Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 68
Текст из файла (страница 68)
3 а+Ь еК = . (я*9* — Я9) [4'+... Решение уравнения (9.1.1) имеет вид гу(1) = — С ехр [ — 222ог — 2 у), 21сг = — С, 1 а+Ь 2 ъ'2 24 где С, з — постоянные. Следовательно, решение исходной системы lангУ2 иг — — 1+ [ — ) С соз(о28+ у)+ — [2 — соз(2аг1+2у)— [,ь) 6~ Ь вЂ” вп (2шь+ 2 у)~ + .. 19.4) Гам льтопоаа теорал специальных функций 459 /6|111 С г. иг = 1+ ( — ) С гйп(оЛ+ у) + — (э1п(2ог1+2у)— а б ~ 6 — 2 — сов (2а16+ 2 у)1 +..., а где а1 = сг + гас — частота, зависящая от начальных условий.
10А. Гамильтонова теория специальных функций 10.4.1. Найти решение уравнения й + В(6) и + С(6) и =. 0 методами гамильтоновой динамики (118!. Решение. Уравнение (1) можно представить в виде системы (2) х1 =- хг., хг =- -Вхг — Сх1 с гамильтонианом Н(х, р, 6) = ргхг — рг (Вхг + Схг) = Н (1) р х В(1) = — + 6(6), Ь 1п-1 п=1 с 1п Ь(1) = С(Х) = ~ + с(1), с(г) = В этом случае 1 = 0 является регулярной особой или правильной точкой. Выделим матрицу Н „, описывающую поведение решения 00 в особой точке: Н,п = Н и + 6 О О са Ьо , 6 =— ,г Н1о1 =— и представим гамильтониан в виде Н = Но + гаН, Но =- Н „Р,хп =- Р1хг Рг( хг+ 1 х1), ЬН = 6 пР хп = — Рг (Ьхг + сх1). где Н11 = О, Нгг = 1, Нгг = — С, Нгг = — В. Если В(6), С(6)— аналитические функции, то, полагая в (8.1.7) хо — — х1, получим решение в виде ряда по степеням 6 Пусть В(6), С(1) удовлетворяют условиям Фукса (109) в точке 1 = 0: Метод удооенил переменных [Гл.
10 460 Фундаментальная система решений уравнений Ьо со Х2 — Х2 Х1г Ьо Р2 — Рг + Р2 (4) Х1 = Х2, со Рг г Р2 (5) порождаемых Но, зависит от корней е2.1 = — (1 — Ьо х ъ'Т вЂ” 4(е )., Гс = со + — Ьо — — Ьог 1 2 2 2 4 0 характеристического уравнения е (е — 1) + Ьое + со = О. ГГусть 4Ь < 1. Тогда решение уравнений (4) г (5) имеет вид (см. также задачу 8.4.5) л — 1 л хт ."гпгрхнг Рпг .
утри. (6) Здесь А 1„— элементы матрицы, столбцами которой являются соб- ственные векторы системы (4): 1 (вг и (0=в гг СС Е1 1 ввг и„,(21 =— гвп Е2 Е2в ( — вг Ет(11; в1 — вг г Ьт(21 ' в1 — вг Мсв мо системы (5).
Решение (6) является КП е — с х'г причем зволюция переменных 2' определяется гамильтонианом Н'(2', 1) = Ь „А„А;, Р х„= — Р2(Р; 1) [Ь(1) хз(х', 1) + + с(1) х1(х, ()) = Н Рс,х Полагая в (8.1.7) 2„= хсг еЬ = Н'г получим решение уравнений (2) х, = х,(1) + (, Ж [хс(1)г Н'(1 )) +... = о с =- хс(1) + ) с111 Спп(1, (1) Н,'„„(11) х„(11) + о с + ~С(11 ~ ССС2 Сгт(1, 11) Нп.,п(11) Спе((1г 12) НЬ (12) Хд(12) +... (7) о о ес — е1. Заметим., что матрица Атн образована собственными векторами 10.4] Галсильтонооа теор л специальных функций 461 Здесь Сс (с,, М„) = — (хс(с,), р (сь)) — двухвременные функции, пропорциональные функциям Грина. Ряд (7) содержит СП двух типов: После интегрирования (7) имеем г- сис(~)хсо + иг(")х201 (8) где ис(1)с иг(1) два линейно независимых решения уравнения (1).
При вычислении интегралов воспользуемся обозначениями, введенными Трикоми [109, с. 281): Дп(о) = оЬ„+ с„, 1(о) = о (о — 1) + Ьоо+ со = (о — ос) (о — ог), поскольку подынтегральные выражения содержат характерные структуры оь(1) + 10(1) = 1„(о) 1"-'. Пусть а не равно целому числу. Тогда, учитывая значения интегралов получим у„(еч)С" у (и+ос)у.(ес)С +" 1 ® ис(1) = 1" 1— Л-+ ) И--- - )П--ь ) ~' ' + + н=с и, т=с ВтоРое независимое Решение иг(1) слеДУет из (9) после замены ос — с 02.
