Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Решение. Произведем КП к переменным действие — угол. Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби д = — ЕУ + И'(х, Е), »о 2 2 »12 И'(х, Е) = ~ т[х 2т(Š— — х«), хе = ( — ) Е'1«. (1) х Здесь р = Уз~/то, е~ = 1 — (,Уз/,Ут)~, а =,Ут'1то.
В новых переменных старый тамильтониан Н =. — тоз1'2Утз. Частота вращения по орбите ю =- дН/дУт = тоз/,Утз. В результате КП новый гамильтониан обращается в нуль: импульсы,Уь и координаты ю„константы. 7.4.6. Гамильтониан, описывающий одномерное движение частицы 7.4] Уравнение Гамильтона — Якоби 389 Введем новый импульс — действие.' 1 1 2 4Ез!4 1/з 1 = — дх 2тп(Š— — х4) = ( — ) ~ ди 1 — и4. (2) 2я 4 и 8 о Учитывая тождество 4 1 д 4 2 1 1 — и4 = — — и 1 — ил+в 3 Ни 3 ъ~1-и4' 1 1 1 4 4 2] еш 2] ае ь2 Г1 '.~ ~:- ' '.~ ЛГ-.*Ген ьЧ ' ~ЛГ о где К(1,1уе2) — 1,85.
Следовательно, 1= Ез/~, = ~~ (~ ) ~. подставляя е в (1), найдем производящую функцию кп х, р — 4:р, П Ез(х, 1) =- И~(х, Е(1)). После приведения интеграла к нормальной лежандровой форме получим т дЕ ] ди я Ни 2Е д1 ] ьГ1 — и4 2К в!*е х! ео (1 из) + 41 из (2 2 х=хосп( ), хо=( — ) ( — ) дЕ, д1 Далее находим (Е 8 ) --р)'~' 2кр „2К р В новых координатах гамильтониан 6(1) = (1(а)4~з. Частота колебаний д" 4 — 4/311/3 д1 3 Используя соотношения, связывающие эллиптические функции, убе- димея, чта СП (Х, р] .
4 = 1. интегрируем по частям и подстановкой и = 1 — з~ приведем результат к полному эллиптическому интегралу: [Гл. 7 Урааненил Гамильтона 390 7.4.7. Частица движется в поле 11 = 17(х). Найти производящую функцию Р'1 (х., х'., 1) канонического преобразования к постоянным координатам и импульсам: 1) Н(х) =- О; 2) Н(х) =- тызхв,~2. Решение. Функция Н(х, 1) является решением уравнения Г-Я вЂ” + Н(х, р — —, 8) = О. дд дд Определяя из уравнений х — х(х', р', 1) значение р' .= я(х, х', 1), соответствующее траектории, проходящей через точки х' и х = х(1), получим искомую ПФ Еч(х, х', 1) = ~ еЫ' 1(х', .чг(х, х', 1), 1') .
а 1) Из уравнений движения следует х = х'+ (р'/т) 8, р = р', 1 = = р'2[2гп, 2 Рч(х х 1)= ~ей а = — (х — х). 21 21 о 2) Решение канонических уравнений х = х созыв+ в1пы1, Ф р ты р = — тых в1п~Л+ р совы1. Подынтегральное выражение 1(х'., р', 1') = — (р'~ — т ы х'~) сов2ыг' — ых'р' в[п2ы1' 2т после подстановки р'приобретает вид 2 [х'~ сов2ы(8 — 8') + х сов2ы1' — 2хх' совы (21' — 8)1.
2 в!прыг Из (1) находим Е1(х, х', 1) =- ™ы [(х + х'~) совы1 — 2хх'~. 2 в1пыс Пусть х = х(х', р', г), р = р(х', р', 1) решение уравнений движения, являющееся КП к постоянным значениям х' и р'. На траекториях системы функция 1(х', р', 1) = о'(х(х', р', 1), 1) удовлетворяет уравнению ч1 дд дд ~й де дх — = — + х = — Н+р„х =1(х', р', 1). 7.4] Уравнение Гамильтона — Якоби 391 ,((х', р', 1) = Яо(х') + ~ М 1(х', р', 1'). о Решение канонических уравнений определяет траекторию частицы, выходящей из точки х' с импульсом р' в момент времени 1 .= О. Из начальных условий следует, что вектор р' имеет в точке х' вполне определенное значение р' = доо/дх'.
