Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 60
Текст из файла (страница 60)
а Полагая в (8.1.9) Е = г1(1, х, х'), е6 = Нг, получим Р (х) = ~с[ох'С „(~') Е„(х')+ + ~с[ох'~гХ'хо С „,(8', бо) Е„(х') Е,(хн) +..., (1) где хи = (1, х), б'~' = (1 — 1', х — х'), сон = (г' — 1", х' — ха), С температурные функции Грина: С „(б') = — д(1 — 1') ([с[ (х, х'), с[„(х', з')~), (2) С н,(б, с ) — — о(А — 1) 9(1 — 1 ) х х ([[с[ж(х е ), гго(х е ))<1з(х ° е ) ) + (х ег х ) Отклггк системы характеризуется линейной и нелинейной проницаемостями. Эти величины вводятся следующим образом.
Представим Е(х) в виде Е(х) = Не~ с[л[(х)е '""* йх = ы1 — 1ех, с~л[(х) — медленная л функция координат и времени. Тогда, учитывая (1), находим ечн(х) — 2 ст (кл) со (х) е + 1 Л + — е „,(Йл, Й ) сгь~(х)сг'[(х) е ц"л ' " [*+ 1 + — етоз(~л, — ~о)с (х) сд (х) е *"' " +». с. л,о Здесь тензор диэлектрической проницаемости е „(й) связан с Фурье- образом д „(к) функции Грина С „(Р) соотношением е „Я) = Б „+4яд„,„(к), д „(й) = ) е[~б С „(С) е'~с. (3) Нелинейная восприимчивость „,,(Ил, И ) = ~ дес' дело С „,(с', сн) ег""~ "г""е .
8.3] 405 реакция системы на внешнее возмущение Ограничимся вычислением тензора н „()с). Поскольку с1 — динамическая переменная аддитивного типа, то (2) содержит одночастичную функцию распределения 1(Р ) г (1) = ~ пзз . пен 1зо(з~, зз, ..., зн), где Р— объем, занимаемый системой. При усреднении по фазам в (2) удобно воспользоваться соотношением )106] ()А, В]) = — А Вычисляя среднее значение (111 (з з ) е1н(х', з')]) =- ге — ~о) р' х х ~ с)з1У(р') Е(1) з с) (в, 1) д„*(з, 1) ехр( — 1(вй)(1 — 11)] х о ОО х б~~) [х — х' — — (1 — 1')1, т получим я „(Й) = — е — ~Н р' ~ Й 11(р') Р(1) в х о () о (з., 1) д„(з., !) х оз — зй — 1ср 1т Ъ 10 Если символ 10, задающий правила обхода полюсов, заменить величиной г у/2, то полюсы, я „(й) в нижней полуплоскости оз приобретают реальный смысл: ) з является средним временем жизни начального состояния.
Рассмотрим систему линейных осцилляторов: х„(з, 1) = л*„(— — в, 1) = б, з (1„(2дазо) з1о б„,. Поскольку для линейных осцилляторов подынтегральное выражение в (4) не зависит от 1, то „(й)=б „1-' ' ] )ар' д),] м — (ыо е 1ср )т) с ивт Далее, вычисляя тензор з)у (к) = б ] е)~р' [Гзь 8 406 Канонических теор х возмущений получим приращение энергии системы Таким образом, система линейных осцилляторов поглощает внешнее излучение [107). 8.3.3. Частица, движущаяся в заданном электромагнитном поле, взаимодействует с полем излучения.
Найти скорость изменения полной и обобщенной энергий. Решение. Гамильтониан задачи л2 Н(х, р, 1) =-. — (р — — А'~ — — ' А) + еАо " + еАо, где А' ', А„— 4-потенциалы внешнего поля и поля излучения. Полная энергйя 1 У е ехе е л2 ехч Е =- — (р — — А — — А) + еАо 2т[, с с Обобщенная энергия ро равна значению гамильтониана на траекториях системы: ро = Н(х(с), р(1), 1).
