Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Запишем гамильтониан электрона Н =. — ~р + — А' ~(х) + — А(1., х)~ — еоу~'(х) 2т1 с с Нелинейные системы в форме Н = Не + Ю., Нв = — ~р + — А'~'(х)1 — ее сдв~'(х), 2т~ с 2 ссс = — 'РА(1, х) + ', А~(1., х), Р = р+ — 'А'"'(х). (1) тс ' 2тс ' ' с лМедленная» компонента траектории определяется гамильтонианом с Н(х, р) = Не+ (Ю+ — ~Ъ'дс, ~Юс 1' су(л, р, 1с)~ )+...., (2) где в'су(х, 1) — переменная компонента функции су(х, с).
Подставляя (1) в (2), получим 2 Н(х, р) = Нв+ в ~САс с(х)) + .. 4тс Этот результат можно представить в более общем виде [84) г э Н(х, р) = Но+ — в (~~сИЕ(х, 1)1 ) +... 9.3.6. Влияние сплюснутости Земли на движение спутника. Найти эволюцию элементов кеплеровой траектории орбиты., обусловленную сжатием Земли у полюсов (см. задачи 1.5.15, 6.4.5). Решеиие. Гамильтониан задачи Н = Не + 6, 2 2 г Р Рв Рт О Но= — + с+ 2гп 2тг~ 2тгс сйпсй г Ь= —, (1 — Зсов 0), 2 2гв где Л экваториальный радиус Земли, .й 10 э.
Перейдем к переменным действие — угол, введенным в задаче 7.4.5: соей =- вшс эш сР, сов с = тэсс 7з ф = Х + ш~., Р,Ус та г 2 1+ессеи ' " ат ',1' Учитывая, что согласно решению задачи 1.5.3 тстав~ =,)м найдем средние значения ( — в) = — ~ —, =,, ~ с4т (1+ е сов т) = ( ), (всп (Х-кпсс)) 1 (от )з и гамильтониан в первом приближении метода усреднения Возмущения элементов орбиты определяются уравнениями (9.1.2): 2 2 шг = шго — г 1 — ез (1 — 3 соз з) иЛ, 4р Зкй' гоз = шзо — 2' (1 — 5 соз з) оЛ, 4р ЗшЫН' шз = шзо, соз з. 2р Следовательно, все элементы орбиты периодически изменяются. Значение зо = 63'26' (созга = 5 ггз) определяет критическое наклонение плоскости орбиты. При г'.
> зо перигей движется в отрицательном направлении, при з ( зо — в положительном. При умеренном наклонении орбиты приращение Ьшз порядка 4' в сутки 124). Фиксируя угол зо, можно добиться того, что спутник будет двигаться по терминатору (от лат, зегпппаге — ограничивать) — линии разграничения дня и ночи. В этом случае освещенность Земли в окрестности орбиты зависит только от широты и времени года. 9.3.7. Система Дг одномерных осцилляторов движется в потенциальной яме У(х) =- пиалах~,г2+ азха/3! + кех~/45 Найти отклик системы на приложенное электрическое поле Е(1) в приближении Ез.
Решение. Производя КП х, р — г чз, гг: х = хге '"" + к. с., р = — зтшохге г""+к. с., хг =- (сгк)газе '", сг =- (2тшо) ', получим гамильтониан ей = — Йо + ) гг„е ' 4 ееч "г, по =- сг гг, кз 2 2 4 кз ~з =— 6 геà — (ОК) гс2 -- геа: йз 22 2 2 3 )зрз 11 о 1 6 Перейдем далее к медленным переменам го, к -4 го, Е Согласно (9.1.3) получим х = 2 и„ехр ( — зп (шо1+ гд)), о=о 440 Решение канонических систем методом усреднен л [Гл. 9 Нелинейные системы г ( 1)112 [1 4о 1) иа = — — кзег 1, 2 ыо из = е»21. lез зо»о "4 з121212 из = 24ого В соответствии с (9.1.4) /й» 5 2 Л о 2 17 еК=( — — — н гг) 1 — Л 1. (,2 3 з ) 2ыо 9ого (и) = (гг) о + ~ Жг С(1 — 11) Е(11) + + ~ 4~11 4~12 С ( ~1~ ~ 42) Е(41) Е(12) + где С, Сйй — температурные функции Грина: С(4 41) О(4 »1) ([г»(4) г»(11))) С (з 41 О 42) 1 = — 9(1 — 11) 9(11 — 12) ( [[»Г(1), й(61)) д(12)) ) + (11 44 12).