Подставляя р' в уравнение траектории х =- х(х', р', 1), найдем координату точки х1в(х, 1), из которой выходит траектория, проходящая в момент времени 1 через точку с координатой х. Следовательно, решение задачи Коши о'(х, 1) = 1 (х~(х, 1), р (х~(х, 1)), 1) .
Пусть для свободной частицы дс(х) = с2х2/2, тогда 22 1(х', р, 1) = — ох +— 2 2т Поскольку р' = еех', то из уравнения х = х' + (р'/ти) 1 находим х,=х(1+ — 1) '., — 1 Я( ., 1) = 1 '(1+ — 1) 7.4.9. Частица движется в поле 11 = П(х). Найти функцию КП г (х, х', 1) к постоянным координатам и импульсам в виде ряда теории возмущений.
Рассмотреть случай 11(х) = — тиих. Решение. Ьудем искать решение уравнения Г-Я в виде 2 ьп Р(х, х', 1) = + 1п Еп(х, х'), ~ = х — х'. (1) п=-1 Функции Рп(х, х') удовлетворяют системе рекуррентных уравнений (и + ьепдп)Рп =- 1Рп(х) (2) р, = — Г!(х), 122 =-О., 222 = — — (ьР1), 1 Следуя Фоку [101], запишем тождество 1(х) = — е]в — вп 1(х'+ Св), о 7.4.8.
Найти решение задачи Коши для уравнения à — Я с начальным условием Я(х., 0) = — де(х). Решение. Общее решение уравнения à — Я д(х, 1) на траекториях системы о (х(х', р', 1), 1) =- 1(х', р', 1) имеет вид ]89] [Гл. 7 Уравнен л Гаиилыпона 392 учитывая которое получим решение (2) Р'„(х, х') = ~сЬ в" ' д„(х'+Се). а Очевидно, выполняется соотношение Р(х, х', г) = г'(х', х, 1). Пола- гая о'(х) = — тих, получим точное решение уравнения à — Я 2 3 г'(х, х, 1) = + ти (х+ х ) — — те тс ! " 2 ~ 22 2 24 (3) Из (7.1.Ц находим КП х = х'+ (р',~т) 2+ и (г'/2), р = р'+ тф.
Новый гамильтониан в соответствии с (7.1.5), (3) равен нулю, [Гл. 8 Каноническая теор л возмущений да'(и, с) .. д сс'(и, с) ва(с) = — оспа д ', зорй = 2о' д д' ззрр и и„из Интегрируя эти уравнения, найдем из (5) решение исходной системы с с, с„, еп ~ <й, ~ М,... ~ сИ„х о=О са са со [зр(зо, 1), п(вы Ьс)]п(йш 10)] ..]сс(йп~ 1п)]~ (8.1.7) где ьяа — = зр(зо: Ьа), зоа — = з„'(Ьа). СП вычисляются по ссеременным „(.) [1]. Произвольная динамическая величина Е =- Н(з, 1) удовлетворяет в силу системы (1) уравнению — = — + [Р, Н]. аг дР с дс (8.1.8) Решение (8) также может быть представлено в форме (7) оо г(с) =- еп ~ Мс ~ сссз... ~ ссс„х са со со х [... [Р(й(1)а Х), 1с(вм Хс)Ъ(йз, Хз)] ..
з1с(йп, Хп)]. (8.1.9) При конкретном вычислении членов рядов (7) или (9) возникают СП вида [ ~(заа Ьа); В(зЬ; 1Ь)) д — [воаа ьаЬ] дА дВ которые можно представить в терминах запаздывающих функций Гри- на Соо(1а 1Ь 80) = д(1о 1Ь) [ьв(са); во(1Ь)~ (8 1 1О) Заметим, что в качестве гамильтониана нулевого приближения можно взять НО = О. Если гамильтониан Н не зависит от времени, то в этом случае (8.1.7) приобретает форму ряда Тейлора; зр(1) яро + [зоО~ Н(зО)] (1 10) + [[яро~ Н(зО))Н(зО)] 2с + ' ' ' (8.1.11) Исследование сходимости полученных решений может быть проведено на основе метода мажорантных рядов Коши или методом сжатых отоб- ражений.
