — Канторовича [123, с. 28]. коэффициенты которого совпадают с коэффициентами разложения (1) в ряд Тейлора. Следовательно, .(1) представляет аппроксиманту Паде [Х, М](1) при 1в' =- М = оо [122]. 10.2.13. Найти решение задачи Коши х(0) .=- 0 для уравнения х = = 1(х., 1). Рассмотреть случай уравнения Риккати 1(х, 1) = хо + 12.
Решение 1. Гамильтониан задачи Н = р 1'(х, 1) представим в виде Н =- Но + ЬН, Но — — р1(0, 1), ЬН =. р в[1(х, 1) — 1(0, 1)]. Решение уравнений с гамильтонианом Но Интегрирование уравнений движения 10.3. Интегрирование уравнений движения 10.3.1. Найти решение уравнения тг =- — П7Н(г) в виде ряда теорий возмущений.
Решение. Искомое уравнение тх„= — д„гг' эквивалентно системе х„= и„, ти„=- — д„гl (1) с гамильтонианом Н = рт — т ~лп7Н. Здесь р, л — импульсы, кано- нически сопряженные координатам х, и в пространстве Л~~. Полагая в (8.1.1Ц г„= хв, получим решение уравнений движения: 12 13 (ср, с задачей 8.2.2).
10.3.2. Система с быстровращающейся фазой. Найти приближенное решение уравнения р+ яп р =- О. Начальные условия р(О) =- О., р(О) =а»2. Решение. Используя первый интеграл ап/2 — 1 = рп/2 — сов ~р, заключаем, что при а « 2 постоянная а играет роль амплитуды линейных колебаний. Запишем теперь уравнение маятника в виде системы х=- — япр, р=а+х г г и цР = аХ+щ)+ ~М1хо — ~Ю1 ~сй2 в1п(авг+эго)+...
(1) о о Учитывая, что д~(0) = О, х'(О) = О, получим решение 1 р(г) =- а1+ — яп а1 — — + .. а а (2) Это выражение получено в работе [79., с. 52) в резупьтате обширных расчетов второго приближения в предлагаемом авторами методе. Заметим также, что, вопреки общепринятой точке зрения, решение (2) по методу быстрой фазы описывает не только вращательное движение, но и колебания в окрестности положения равновесия.
Действительно, вычисляя следующие члены ряда (1) и предполагая, что а « 1, получим решение в виде р = а, яп1. 10.3.3. Представить уравнение й+ ~и+ вгоаи =- Р(1); у < 2вго с гамильтонианом Н = 1 (а+ х) — р яп р. После КП р =. а1+ р'., 1 = 1'., х =- х'., р =-. р', порождаемого ПФ Рп =- хр'+(уг — аг) 1', получим новый гамильтониан Н' —.— 1'х' — р' яп (а1+ р').
Полагая в (8.1.7) х =. р., вб = =- Н', найдем [Гл. 10 Метод удооен л переменнь х в гамильтоновой форме. Найти решение, используя каноническую теорию возмущений. Определить мощность, поглощаемую осциллятором. Решение. Полагая хс =. и., хг = и, получим систему хс — х21 х2 — /хг~ ссохс+ Р(1)~ 2 порождаемую в пространстве Н гамильтонианом Н(х. Р, 1) = Рсхг — Рг (7хг+ осохс Р(1)). Произведем теперь КП дхс хс = — е (хс сояйс+ хг яшйг), хг = уй пс рс = — — „, рг = — е 2 ( — рс яспй2+ рг сояй1), сарг где й = осог — (у,с2)2. Эволюция штрихованных переменных определяется гамильтонианом Н' = рг(р', 1) Р(1).