В том случае., когда ос — ог — — а — целое положительное число, функция иг(1) содержит 1п й ссг(1) = 1 1 + 2 + — — 1и 1,(ь(ог) + .. 1-(е )с" 1.( ) Дп с ег) аг ''~ а н=с Гамильтонов подход к решению линейных уравнений с переменными коэффициентами существенно проще классического метода интегри- рования с помощью рядов. с сссс Ссг(г, сс) сс 1"(и) ' о с — 1 () сН, С,г(1., 1,) 1", ' = "(( ) о [Гл. 10 462 Метод удеоенил переменн х 10.4.2. Найти решение уравнения для вырожденной гипергеометрической функции и =- г'(а, у, 1): О+ ( — — 1)и — — и = О.
Решение. Используя обозначения задачи 10.4.1, найдем Ьо = у, Ьг = = — 1, сг = — ег, остальные коэффициенты равны нулю. Гамильтониан 'у а Н = Но + сгН, Но =- Ргхт — — Рэхэ. 12гН = Ртху + — Рех1. 1 Учитывая значения корней ег = О, е2 = 1 — у, получим два независимых решения: и1 (1) = 1 + — 1+ — +....= Ф(а, у, 1), о о(о4-1) 2 у у(у+Ц 2! иг(1) =1 1[1+ 1+ .) г— и 1 уФ(о — у+1; 2 — у., 1), 2 — у где Ф(гг, у, 1) — ряд Куммера [5, 121[.
Если произвести КП х', р' 4 — ух"., р": н хщ —— — 11 хг, Х20 = — Х2 Рзо = 1Я Р2, Рго =,— Ру .. угО то решение приобретает вид хг = Ф(ег, у, 1) х" + (1 — у) 111 УФ(о — у+1, 2 —.у, — 1) х". (2) Найдем теперь решение (1)., не выделяя в гамильтониане неаналитиче- скую составляющую Но. Полагая в (8.1.7) еи = Х1, ей = Н., получим 2 2 ту = х +х 1 — у1(1п1 — 1)+ — + — (1п 1 — 2 1п1+2)— 1 у 1 1 2~ 2 2 7 21 — -1 ['1п1--)+ — +.... (3) 2 [, 2) 6 Здесь для упрощения формул взято значение ег = О. В этом случае иг = Ф(0, у, 1) = 1. Можно заметить, что второе независимое решение представляет собой точное решение (1 — у) ' 1 ехр ( — у 1п1) Ф(1 — у, 2 — у, 1), разложенное в ряд Тейлора по степеням з.
Возникновение логарифмических вкладов обусловлено применением теории возмущений для 10.5 [ Си гуяярно-возмущенные уравнения гамильтониана, неаналитического в точке 1 = О. Аналогичная логарифмическая расходимость появляется в квантовой теории поля. 10.4.3. Построить алгоритм диагонализацнн гамильтониана Н(х, р, 1) =.- Н „(е) р х„.
Рассмотреть случай Нн = Нвт =- О., Нш =- 1, Нш = ЯЯ > 0 при 1 > 0 [95[. 10.5. Сингулярно-возмущенньпе уравнения Теория возмущений занимает центральное место среди приближенных методов интегрирования дифференпиальных уравнений. Однако в задачах с малым параметром е при старшей производной сколь угодно малые изменения параметра приводят к конечным приращениям решения. При е =- 0 понижается порядок уравнения. Различие фазовых траекторий исходной и вырожденной систем существенно усложняет получение приближенных решений. Сингулярные уравнения встречаются в механике, релятивистской теории поля и, в основном, в теориях движения плазмы, жидкости и газа.
Трудности решения подобных систем явились причиной создания нескольких асимптотических методов [77, 78, 126-128[. Известные методы внешних и внутренних разложений, сращивания, многих масштабов и другие., представляют весьма громоздкую процедуру:, в ряде методов отыскивается лишь решение конкретной краевой задачи, отсутствует алгоритм построения высших приближений.
Гамильтонов подход в теории сингулярно-возмущенных уравнений существенно упрощает вычисления. Более того, необходимость оставаться в группе движений кососимметричной метрики позволяет построить единый алгоритм общего решения [1, 126). Рассмотрим систему ех = 7" (х, у, 1), у .= ез(х., у, 1), е « 1. (10.5.1) Введем пространство Л~ с координатами х, у, импульсами р, л и га- мильтонианом Н(х, у, р, л, 1) = — р~(х, у, 1) + л уг(х, у, 1). (10.5.2) 1 Первая пара канонических уравнений совпадает с (Ц, а вторая образует ассоциированную систему дР д~р р=- р л дх д (10.5.3) д( др 7г = — — р — — л'— е ду ду (10.5.4) у=-у( "'(у 1): у: 1).
