Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Произведем КП а, = Ь,е г"Н~, аз = Ьзег"Н~, порождаемое ПФ Рз(а, Ь, 1) = 1(а16~е' Нз+ азЬзе ' Нз). Новый гамильтоннан Н' = — й Яп [3 (6~ Ьз + ЬзЬг) — й сов Д ([Ьг [~ — [Ьв[з) . (1) ын в[од = Й в1пд, ы/2+ын говд = й совД. Следующее КП 6, Ь* — г с, с'.
— яп Я2 совЯ72 61 сов Я2 Ьз яп Я2 Скалярное произведение ЯВр = О, т.е. вектор Я вращается вокруг оси е' с угловой скоростью Йр, оставаясь ориентированным перпендикулярно вектору Вр(г). Рассмотрим два случая. А. ог-импульс. Если переменное поле включено в интервале т, удовлетворяющем условию йрт = я, то Я'(т) = (1, О, 0), Я(т) (О, О, — 1). При 1 ) т имеем Яг(1) = О, Яз(Х) = О, Яз(1) = — 1. Резонансный «я-импульса переворачивает магнитный момент. В. «90'-градусный импульс».
Если переменное поле включено в интервале т, удовлетворяющем условию Йрт = — я/2, то Б'(т) = (О, 1, 0). При 1 ) т после выключения переменного поля момент прецессирует в плоскости, перпендикулярной вектору Во. 7.3] Системы специального вида приводит (1) к диагональной форме: Но = — П]сг]в + П]сэ]г. Решение канонических уравнений сг -— — Агегпе, сг =- Аэе гпг. Если подставить а„в выражение у*ег7г/2, то получим Я(1).
7.3.11. Решение уравнения Шредингера .— Ф вЂ” ЙФ, Й вЂ” Й,+1'(1, х) можно искать в виде разложения (2) г — [а ггг [,-' <г,г'г — Ггл -:- г" гг] . (3) Подставляя (2) в (3), найдем после интегрирования по координатам новый функционал 1 = ~ М Ь, Е = — (с*„с„— с*„с„) + Н(с, с*, 1), Н(с, с*, г) = Ъ'„„с*„,с„ехр(гго„„1). Здесь го„„= ń— Е„, Ъ'„„— матричный элемент, Ъ вЂ” 143 Ф(0] Ъ(8 )Ф(0] Вариационные уравнения Лагранжа д1, дЬ сИ де*„де*„' д д5 д1, а дс„ дс„ принимают форму уравнений Гамильтона с„=- [с„, Н], с*„=- [слм Н] (5) с координатами с„и импульсами ]с*„.
Фундаментальная СП [с*„, сь] = = Ы„ы Из (5) находим йс„= Ъ'„,(8) с, ехр (аког„,1). (6) по собственным функциям Ф~ (х) уравнения ЙоФ~ = Е~ Ф~ ~о] (Е, — собственные значения). Показать, что коэффициенты с,(1) .<о] удовлетворяют канонической системе. Решение. Уравнение (1) является решением вариационной задачи для функционала [Гл. 7 382 Уравнения Гамильтона Существенным преимуществом представления (5) является возможность применения мощных методов теории КП для отыскания приближенных решений уравнения Шредингера. 7.3.12. Двухуровневая система.
Найти решение системы с гамнльтонианом Н = Ъ'аза!Еин + Ъ'*а,азе н~~, е = о!21 Начальные условия а1(0) = 1, а2(0) = О. Решение. После КП а1 = Ь, е 1~~1~, а2 = 62е!ЕН2 (см. задачу 7.3.10) получим гамильтониан Н = Ч6~61 + М*6162 — — д ([61[2 — [62[2). 2 Пусть $' = 11ое!т. Канонические уравнения имеют решение Ь! соеЯ2 [ гп!+ в!пд/2е 'т [ !Ен Ь2 — яп Я2е! ' 1 сов д 112 й в!од = $'О, й сов)3 = —, й = ~/О + [ — ) Заметим, что КП а — ! А сохраняет СП.
Учитывая начальные условия, находим А! = сов ф,12, А2 = егт яп Д,12, а1 — — [совйЬ+1 — э!ойдо) е, а2 = — 1 — япй2 е — !61,12 ° О ° И1,12т! 2й 1' ' й При д = 0 имеем а1 = сов 'го6, а2 =- — !ее 7 яп Ъо2 [54[. 7.3.13. Двумерный комплексный вектор О удовлетворяет уравнению О + е „(г) д = О, где е „= е,*„„-- эрмитов тензор. Записать систему в гамильтоновой форме. Найти решение в первом приближении метода ВКБ. Решение. Гамильтониан системы Н = р*„р„+ е „(1) о* о„. Произведем вначале диагонализацию квадратичной формы. С этой целью найдем решение уравнения е „и„= Лои .
