Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(2) Решение (1) в стандартном каноническом формализме приведено в 3 9.1. Пусть Ь(Ь) = 21+ 1, с = 2 (78, с. 163). Из (2) находим и =х ехр~ — ) + Решение краевой задачи и(0) = ол и(1) = с3, приведенное в (78), полУчим пРи хо =- — ЗД + ег, Уп = ЗсЗсс2. 10.5.2. Найти решение задачи Коши и(0) = О., и(0) = — н уравнения ей+ и+ и = О., е « 1. Решение.
Уравнение (1) описывает движение осциллятора «массой» е в среде с линейным трением. Соответствующая (1) система определяется гамильтонианом 1 Н(х, р) =- — р7" + пср, ( = у — х, ср — — — х. Точное решение уравнений (10.5.3), (10.5.4) является суперпозицией собственных векторов (и = х) 1 л,с с1 у ьс- ~ еЛг+1 еЛг+1 1 ( Лг лс, — — е ''р+ я Лг г = (2е) г (-1'+ лсТ- 4е ), Лг е — Лссяс е о = Лг — Лг.
х(с) ен (е — е с'), у(Ь) ере (2) Это решение представляет КП г — с г', обращающее гамильтониан в нуль. Очевидно, сохраняются СП, вычисленные по новым переменным. Поскольку е « 1, то Лс 1 — 1ссе, Лг — 1. Учитывая начальные условия, получим 10.5) Сингуллрнв-вввесуиеенные уравнение 467 Графики этих функций изображены на рис. 10.5.2 цифрой 2. Проследим, как с каждым шагом приближенное решение асимптотически стремится к точному.
После первого шага х = х е ' с'+ у, у =- у: р = рсессе сг = ссс — рсессе. Решение задачи Коши х(1) = еи (1 — е С'), у =- еи изображено на графиках с цифрой 1 (рис. 10.5.2). Функция х(1) правильно описывает решение в небольшой окрестности 1 ~ е. Однако уже второе приближение хс хссес у=у'е приводит к общему решению х — хпес с е+ ссе с +у е (3) Рис. 10.5.2 у = уссе из которого следует (2).
Эволюция переменных ен определяется гамильтонианом Полагая в (8.1.7) е„= х", у", е6 = Н", найдем ун ун+ в е 2с — сре+ о о1 Подставляя эти функции в (3), получим решение исходного уравнения хс(С) =хо(1+1 2 +. )е '+ус(1+1 2 + .)е Решение линейного сингулярно-возмущенного уравнения на основе методов внешних и внутренних разложений, сращивания или метода многих масштабов существенно сложнее изложенного здесь подхода.
Метод удвоения переменнь х [Гл. 10 10.5.3. Найти общее решение уравнения [126] ей + [и [ и — и = О, е « 1. Ре!пение. Полагая и —.- х., получим систему 2 х ех =- у — Р(х), у = х, Р(х) =- — э[них 2 у = — (1+ ъ!2с), х = 2у = 1+ т!!2с. Решение системы (10.5.7)., (10.5.8) ! (1 ! х 2у' 1Ь( — 2у'+ а~)., у = у'! 1Ьа = !,2е / ' э!2у' р = ", сЬ'( — ' й2у + а) ,. я = я' — сЬ а ~ — и!2р'+ — вЬ2( — ~/2у!+а) — — эЬ2а ./2у! [2е ' 2 2е ' 2 Заметим, что сохраняются СП, вычисленные по переменным г'.
Га- мильтониан (10.5.11) ! ! Н~(х', 1) = я' 2у'— 1!!2у' Решение системы (10.5.12) 2 ! х э!2у! 2уо) ., х'=- 1-~- у!2у" 2 ( На этом этапе равномерно-пригодное решение (1) имеет вид о х = (1+ 2уо) 1Ь( К+ а"), 1Ьао =. Аналогичное уравнение рассматривал Коул [129, с. 41[. 10.5.4. Найти решение уравнения Ван-дер-Поля [126[ ей — (1 — ив) и + и = — О! е « 1.
Решение. Положим и =. х, еи + Р(и) =- у! г'(и) = иэ(3 — и. Тогда (1) эквивалентно системе эх=у — Р(х), у= — х с гамильтонианом (10.5.2), 1 = у — Е(х) ! х = т. Ограничимся решением в области х > О, у > О. Решение вырожденной системы 10.5) Сингуяярно-возмущенные уравнения с гамильтонианом (10.5.2), где з" = — у — Е(х), уг = — х. Исключая 1., запишем уравнение интегральной гз кривой (у — г'(х)) г1у/дх = — ех. — — 1 1 2 х При е « 1 для всех точек (х, у) (исключая точки., близкие к кривой С 2/3 у =- Р'(х)) поле направлений горизонтально. Исходя из этого., видим, что интегральная кривая, выходящая из произвольной точки, будет притягиваться к внешним (~х~ > 1) участкам кубической параболы у = Г(х) (рис.
10.5.4). Если точка К определяет начальное положение, то система быстро приближается к кривой Е(х) (поскольку х велико), затем медленно перемещается влево. После достижения точки В про- исходит быстрый скачок в точку С, затем следует медленное движение в области -2 < х < -1 до точки Р и снова скачок в точку А (130). Далее система совершает циклическое движение по контуру А В СРА.