Полагая в (8.1.7) 2 = хс, я6 = Н', находим точное решение исходного уравнения хс(1) = хс(2) + ~ с12 Ссг(» — 1 ) Е(2 ), са ыгг(С С ) =- П(г С ) (ХС(С)а Рг(С )] =- 2(с — сц = У(с — с~) й ~е 2 гйпй(2 — Х~). Мгновенная мощность И' = иР = хгР, поглощаемая осциллятором, следует из (8.1.9): Ис(1) = Й(2) + ~ с1с' (хг(2) Р'(1), Н'(с')~ +... = са = Хг(а) г (а) + ~ оса с 22(а а ) Е(й) Р (а )1 (1) са ссгг(с с ) =- п(с с ) (хг(с) Рг(с )) =- п(с 2 ) ссссссг(с 1 ). 10.3.4. Найти решение уравнения й + осоги = я 1(и, и), я « 1, используя метод усреднения канонических систем. Рассмотреть уравнение Ван-дер-Поля я 1(и, 0) =- у (1 — иг)сг) и (126). 19.3) Интегрирование уравнений движения 455 Решение. Полагая и = хы и = хз, запишем исходное уравнение в виде системы хг = хв, хг = — гвохг + в Дхы хз) 2 с гамильтонианом Н =- Ргхв — ого~Рзхг + вдо ((х~.,хз).
Произведем КП к новым координатам а, д и импульсам р., 1: хг = а сов(гво1+ д), хз = — виго вгп(ого1+ д), 1 рг = р сов(ого1+ ог) — — вш(ого1+ у)., а р2 — в!п (гво1+ ~р) сов (ыо1 + г ). р 1 (2) ого авго Это преобразование реализует, по существу, переход от декартовых к полярным координатам [86). В новых переменных гамильтониан имеет вид в6.=.
— виго ~р вГп(гво1+ р)+ — сов(ого1+ д)) г'(а, у., 1)г (3) г Г 1 где г'(а, хг 1) = Г(хг(аг ов, 1), хз(аг ов, 1)). Канонические уравнения движения совпадают с системой (5.1.2). Таким образом, каноническое преобразование (1), (2) позволяет представить метод Крылова- Боголюбова в гамнльтоновой форме.
Представим функцию Р(а, д, 1) в виде ряда г (а ог 1) г' (а ~р) е — гп "м Р (а ~р) 1 (а) е гнт (,1) где Г„(а) -- коэффициенты разложения функции Г(а сов ф, — агво вш гр) в ряд Фурье. Следовательно, гамильтониан (3) вЬ = — ( — — гр) 1„(а) е па В" + к. с... 2ыо ~а — огас+ ~р. В первом приближении метода усреднения из (9.1.3)., (9.1.4) находим г Г1 гК = — ( — — гр))4 + к.
с. 2ыо ~а Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля. В этом случае коэффициенты ряда (4) уавго ( а ) Чагво а г г вЬ= . 1 — —,, в1з=— 2г ~ 4сг) ' 24 4с~ Метод удооен л неременн х [Гл. 10 В первом приближении гамильтониан (9.1.4) г 2Р ( у+ Из уравнений (9.1.1) следует 2 а(1) = асетН [1+ — '., (ет' — 1)~; уг =- уго. 4с Если у ) О, то при 1 )> у 1 имеем предельный цикл: а =- 2с. 10.3.5. Найти решение системы уравнений брюсселятора [124[ и1 = н — (т+1) иг + игиг; иг = ти1 — и иг 2 ° 2 в первом приближении метода усреднения. Решение.
Стационарное состояние определяется значениями и1 = =. и, иг = тУи. После подстановки иг = — и+ хг, иг = т/и + хг получим систему Х~п =- Й~пнхн + Р,п(Х1, Х2), т, П =- 1, 2, гДе lеы —— т — 1, 121 = — т, Й12 — — — Йгг = и , Р1 —— — Рг — — (т/п)х, + 2 2 + 2ихгхг + хггхг.