Вычисляя СП, получим Е = — + [Е, Н) = ехБ+ е(деА~ — — хдеА' ), 1 тх = р — — А'х' — — А, Е„= — — д,А„— д„Ао, с с ' с С другой стороны, ро = — = е( д,А ' — — хд,А' ) + е~ д,Ао — — хдА). дН У ехе 1 ехФЛ Заметим, что ро = Е + е с[Аз/Ж. 8.3.4. Электроны движутся во внешнем постоянном поле, задаваемом 4-потенциалом А" (х) .=- (А~охх(х), Авхе(х)). Найти в дипольном приближении приращение обобщенной энергии электронов, обусловленное взаимодействием с переменным электромагнитным полем, возбуждаемым в резонаторе. Решение 1.
В дипольном приближении 4-погенциал поля электромагнитной волны А" (1, х) =- (О, А(1)). Разложение поля по модам резонатора дает А,„(1) =- ъ'4ясз (алА~~1е ' "'+ к, с.), (1) л и~2а~л Здесь А,„векторы, определяющие пространственную конфигура<л> цию моды на частоте шл. Предполагая, что поле излучения является 8.3] Реаки,ил системы на внешнее возмущение 407 эргодическим [73], введем корреляционную функцию второго порядка Гхм(Х« йг) =- (але ' "««а~~,е« "'«г) = дгл' ~ е(агГг(ог) е ' Рв «г) (2) о При лоренцевой форме распределения энергии моды щг величина Гг(ог) имеет вид (3) где тг = 2Яг/агю с„«г — добротность резонатора.
Гамильтониан системы электронов Н = ~ Н,(х„р„г), г Н = '[р, — — ' А '(ха) — — А(1)~ + е«А~о~(х«). (4) 2т дН ео Ро = — = — хд,А, де с а + еа ~ег«( ) + ео с и с Для определения Ьро в рамках теории возмущений представим Н в виде Н =- Но + Н„ Но =- — (Р+ — А (х)) — еоАо (х) а г — ~ и Аф + '; А (4), с 2тс ти —. р+ ео А«х« с Предположим, что известно решение уравнений х = х(х', р', 4), р =- =- р(х', р', 4), порождаемых гамильтонианом Но.
Произведем замену переменных х, р » х', р' в гамильтониане взаимодействия Нг(х, р, 1), получим функцию Н',(х', р', г), определяющую эволюцию штрихованных переменных. Следуя канонической теории возмущений, получим (б) «« Индекс «а» в дальнейшем опустим. Предположим, что при 4 = ао — » — -со поле излучения отсутствует и система находится в состоянии статистического равновесия.
В момент времени йг «включается» взаимодействие с электромагнитным полем. Основной динамической величиной, характеризующей взаимодействие частиц и поля, является обобщенная энергия ро, равная значению гамильтониана Н на траекториях системы. Мощность, потребляемая системой электронов после «включения» взаимодействия [Гл. 8 Конвничеенол теор я возмущений 408 с аа (Ьро) =. ([ с[с роЯ) —.— 2ясе~ ~~ с[се Гл(оз) ~ ейс ~ с[со х са л о са са х ([ го)(1 ) А*1Л) со)(1 ) 4)Л)~) Си)сс — сг) к с Г1оскольку после усреднения СП зависят только от разности ог — 10, то удобно ввести, как и ранее, двухвременную температурную функцию Грина е Л(аг а2) и(аг а2) ([Лал(аг) лал(ао)))1 (7) М (1) = <0)(Х) А*Р), а Переходя к пределам Мо в — оо, 1 — с со, найдем мощность, потребляе- мую системой электронов: ( с') = 4сгео [ с1сз Гл(ос) 1щКЛ(ос), о ял(ис) = [ г1т Сл(т) ес)"гю) . (8) (9) Решение 9.
В некоторых случаях величину ЬроссЫ удобно представить в терминах дипольного момента системы. С этой целью произведем КП х, Р— с Ц, хч х = е1, .Р = и + (ессс) А(1), поРождаемое ПФ Ро(х, и, 1) = ~ ,'(хя + (е,ссс) хА(1)). В новых переменных гамильтониан (4) приобретает вид Н„= [Яа — — А (х„)1 + еа А;,еи(ха) — е„х„Е(1), (10) где Е = — (1)с) (с[А)сс[г). Далее представим (10) в виде Н = Но + Нг, — (сг+ — А м(х)) — ео Аоа(х), а Нг = — с1Е(1), с1 = — ео х . Индекс «Оа означает, что динамические переменные взяты в момевт 1 =- 1о, причем л (1) =- и (хс„ро, 1).