Обозначая е12 = = [е12[е!е, получим собственные векторы 2[Е12[ Е1 ! — Е22 7.3] Системы специального вида соответствующие собственным значениям Л1 2 — — [611 + Е22+ (е11 — Я22) + 4 ~е12[ 1 1,2 р СЛ пи — Л Ьр (~ ~)ри Спср~ти ~р Поскольку 21~Ь = 1, то вклад производной ПФ можно представить в ви,че дР'2 осриррс7г + к. с.~ осрг ' '"ерш' ~ит' дс В новых переменных гамильтониан Произведем теперь КП ьс2Лр порождаемое ПФ Рг = — сЛрс7'„*сс' + с 2Лр (О'„а*„+ сс'*Ь*„) — са*„Ь„*. Новый гамильтониан 6 = Лр(а*,„ар + Ь,*,Ьр) — с " (арЬр — а,*,Ь*„) + + — всрп —" (а„*— Ьр) (а, + Ь,*,) + к.
с. Общее решение в ВКБ-приближении пс2Лр Заметим, что рассмотренная система описывает распространение волн в плоскослоистой плазме при нормальном падении [100[ или задачу двухканального рассеяния скалярных частиц [50]. 7.3.14. Преобразование Крейна. Показать, что гамильтониан О =- (р + йзт2) сс2 — Аяр, где функция А(Ь) удовлетворяет уравнению Произведем КП сс, р — г с1', р': сс„.= Ь*„д', р„= сл „р', порождаемое матрица, удовлетворяющая условиям ортогональности: [Гл. 7 Ураонснил Гамильтона 384 Риккати А — Аз+и(1) = О, порождает уравнение Шредингера т+ (йз+ + и(Х)) т = О. 7.3.15.
Система с континуальным числом степеней свободы. Гамильтониан системы Н = ~ д р [~(р) а„*ар+ — л(р) (а„*а*и+ ара р)1. Фундаментальные скобки Пуассона координат ар и импульсов га„* (а~, ар) = 1 дйй(1с — р), (аь, а*,) = (аь, ар) = О. Найти каноническое преобразование, приводящее гамильтониан к диагональной форме. Решение.
Произведем КА ар, ха„*— ~ ср, гс„*: Для определения функций и, и необходимо получить два уравнения. Одно из них следует из условия сохранения СП (2) Второе уравнение получим из условия того, чтобы преобразованный гамильтониан принял вид 6 =- [д ршрс„ср. Подставляя (1) в Н, имеем ш = (и + и~) )' — 2ии8, (4) ии1' — — (и + и ) д = О.
1 2 (5) Произведем параметризацию, полагая в (2) и = сй р, и = зй д. Подставляя и, и в (5), получим и~ + и~ = сй 2р, 2ии =- зЬ 2р, 15 2~р =- ду,(. Далее из (4) находим шр —— — г"з — дз . Используя соотношения и = — (сп2р+1) = — ~ — +1), и = — (с52р — 1) = — ( — — 1), 1 / Г' 2 2 (.юр Рг(а, с*) = [ Фр (вЬ ~рс*~„ + 2а с„ *— яй ла~ р). 2 ой~р 1 найдем явный вид канонического преобразования. Производящая функция преобразования (1) 7.4] Уравнение Гамильтона — Якоби 385 Во вторично-квантованной теории сверхтекучести гамильтониан Н описывает систему слабовозбужденных базанов, ар, а„* — операторы уничтожения и рождения базанов С44, 67]. Однако аналогичное КГ1, из-за некоммутативности операторов приводит к результату, который отличается от (3). 7.4. л'равнение Гамильтона — Якоби 7.4.1.
Частица движется по поверхности параболоида вращения. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Решение. Поместим начало координат в фокус параболоида. Тогда уравнение параболоида х2 + 92 = а2 + 2ах, где а/2 расстояние от фокуса до вершины. В параболических координатах С, 11, 1р уравнение связи гС =- а (см. задачу 2.2.19). Лагранжиан частицы 2 1 = — (С+ а) — + — Са1р — — (С вЂ” а). т т .2 тд 8 б 2 2 ВвоДЯ импУльсы, Равные РС = (тС4б) (б+ а) Р, Рт = теа1Р, полУчим функцию Гамильтона Н = — + + — тд'(с, — а).
2 Ырг рг т р+а 2тба 2 Имеем уравнение ( — ) + ( — ) + — тд(~ — а)+ — =О. 2с дд2 1 дд2 1 дд его решение ищем в виде Я = — ес + л41р + С(с), бьа Н2 С(с) = ~ 1Сс [тŠ— — — — т~я (С вЂ” а)] 7.4.2. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для частицы, движущейся в однородном постоянном злектрическом поле.