Представим систему (1) как каноническую с гамильтонианом Н(х,р)=12 „р х„+р Р Предположим, что 12 ог = е[е112 — [ — Ярй) = — [(и+ Цг — т~ [т — (и — 1) ~ ) О, 1,2 4 и произведем КП х, р — 1 х', р', диагонализующее квадратичную часть гамильтониана Но .= 1е, Р хн: л — 1 л Х = А,нуХ1л Рт = ~нолрн~ здесь А 1 = и <,р Собственные векторы йгг н12 Л1 н11 112ойд~ '12 н11 1 у2М,, Л1+ Йгг 1 Лг+ Йгг н12 112О /ЕМ нгг ъ'2ойы~ системы и „и„= Ли, соответствуют собственным значениям Л1 2 = = (1/2) Яр й + гхц Матрица А „образована собственными векторами 1О.З) Интегрирование уравнений движения 457 Перейдем теперь к медленным переменным х', р' — »Г, к, производя КП х'„=- >Г„ехр(ЫяГ), р'„= >г„ехр( — г>гяГ). Подставляя х', .р' в (2)., получим в соответствии с (9.1.4) Г1 >Л> яК = »г»>Г»[ — ЯрГе+ ., (2Л»+ Ля — Зйп) >Г»>Г»1+ 12 4в> Г1 >Л> + кадя [ — Яр Ге —, (2Л> + Л» — Зй»») >Г»»Гя~ +...
(3) Г2 4в~ Далее удобно перейти к действительным координатам а>>р и импульсам р, )> а ГГ» = — е »Г2 р» = — (р+ — )е»"> 1 Г >1 а >Гз = — е»", »>2 Решение исходных уравнений и» =- п+ — а соя(а»+ >р), й> 2 ия = ™ + [( — Яр й — йп) соя(гг»+ яв) — а я»г»(а»+ я>)~. и В новых переменных (3) принимает вид 1 Г а яК = — ра [Яр й — — (Зй»» — 2 Яр й)~ + 2 ~ 4в 2 +, (2 »1е»й+ Ярй(ЗЛ»» — 2Ярк)] + .. 16в В режиме предельного цикла амплитуда а постоянна, аз = 4о Яр Ге(Зйп — 2 Ярй)» = 2 т(4 — т) та 1 ассоциированной системы -- й „и„= Ли > соответствующими собственным значениям Л» я =- — Л» я.
Очевидно, при ЯрГГ < О точка х» = хя = О является устойчивым фокусом, а при ЯрГГ ) О неустойчивым фокусом. Если п =- 1, то при т =- 2 возникает динамическая бифуркация [125]. При докритических значениях т < 2 возмущения затухают, а в интервале 2 < т < 4 возникает устойчивый закритический предельный цикл. В новых переменных гамильтоннан приобретает вид Н' = Н,', + ЬН'> Н,', = >оя р'„х'„, а» я = ~а> [Гл. 10 Метод удооен л переменнь х 10.3.6. Найти решение уравнений Лотки — Вольтерра (см. задачу 7.3.1) иг -— — а(1 — и2) иг, и2 =- — 6(1 — иг) и2, используя метод усреднения.
Решепие. Приравнивая нулю правые части, найдем стационарную точку иг = и2 = 1. Переходя к переменным хг = иг — 1,х2 = и2 — 1, получим систему хг =. †ах2(1 + хг), х2 =- Ьхг (1 + х2) с гамильтонианом Н = — аргх2 + 6рзхг + (6р2 — ару)х2х2. Произведем КП х„, р„ -+ х,х*, р, р*: Ь г/а , — 1 а Х2 = — ( †) (ХЕ ™ — Х'Е'а') Р = ( †) (РЕ' à — Р*Е ™) ъ'2 Я Ь а = ъ'аь., исключающее квадратичную часть гамильтониана. В новых переменных гамильтониан Н' = — — — (2Га + 1ъ'6 ) р (хзе *а' — х*2егн™) + к. с. Перейдем в соответствии с (9.1.3), (9.1.4) к медленным перемен- ным гу, и: х=д+ (уа+тГБ)[гу е ' + — гу* е'а )+... 1 2 — гаг 1 *2 зуаг 2~г2о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