Период колебаний определяется приближенно выражением в 1 Т = — 2 ~ — =. 2 ~ еЬ ( — — х) = 2( — — 1п 2) = 1,614. А 2 Рассмотрим вырожденную систему. В области — 2/3 < у < 2/3 уравнение у = Е(х) определяет три действительных корня х„(у), и = 1, 2, 3. При у < — 2/3 остается действительный корень х1(у), а при у > 2/3 действительный корень хз(у). Получим решение системы (10.5.7)., (10.5.8) в области у > — 2/3, х > хз(у). Тогда основной вклад в интеграл Ых .у+ Г(х) е дает область х — хз(у),в которой г (х: у) -- (х хз) (хз 1) (х хз) хз Интегрируя, получим решение (10.5.10) х — 1+ха+(хз-1) 15[(хз-1)( — +х)1 р = р', сЬ [(хз — 1) ( — + х') ~ . (2) Очевидно, [х, р) = 1.
Поскольку 1Ь з — 1 при з — 3, то (2) описывает быстрое движение системы. Метод удвоения иеременнь х [Гл. 10 470 Найдем теперь хз(1). Гамильтониан (10.5.11) / Но(з / 1) = — л хз(у ) + хз -- 1 Для получения решения системы (10.5.12) произведем предварительно КП У'/ к' — 1 хз/ и: у = г(хз)/ и =ге ,дЕ порождаемое производящей функцией Гз(хз, к') = — гг'г'(хз).
В пере- менных х', хз, р' гамильтониан ихз рх о г + г хз — 1 хз — 1 приводит к системе хз хз г хз — 1 / х х г хз — 1 хз т 1 2р'х'хз (хз — 1) (хг — 1) (3) Р' Р= г хз — 1 Из первого уравнения (3) находим хз [п хз — — =- 1 + хз. 2 (4) Определяя из (4) функцию хз = хз(1)/ получим решение оставшихся уравнений (3) / н — 1 х =тхз Р =-Р хз, и=и(х хз Р и). х=[х,6], 6=— (5) При исследовании решения (5) в области х 1 представим 6 в виде 6 = 6о+гя6, где "о = — г р р х(х — Ц' х Подставляя в (2) функции хз(1), х'(1)/ получим равномерно-пригодное решение уравнения Ван-дер-Поля. Основная трудность в реализации последнего шага — неявная зависимость хз(1). Используем гамильтонов подход для решения этой проблемы.
С этой целью запишем первое уравнение (3) как каноническое с гамильтонианом 6: 10.5] Сингу арно-возмущенные уравнения Решения х = (1+ 1 — 4(1+х')] . Р= — р'х(Х) (х (1) — 11 уравнений 1 Зх +1 (х 60] г 2 Р=]Р260]= Р г г х(х — Ц х (х — 1) порождаемых гамильтонианом 6о, является КП х, р — ь х'2 р'. Эволюция штрихованных переменных определяется гамильтонианом 6'(х'2 р', Р) = р' 1 — 4(1+х'). Полагая в (8.1.9) 1„= хг2 е6 = = 6'(х', р', 1), получим =* (хо 1)+~ "1г )Гх (хо 1) 6 (хо Ро 1)] + о =-1+ 1 — 4(1+х',)+-(1 — 4(1+ 0)]+... (б) Этот результат совпадает с приведенным в работе ]129, с.
53]. Для нахождения решения в области х» 1 представим 6 в виде 6 = Ко+ гяК, где Ко =- — —; ).гК =-— р Р х2 х(хг — 1) Решение уравнений, порождаемых Ког х = 2(х' — 1), р= р' 2(х' — 1). В новых переменных 2 К'(х', р', 1) =— Из (8 1.7) следует решение в виде ряда теории возмущений (7) — 2)*' — 2); 2т)*) — ') Решения (6), (7) определяют хз(1) в наиболее важных областях. Подставляя хз(1) в (2), найдем равномерно-пригодное решение уравнения Ван-дер-Поля. Движение в области у < 2,13, х ( хг(у) можно рассмотреть аналогичным образом. Глава 11 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА 11.1. Кинематика Пространство Минковского частной теории относительности состоит из точек, называемых событиями. Четыре числа х" (р = О, 1, 2, 3) представляют собой локальные координаты события: значения хг = х, х = у, х = з определяют положение частицы в декартовой системе координат,хо =- с1 временную координату события, с скорость света, 1 момент времени, фиксируемый по часам, помещенным в точку х, й., - ]2., 160].
Пространственно-временной интервал до между событиями хн и хи + ахи задается квадратичной формой гЬ вЂ” — я,„, Мхи Ых", д„ь = ейай (1, — 1, — 1., — 1) представляет собой контравариантный тен- зор второго ранга. Скалярное произведение 4-векторов а" — — (ао,а)., ЬЯ =-(Ьо, Ь) определяют соотношением а" Ьи —— — дн ая Ь вЂ” -- ао Ьо — аЬ. Здесь ан — — яо а" = (ао, — а). Обычно используют упрощенную форму записи скалЯРного пРоизведениЯ пЬ = овЬя, пз = пипи = а~ ~— аз. Преобразование Лоренца. Пусть х" — координаты события в инерциальной системе К, х'" координаты того же события в системе отсчета Л '., движущейся относительно системы К со скоростью и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