Для определения з' (и, 1) подставим (6) в (3). После вычисления и-й производной по е от обеих частей (3) положим е = О, тогда получим систему линейных дифференциальных уравнений 8.1] Введение 395 Пример 1. Найдем решение уравнения ]102] дУ х= — — +ос"(хг с), е «1. дх Гамильтониан задачи Н = Но + е6., г Но = — + У(х), е 6(х, 1) = си(х, 1), 1" = — ди]дх. Полагая в (8.1.7) е„=- х, получим х(1) =- хйй (1)+х]с с(1)+ +..., х]о] = х, = х(х,',, р,'„1) -- решение невозмущенного уравнения, (1) = ~сСссС(1:1с: хо; ро) — и(хг 1г) дхс са Согласно (8.1.10) Очевидно, функции сс(1) = дхссдх~о, сг(1) = дхссдро являются линейно-независимыми РешениЯми УРавнениЯ С + С (д~ьсссдх~) = О, а функция Грина решением уравнения ~+~ г ( с)' Васс' дх Заметим, что в переменных действие 1 = рсо, угол ссг = хсо исходное уравнение имеет вид д Но дх"' дход ссс = — ек ~, 1 =- ег Н(ср, 1, 1) = 1(хсо~с(ср, 1, 1), 1), Но = Но(1).
Пример 2. Найти решение уравнения х = а(1) х + 6(1). Гамильтониан задачи Н(х, р, 1) = р (ах + 6) (см. гл. Х). Представим Н в виде Н = Но + е6, Но = арх, е6 = 6р. Решение уравнений (8.1.2) *=* - ]]с .оо].,=, ~-]с,.ов] со со является КП х, р — с х', р'. Теперь следует найти решение уравнений (8 1 3), где е 6 (х', р', 1) = 6(1) р' ехр ~ — ] сссг а(1г)~. Полагая в (8 1 7) се [Гл. 8 Кононичеенол теор л возмущений 396 зл = х(х', р', 1), находим, что ряд обрывается на втором члене, и мы получаем точное решение у ,уа —,',.„[[а1, оа1е[ааьо,).«а[[аеес1.
еа еа еу 8.2. Интегрирование уравнений движения 8.2.1. Найти приближенное решение уравнений движения частицы, движущейся в поле тяжести 1У (х) = — тйх в системе отсчета, вращаю- щейся с постоянной угловой скоростью й. Решение. Гамильтониан задачи Н[х, Р) = — — тйх + аз,„еРох„, = р 2т где аз„„= ен„айа. Выберем гамильтониан нулевого приближения Но = =- О. Тогда все СП в (8.1.й) могут быть выражены через две специаль- ные СП [хао Н) = — + иу, х, (р,.
Н) = тле, + иу, р„. р' т Действительно, [[х, Н',Н,~ =т [р, Н)+оу „[х, Н)= -1 Ют + 2т азтере + аутеаз. ахд, [[[хт, Н) Н) Н) = 2оу „д„+Зт ~уо аш дрд+ау ... [х, Н[... Н~) =3иУт,оУ,РКД+4т оа аз иӄР— 1 + оутаиу Зиураа/алеха. Для упрощения зтих выражений воспользуемся соотношениями оутеАе = ета-,йуАу = [Ай)т; оу рАр = [[Ай'й) ш дувр А = — йз [Ай) Учитывая начальные условия х (О) = х', х (О) = и = р уУт + + ао уухз(0), получим х(Х) = х' + чХ + [8 — 2 [йч) — [й [йх'Ц ) —, + Фз + (2 [8й) + 3 [й [йч)] — 2йз [йх')) —, + 4 + [3 [[8й) й1 +4йз~йч) +3 [й[йх'))) —, +...
8.2] Иптегрирввание уравнений дв всеен и 397 8.2.2. Найти приближенное решение задачи Кеплера. Решение. Гамильтониан Н(х, р) =- рг/2т+ Н(х), У(х) — — — аДх~. Несмотря на то что решение уравнений движения может быть найдено в квадратурах, для получения явной зависимости координат от времени необходимо использовать приближенные методы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