Подставляя (5) в (6) и усредняя елро по начальному распределению фазовых координат и возможным реализациям поля излучения (2), найдем приращение энергии электронов: 409 Реакция системы на внешнее возмущение Мощность, потребляемая системой, определяется уравнением ро дН(Д1 = — с1Е(с). Вычисляя Н (1) согласно теории возмушений (8.1.9) (с) сцп (с) ~ асо [Ап (с)~ ~4п (с2)) Еп(сг) + ° ° ° ~ ее получим среднее значение (г~ро) — ~ нп3 ~ ас2 Стп (сг с2) (Ет(сг)Еп(42)) + ° ° еа еа Здесь мы ввели двухвременную функцию Грина (11 с2) = и(с1 п2) ([от (сг)1 с~п (п2)1) ° После усреднения по распределениям частиц и полей рвзонатора полу- чим среднюю мощность, потребляемую системой, ( ) =- 4яс ~ с1ог Гх(ог) 1ш дх (ог)., о где д~™(оз) — фурье-образ функции ~л (~1 ~2) — ~(~1 ~2) ([гул(~3)~ ~~л(~о)~)~ Заметим, что фурье-образ функции Грина С~ „"4(т) связан с тензором диэлектрической проницаемости соотношением етп(ог) = Б,„п + 4кпо д~„,п~ (ш), где по концентрация электронов.
8.3.5. Спонтанное и индуцированное излучение классических систем. Если ускорение заряженной частицы не равно нулю, то из решения уравнений Максвелла с заданным током можно найти интенсивность спонтанного (от лат. эропсапепэ — самопроизвольный) излучения электромагнитных волн. Для того чтобы учесть эффекты взаимодействия частиц с полем, и найти, в частности, интенсивность ин,чуцированного излучения, необходимо рассматривать частицы и электромагнитное поле как единую систему. В регулярной электродинамической структуре, стенки которой совпадают с поверхностями криволинейной ортогональной системы координат, можно возбудить счетное число собственных волн, отличающихся пространственной конфигурацией электромагнитного поля и собственными частотами [13, 75, 102, 1411 Различные типы волн называют [Гл. 8 41О »оаноничееная теория возмущений модами.
4-потенциал поля излучения ~р(», х) э— з Ао(», х), А(», х) можно представить в терминах однокомпонентных потенциалов Герца Ж»'~ и Ж~тз, описывающих два типа волн [141[: дай»М) Ао(», х) = е[1о%г~'~, А(», х) = — + го»%г»т[, Г!отенциалы Герца удовлетворяют однородным волновым уравнениям, которые следуют из уравнений Максвелла в отсутствии токов, и граничным условиям. Эволюция системы частипы-поле определяется решением самосогласованных уравнений движения и уравнений Максвелла.
Рассмотрим следующую задачу: найти приращение энергии поля при движении электронов в резонаторе в постоянных полях, задаваемых потенциалами ловушки Пеннинга (см. задачу 7.2.8) Ао "(х)= (з +у — 2з ), Н А' "(х) = — ( — у, т, 0). Решение. Если разложить потенциалы по собственным функциям однородных уравнений, то гамильтониан системы можно представить в виде суммы гамильтонианов частип, поля и взаимодействия частиц с полем: Неве -— — Нр(е») + Н» + Нг(е», аь, аь). Гамильтониан электромагнитного поля Н» = ео„а„а*„. (о[ Здесь о — совокупность канонических координат частиц, а„ -- коэф- фициенты разложения потенциалов по собственным функциям, й— набор собственных чисел.
Переменные аьн»аь играют роль канониче- ских координат и импульсов, фундаментальные СП [а„„»а*„] = о Каноническое преобразование аь, аь — г сь, с*: аь = сь ехр( — гозь»), порождаемое производящей функцией г'з(а, »с*, ») = » с„а„е'""~, исключает Н» из полного гамильтониана. Новый гамильтониан Н = Нр(г») + Н,(9, сь ехр( — »еоь»), сь ехр(га~ь»)). Отметим, что в квантовой электродинамике координате а соответствует оператор уничтожения фотона, координате а* — оператор рождения фотона. Подставляя в (8.1.9) любую динамическую переменную Р, получим решение канонических уравнений в виде ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