Пусть Е = Ве) еле ' "4. Тогда получим Л (4=(ей)о+-, е(ыл)еле»""+ л + — е(о»Л, О/е) СЛС»е ~ ~ + е(о»Л, — о»О)СЛС, е ~ ~ + к. С. Л,О Величина е(о») вычислена в задаче 8.3.2. Нелинейная проницаемость второго порядка е(О»1, ыз) = ~ йтг г(тз С~~~(тг, тз) ег ' '+'"'" = = — — е Х (Огг и ыз > 2зого) 2 " [о/1 -~- Огз -Ь (и -Ь е) О/О) (г»1 Ь зо»О) (ы2 с е~ ~О) п.
» Из (9.1.1) следует гс =- (деК/д1) 1+ »Г', 1 =- 1'. Гамильтониан взаимодействия системы с электрическим полем Нг = — 41Е(1), Й =- е 2 то. 4=1 Полагая в (8.1.9) Е = 11, егг = Н,, получим 442 Решение канонических систем методом усреднения )Гл. 9 Вычисляя величину д (не з и~и~е~и~ + е д ~ и~+~ ду ие)) д! найдем рг г = ~ цг = — 1а,г = — 1о,-г = (2!шо) йзо Ь,г 3 — ц — г = Ь,— 1 = — з" — цз =- (2!Зшо) йзсг~. Остальные коэффициенты равны нулю. Для монохроматического вопя с частотой ш [99, с. 322) з~,ь е(ш, ш) = — з И4ыз — еоз) (шз — шз)~) 2т Глава 10 МЕТОД ЪГДВОЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 10.1. Введение Рассмотрим систему нелинейных уравнений х„= Р'„(х, 1), д =- 1, 2, ..., ж Приведение этой системы к гамнльтоновой форме может быть реализовано введением фазового пространства й~' с координатами хь = хы , = ры в котором определим СП функций А и Рм дАдд 0 Е [А, Н] = П Г, П д =, о, д = 1, ..., 2в.
Здесь Е единичная э-мернвя матрица [1, 118]. Если теперь построить гамильтониан Н(х, Р, Г) =- Рн Е„,(х, 1), (10.1.1) то исходная система является гамильтоновой. Вторая группа уравнений дР р =-р-,. Гхе является ассоциированной системой. Предлагаемый метод позволяет привести к гамильтоновой форме системы уравнений, полученные феноменологически и не являющиеся экстремалями какой-либо вариационной задачи. Особый интерес представляют уравнения, описывающие химические реакпии, различные экономические или экологические системы.
После приведения к гамильтоновой форме решение уравнений может быть получено на основе мощных методов теории КП. Пример 1. Найдем решение уравнения х = ((х), используя каноническую теорию возмущений. Гамильтониан канонической системы Н(х, р) =- р 1 (х). Выберем гамильтониан нулевого приближения Но =. = О.
Из (8.1.11) находим 1 х = х + [х, р 1(х )]1+ [[х', р' ((х )] р ((х )] —, +... = — — х' + (~(х') —,) ~(х') —, . (10.1.2) ь=1 [Гл. 10 Метод удооен и переменнь х Пусть 1(х) = Х2. Интегрируя уравнение х = Х2, получим х 1 = С вЂ” 1, где С вЂ” константа. С другой стороны, ряд теории возмущений (2) также приводит к точному решению Р х=х +х 1+х 1 +...= 1 — Х1 10.1.1. Представить уравнение Льенара О =- — 1(и) и + д(и) в гамильтоновой форме. Решение. А.