Решение. 4-потенциал поля можно задать выражениями 1р = — Ех, А = О или 1р = О, А = — сЕС, связанными калибровочным преобразованием. Во втором случае Н = — (р+ еЕС)2. 2т Будем искать решение уравнения — + — ( — +еЕС) =О дд 1 дд [Гл. 7 Урааненил Гамильтона 386 в виде о' = ох + 1(1). В результате находим д = сх — — [(с+ еЕг) в[в.
2 2т,[ Решение уравнений движения х' = дд/дс, р = дд/дх имеет вид х=х + — 8+ — еЕ8, с 1 т 2т р = с. Н(х, рв) = — — рва — еЕх . 2т 7.4.3 — 7.4.5. Задача Кеплера. Частица движется в поле тяготения, создаваемого однородным иваром. 7.4.3. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и решение уравнений движения. Решение. В сферических координатах гамильтониан задачи Кепле- ра 2 2 в Р Рв рг О + в + а ° 2 2т 2тгв 2тга в|па6 г Уравнение Гамильтона-Якоби Решение (1) следует искать в виде д = — Е1 + И', И = М,~р + дг(г) + 8,(В). Для разделения переменных положим (2) Тогда функция д'1 (г) удовлетворяет уравнению (3) Следовательно, из (2), (3) получим г в М~ ох д1 = ~в[г 2т(Š— а + — ), да = — ~ Ыд 2тг Мг вш д .
г Заметим, что ПФ Ев = хр' — еЕх1, реализующая КП (7.1.2) х = х', р = р' — еЕ1, приводит гамильтониан (1) к более привычной форме 7.4] Уравнение Гамильтона-Якоби Найдем теперь решение системы канонических уравнений, вводя константы дЯ дЯ дЯ вЂ” ~о= —: то= оМ, Фо= о (4) Ограничимся рассмотрением эллиптических орбит, полагая в (4) Е = — Ео < О. Вычислим интеграл 1 — 8р —— — 1+ 16т 2 М о ( Ео 2 ) гп 2тт ' т с помощью подстановки т =- а(1 — е соэД), а =-, е =-1— о о 2ЕоМ 2Ео ' тао В результате получим м(1 — 8р) =- С вЂ” е сйп С. Для вычисления второго интеграла фо =- — ~ ат( о) [ — ( — ЕΠ— о + — )1 к/2 положим М, = Мсое1, совр = сдпг' сйп~ (см.
задачу 1.5.3). Тогда имеем т = р ~1+ е сов (ф — Ыо)~, р = Последний интеграл М, 1 у,= р+ 4В,; сйп д Мг Мо ~ поо к/2 вычисляется с помощью подстановки с1к1 сок д = — О1п и: и =- Оо — уо. 7.4.4. Адиабатические инварианты. Записать полную энергию частицы в терминах адиабатических инвариантов эллиптического движения. Решение. Адиабатические инварианты, введенные Эренфестом, представляют собой интегралы по области движения частицы .1„= — ~ дт 2т (Š— + — ), .1, = — ~4В М вЂ”,;,,7, =- — ~4р М,. 1 М2 2к2 о1п'б ' " 2к ) [Гл.
7 ууааненил Гамильтона Для вычисления первого интеграла произведем замену г — » и: г = =- (гт — г1 ) иУ2 — (гз + гт) 1'2, где гя г1 — точки поворота [86[. Подстановкой и = ьтТ вЂ” и/~4 + и подынтегрвльное выражение приводится к рациональной функции. В результате интеграл вычисляется методом теории вычетов: Далее находим Ув =- М вЂ” М„,У, =- М,. Следовательно, Е =- — тоз/[2(,У, + М)з]. 7.4.5. Задача Кеплера в переменных действие — угол. Введем импульсы «действия»,Уз =-,У =- М,,Уз =-,Ув +,Уя = М,,Ут =-,Ут + + .Ув +,У„и координаты «углы» ют, юз, юз.
Найти КП: г, В, «о, р„, рв, рг — » ю„,,У„(п = 1, 2, 3), порождаемое производящей функцией в то~,7з а '1 Ез = ~ тУг 2тп( — — + — ) — ~ ВВ 2,1»~ 2тпг» "» «12 12 Уг з + 3 ° 2 яп В 2 + 'Уз»о+» 1' 2,У» Решение. Поскольку юа .= ВЕ2,1д./„, то, учитывая решение задачи 7.4.4, получим ать+ ют =  — е япс, г = а(1 — е созб), соз В = яп г' яп ~, г = р [1+ е соз (ф — юз) [ осби с18В =- яп («о — юз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