(10.5.5) При е = 0 система (1) становится вырожденной. Определяя из первого уравнения (1) х =- хйй(у, 1)., получим уравнение Метод удвоения переменных [Гл. 10 Решение вырожденной системы у = 960(1)., х = хЩ~(убй(1)., 1) соответствует медленному движению с характерным временем Т. Основой известных методов решения (1) является исследование эволюции на многообразии вырожденной системы.
Ниже развит подход, в котором первый этап связан с исследованием решения на многообразии быстрых движений при е « 1. Структура гамильтониана (2) показывает, что основной вклад в первом приближении должны вносить траектории, порождаемые составляющей Но рйх у 1). 1 (10.5.6) Соответствующие канонические уравнения ох=1(х,у,1), у=О, (10.5.7) дг . д) ер=-р —, ен=-р— д' ду (10.5.8) существенно проще исходной системы. После интегрирования (7) х=Н(х,у,с), у=у (10.5.9) уравнения (8) линейная система с переменными коэффициентами: дй 14 дй р = — р( —,) — „—,, и =- р(дкД) (д,1) '. Ее решение можно представить в виде р= р'( — д), =- '+~о(1 р(д„й(д й ' = = я'+ р'( —;) " — р'~ о[11( —,) — ", (10.5.10) Н(х', у',1) = Н(0, у',1)+х'( —,) +..
где х' - постоянные, играющие роль новых канонических переменных. В этом приближении решение (9) правильно описывает быстрое движение в области вне кривой т = х~о~(у, 1), т. е. обладает свойствами, характерными для пограничных функций. Ьолее того, из (9) следует соотношение Л(х', у', 1) — ~ хбй(у', 1) при е — г О. Медленная эволюция штрихованных переменных определяется гамильтонианом Н'(х', 1) = = ЬН(е(%, 1), 1), где ЬН(е, 1) = х ~р(х., у., 1). Выделим в Н'(хк, 1) составляющую Но(х', 1), которая позволит получить первый член равномерно-пригодного решения системы (1).
Наложим требование., согласно которому переменные х' определяют медленное движение в окрестности кривой х = хуй(у', г). Тогда достаточно ограничиться приближением 10.5) Сингуяярнв-возмущенные уравнения 465 р(й«у,1)=ч«(й(0«у«1)«у,1)+х ( —,) ( — ) +.. -=-'. '(~:).,'=. (~ ).. где йа = й(0, у, 1). Гамильтониан Не(я «1) = 1пп[«г««р(й(0«у'«1), у'«1) + р'х' ( в — ~) = х'у«(х~ «(у'«1)) + р х' ( '" — ) (10.5.1Ц Заметим, что решение уравнения у = [у'«Не(г««1)] = р(хйй(у', 1)«у'«1) 1« =- [4«НО(я'«1)] (10.5.12) является КП т' — г в". На этом этапе вычислений решение исходной системы (1) имеет вид в = я(т'(ьн«1)«1).
Эволюция переменных тн определяется гамильтонианом Нн(х", 1) = «яН'(в'(в", 1)«1)«где 11 Н'(х', 1) = Н'(т'«1) — Нв(в'«1). Теперь высшие приближения могут быть получены на основе канонической теории возмущении. 10.5.1. Найти решение уравнения ей+ 6(1) и+ с(1) и =- О, е « 1. Решение. Полагая х = и, у = си + Ьи«получим систему ех=-у — Ьт, у=(6 — с)т с гамильтонианом (10.5.2)«где 1" =- у — Ьт, «р = (6 — с) х.
Решение вырожденной системы (10.5.5) = Ь-'у, у = Ье , т = ,11 Ь Решение системы (10.5.7)«(10.5.8) у = у', с « .— [, « — ")а,.„('~"~)] .„(-""), «= (аь(«), р = р' ехр( )«я = — я' — — ~г1гг ехр( ). совпадает с решением вырожденной системы (5). Решение второго уравнения х' = [х', Не(т'«1)] определяет медленную эволюцию пе- ременной х'. Решение полной системы Метод удооен л перелсеннь х [Гл. 10 Гамильтониан (10.5.11) Н~( ', Ь) =- ( 'у' — р' ') 6 Решение системы, порождаемой Н„', х'=х Ь ет, г'= пЬе ™, у=у е сг' = сгоЬ се р' = рнЬе Решение (1) на этом этапе имеет вид и = х Ь ~е '~'+уссе, у = уссЬе ™.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