Полагая и = Х1, и = х2, получим систему [119[ Х1 = Х2, Х2 = $"(Х1) 2 (Х1) Х2 с гамильтонианом Н = Р1Р2+ Р2 (К(Х1) 1(Х1) Х2) Б. Положим и = у, х =- — у — Р(у), где де Р = ( (д). Тогда исходное уравнение эквивалентно системе В фазовом пространстве с координатами х, у и канонически сопряжен- ными импульсами р, 11 гамильтониан Н = — р е(у) — 11 [х + Р(у)) . Если Г" (х) = — е (1 — х2), е(х) = — ыозх, то из (1) получим уравнение Ван-дер-Поля У вЂ” е (1 — У ) 1) + ыоУ = О и связанное спим уравнение х — ео2 [х — — ) + 1о х = О. 10.1.2.
Записать уравнение Риккати х + аох2 + с(1) =- 0 в гамильтоновой форме. Найти КП, обращающее гамильтониан в нуль. Решение. В координатах х, р гамильтониан Н(х, р, 1) = — р(пах + с(1)). Подстановка х = д/под преобразует исходное уравнение в линейное о + ао с(1) о = О. Пусть и1, и2 — два линейно независимых решения с вронскианом и1и2 — изи1 = 1. Построим далее ПФ Р ае и1 Е и2Х' 1Ой) Введение В соответствии с (7.1.3) находим и«+ йох 2 х = —,, р =- аор (и1+ иох ) . ао и» -~- иох' ' Новый гамильтониан равен нулю. 10.1.3.
Найти решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Н(х, р) =- ыру'1 — хо, и производящую функцию КП к постоянным координатам. Решепие. Решение уравнений х = [х, Н) = ы 1 — хо, р = [р, Н) = Л вЂ” хо является КП, х, р — > х', р'. х = е1п (~Л + х') р = сов(ы» е х ) Производящая функция преобразования (1) Рз(р, х', 1) =- — р ейп (оЛ+ + х') удовлетворяет уравнению Гамильтона †Яко в р-представлении (7.1.3) + Н(х =- —,, р, 1) = О.
10.1.4. Найти решение уравнения х = — Г(х/1) методом канонических преобразований. Решение. Гамильтониан, приводящий к исходному уравнению Н(х, р, 8) = р )'(х/1). Произведем КП с помощью ПФ Ро(х, р', 1) = = (х18) р', аР, „', ар; р= = —, х дх 1 ' др » Новый гамильтониан Н' = (р'/») [ Г(х') — х') .
Теперь уравнение х' = [х', Н') = — [~(х') — х') имеет решение !ой+С= ~ дх 10.1.5. Метод адиабатического исключения быстрых переменных. В ряде задач переменные, описывающие подсистему, могут достичь стационарных значений гораздо быстрее, чем переменные, относящиеся к другой подсистеме, взаимодействующей с первой подсистемой. В этом смысле говорят о «быстрых» и «медленных» переменных. В гамильтониане Н = ы (р1хо — рох1) — ("пр1х1 + уорохо), [Гл.
10 Метод удвоения переменн х с коэффициентами, удовлетворяющими неравенствам ~2 >> у1, 1о << «э2, координаты Х2 и х1 представляют собой быструю и медленную переменные. Найти гамильтониан, описывающий эволюцию медленной подсистемы. Решение. Первая группа канонических уравнений не содержит импульсов: (1) (2) Х1 =- 1"Х2 71Х1 Х2 = ЕОХ1 ~2Х2. Из (2) следует интегральное уравнение хэ(1) =.
Х2(0)е т'1 — ы~М е 2211 11х1(1'). в Если время релаксации 1/э2 координаты х2 намного меньше, чем время релаксации координаты х1, то функцию х1(1) можно вынести за знак интеграла. В результате при значениях 1 » 1/ у2 получим адиабатическое приближение Х2 —— — — 1ох1/ у2. В этом приближении получим из (1) уравнение для адиабатической переменной =-[,— +Ъ )х, '. "1'2 (3) порождаемое гамильтонианом 1 Ь =- — [ — + У1)Ргх1. "12 +( 2+ ) ( + ) (4) которое получим в результате исключения х2 из (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
