Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 66
Текст из файла (страница 66)
При сильном затухании второй производной в (4) можно пренебречь. Медленная подсистема подчиняет себе и управляет быстрой подсистемой — координата Х2 мгновенно следует значениям координаты х1. Поэтому координату Х1 называют параметром порядка. Исключая быстрые переменные в системе нелинейных уравнений, можно получить замкнутую систему уравнений для параметра порядка. Наиболее изученная система — лазер, содержащий поле и атомы, возбуждаемые накачкой. Полевая подсистема подчиняет себе атомную подсистему. В результате атомы переходят в новое высокоорганизованное на макроскопическом уровне состояние, обеспечивающее высокую когерентность излучения. Сопоставим (3) с уравнением 10с2) Специальные приложения метода удооен л 10.2.
Специальные приложения метода удвоения 10.2.1. Найти разложение в ряд Тейлора функции ср(х) в точке х', используя метод удвоения переменных. Решение. Рассмотрит уравнение х = 1, которое является частью системы, порождаемой гамильтонианом Н = р. Полагая в (8.1.9) Р = = ус(х), ей = Н, получим с с, ср(х) = ср(х ) +~асс [ср(х ) Р ~ + ) асс ~ асса [[ср(х ) Р! Р) + о о о д"Р~ ') с" д '" и' Поскольку х(8) = х' + 1, то (1) представляет собой ряд Тейлора функции Р(х) = ср(х'+ с').
10.2.2. Представить биномиальные коэффициенты в терминах скобок Пуассона. Решение. Пусть в решении задачи 10.2.1 ус(х) =- х". Тогда получим функцию с х" (с) = х " + [х ", р ]1+ [х'", р') р'1 — +... = г — зс Полагая х' =- 1, находим (1+ с)" .=. С~с~, С~ =- —, [... [х~", Р~) Р~)...Р~) о=о дх дэс дх — + — — =- О. ду д* ду Полагая для удобства у = 1, запишем уравнение д(а) (2) Если известно решение х = хбй уравнения ср(х, 1) = 0 в некоторой точке 1 = 8о, то решение задачи Коши х(1о) = хбй для уравнения 10.2.о.
Дано алгебраическое или трансцендентное уравнение ср(х, у) = О. Найти гамильтонову систему, эквивалентную этому уравнению. Рассмотреть случай ус = хз — у. Решение А. Предполагая, что выполнены условия существования неявной функции х = х(у),получим [Гл. 10 Метод удвоения переменн х (2) является решением исходного уравнения (120). Переходя к фазовому пространству х, р, запишем гамильтониан Н =- р Р(х, 1) (118).
Если у(х, у) =- у — Г(х), то х = — х(у) функция, обратная Г. Пусть р(х, 1) = х~ — й Искомое уравнение эквивалентно задаче Коши х(8а) = у'га для уравнения х .=- (2х) г. Гамильтониан задачи Н =- р(2х) г. Решение канонических уравнений = (, Н) =- —,. Ф = (1, Н) =— является КП х, р — г х', р' к постоянным координатам х', р': х +е — 1а р х +е р' х Полагая х' = ~Яд, получим очевидное решение х = ~Л. Решение Б. Если ввести параметр 1, то уравнение (1) можно представить в виде системы О, . Оу х =, у Оу ' ' дх которая в фазовом пространстве (х, р = у) имеет гамильтонову форму с гамильтонианом Н(х, р) = д(х, р).
Если известно решение уравнения ~р(х, у) = 0 в некоторой точке (ха, уа), то решение задачи Коши х(0) = ха, р(0) = уа для системы (3) позволяет найти корни исходного уравнения в параметрической форме. Вернемся к рассмотренному примеру. Теперь гамильтониан задачи Н(х, р) = хз — р. Решение канонических уравнений х = х' — 1, р = = р' — 2х'1+1Я. Полагая х' = Гуа, р' = уа, получим х = 'р = Ууа. 10.2.4. Найти корни х(8) уравнения хз — 2х — 1 = О, используя канонический формализм.
Решение. Г1оложим 8 = О. Тогда уравнение имеет два решения х з —— О, 2. Для определения корней запишем уравнение (2) зада1а1 чи 10.2.3 и гамильтониан: 2(х — 1) ' ( ' ) 2(х — 1) Используя (10.1.2), получим 1 1 1 ю 1)3 1б ( ю 1)5 ' ' ( ) Г1олагая х = х~ = О, получим первый корень <а1 С г 1 х = — — + — — — +...=1 — Я+1. 2 8 1б 10.2] Специальные пр ложен я метода удвоения Полагая в (1) х' = х = 2, найдем второй корень З 1 Р хг = 2+ — — — + — +... = 1+ Л+1.
2 8 16 10.2.5. Найти корни уравнения ахз + Ьхг + сх + 1 = О в области 8 «1 (6г > 4ас). Решение. Полагая 1 =- О, получим три решения х~ = — О, хг~ Дз <о> ОО = ( — 6 х у'6г — 4ас ) /2. Позтому для определения каждого корня необходимо решить задачу Коши х(О) = хй (и =- 1, 2, 3) для уравнения ОΠ— 1 х = — (Захг+26х+с) . Гамильтониан соответствующей канонической — 1 системы Н(х, р) = — р(Затг+26х+с) . Используя теорию возмущений, находим (Зах + Ь) З Зах" .~- 26х' т с (Зах'г -~- 26х' -~- с)г Полагая х' = О, получим приближенное выражение для первого корня: 6з хг — — — — + — з+ с с Аналогичным образом найдем разложение второго и третьего корней: (о] хг, з = хг, 3 [о) г <о) + За(хг, з) т 26хг, з 4 с 10.2.0. Найти решение уравнения Кеплера х — е в]их = оЛ, е ( 1 [24, 25].
Решение. Дифференцируя, получим уравнение х = ог (1 — е соз х) порождаемое гамильтонианом Н = р1(х), 1(х) =- ог(1 — е сов х) Полагая в (10.1.2) х' = О, получим е (ого) +.. 1 — е (1 - е) З! 10.2.7. Найти функцию, обратную е*, используя канонический формализм. Решение. Положим у(х, з) = е* — 1. Тогда зависимость х(1) определяется из решения канонического уравнения, порождаемого гамильтонианом Н(х, р) = ре . Из (10.1.2) находим г з хз + е- г'(1 1 ) е.-г;,' ( — о) + 2е--зо' ( — о) + 2! З! Поскольку х(1) =-. О, то, полагая 1о = 1, х' = О, получим о= 1 [Гл. 10 450 Метод удвоения переменн х 10.2.8.
Обращение интегралов. Функция х(1) является обратной по отношению к интегралу Получить гамильтонову форму обращения интеграла на основе метода удвоенных переменных. Рассмотреть случай г(х) = (1 — х2) (1 — ьзх2) . Решение. Рассматриваемый интеграл является решением дифференциального уравнения х = 1 (х) с начальным условием х(0) =- О. Вводя фазовое х., р-пространство и гаьиильтониан Н = р г (х), мы получим возможность использовать методы теории канонических преобразований.
Рассмотрим функцию Якоби х =. зп (1, и) эллиптический синус. В этом случае 1 = (1 — х2) (1 — Ихз) . Найдем еп (1, 14), используя каноническую теорию возмущений. Поскольку эп (О, и) = О, то, полагая в (10.1.2) х' = О, получим известное разложение [5] 13 14 (1 + нь2) ~ + (1 + 14нь2 + ~4) ~ + 10.2.9. Найти алгоритм вычисления чисел Эйлера, используя канонический формализм. Решение. Производящая функция [121[ 1, 2 вв х(1) = — = ń— со с п1 о=о для чисел Эйлера Е„удовлетворяет уравнению х = Г'(х), 1'(х) =- -х 1 — х2., которое имеет гамильтонову функцию Н = — рхъ~1 — х2. Следуя тео- рии возмущений, получим ~г х(1) = х~ — х~ (1 — х~2)4~2 1 — х~ (2х~ — 1)— х~ (1 х~2) (Ох~2 1) з[ Поскольку х(О) =- 1., то х' = 1.
Следовательно, числа Эйлера опреде- ляются мультискобкой Пуассона: Е„=- [... [х, р1) р1)...) рД, =ы 10.2) Специ льньге приложения метода удвоен л Вычисляя СП, находим Еа„ег —— О, Ео —— 1, Ез = — 1, Еа = 5,... 10.2.10. Найти полиномы Эрмита в терминах СП. Решение. Производящая функция юо х(1) = ехр[ — о~+ 2и1[ = Н„(и) —, о=а для полиномов Эрмита удовлетворяет уравнению х = 1(х), Г(х) = =ю„'З:ю,.п ° рюю.ю)*'=г, ° Н„(и) =- [... [х, РД РД...) РД Вычисляя СП, находим [5[ Нг(х) =- 1, Ню(х) = 2х, Нз(х) =- 4хз — 2,... 10.2.11. Функция х(1) удовлетворяет уравнению г) = Г(юГ).
Найти аппроксиманту Паде функции юГ(ю). Решение. Исходное уравнение порождается гамильтонианом Н = = ггГ(г1), где х импульс. Произведем КП юГю гг — ~ хю р: х г1 = р' В новых координатах гамильтониан Н = (р гг2) Г(хгюр). Полагая в (8.1.7) з„= х, р, получим аппроксиманту Паде [гюгю М[(1), соответствующую Ж, М вЂ” г со [122[. 10.2.12. ГГолучить приближение функции юГ(1) =- 1п(1+ 1) рациональной дробью. Решение.
Функция юГ(1) является решением канонического уравнения с гамильтонианом Н(ею я) = пе й Произведем КП дю я — г х, р: Ч= ю гг= 2Р Рз(гГюр) = 2Р Г1 х 1 2 В новых переменных гамильтониан Н(хю р) = (рзгю2) ехр ( — хгюр). По- лагая в (8.1.7) х = — х, р, егю = й, получим ( ) х г [х ю ГГ) г+... Р'т [Р', Н,,:г-~... Поскольку гг(О) =- О, то, полагая после вычисления СП х' = О, р' = 1, полгчим à — Г,г24 т... 1-> Гюю2 — Г Г'8 т,,, (1) Положим теперь в (8.1.9) Р' = гг, е6 = Н(ггю гг). Тогда получим ряд теории возмущения гГ(1) = 1 — — 1а+ — юз+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
