Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Полагая в (8.1.11) з„= х„, получим 1, 1 С 1 х =хс + — р 1 — — д Н вЂ” — — д,Ур' — + 2! г с Зс Вычисляя производные., найдем хр — — иг(1) х„+ иг(1) рр, где ис,г линейно независимые решения уравнения движения а С За х'р'С и,=1 — з — + — ', тгз 21 тг гз 3! 1 а С бахр С иг=- — 1 — — + — — +... (2) сп г,з Зс з,з 41 Ряды (1), (2) при определенных условиях быстро сходятся и могут быть использованы при определении элементов орбит КА [24).
8.2.3. Найти зависимость переданного импульса от прицельного параметра при рассеянии высокоэнергичных заряженных частиц. Решение.. ВыбеРем Нв —— - Рг)2т. Тогда х =- х,' + Р'1)т, Р р'„. Эволюция новых переменных определяется гамильтонианом Н'(х', р', 1) =- — а~х'+ р'1/т~ с. Полагая в (8.1.7) ьр — — рш е6 =- = Н'(х', р', 1)., получим Ра(г) = Рд(10) + ) сссс (Р<, ххр(сс)] д- (С ) + Ис(х(Ь)) со =. р'. (1,) — ~ а, (*, + Р,") )., +...
(1) ~х е р с„'т~' Са Пусть Ь вЂ” прицельный параметр. Полагая в (1) х' =- Ь, р'(1в) = тъ, 1в -+ — оо, (Ьи) = О, получим р(1)=тзс — — (Ь +и 1 ) ( — — — — ) — — Ь+,„, (2) а г гг — сСггвСЬ тт а О (Ь Ь и) Ь„ Переданный импульс ц =- р(оо) — ти = — (2ассиЬ ) Ь. Заметим, что (2) можно представить в виде )103) +2 ~ сбг г г~~+ [Гл. 8 Каноническая теор л возмущений 228 8.2.4. Найти Решение УРавнениЯ тх + тосоох = Р'(с).
Решение. Гамильтониан задачи Н =- Но + есН, Но Р + о хо ЬН х сг(1) 2т 2 Найдем решение Р х = х созисо1+ зспзсо1,. с р тисо р = — тисох' осписо1+ р' сов исо1 уравнений, порождаемых гамильтонианом Но. Эволюция штрнхованных переменных определяется гамильтонианом Н'(х', р', с) — х(х', р', с) Р'(1). Вычисляя СП в (8.1.7), находим, что ряд обрывается и дает точное решение с х(1) = х(1) — ~ сС1 [хч(Х), х(Х )) Р(Х ).
со Введем функцию Грина соотношением (8.1.10) С(1, 1') =- — 0(1 — 1') [х(1)., х(г')~ =- 0(1 — 1') осе сйписо (1 — г'). (2) Тогда (1) приобретает вид х(1) = — х(1) + ~ Ы с (1., 1') Р(с'). сс — = — — б(1 — 1') [х(с), х(1')1 1— 0(1 — 1') [х(1), х(1')) = 1 = — — 0(г — 1с) [р(г), х(г')~, 1сб йС~ сп = — — б(с — 1') [р(1), х(Х')1~ — — 0(1 — 1') [р(1), х(1')~. т Поскольку р = [р, Но)= — тес~ой, то 2 йгс о т +ос С= — б(с — 1). 8.2.5. Найти приближенное решение уравнения 2 х+исох = — х . ззо з о Найдем уравнение, которому подчиняется функция Грина.
Из (2) по- следовательно получим Интегрирование уравнений дв женил 8.2] 399 Решение. Система канонических уравнений с гамильтонианом 2 2 4 Н(х р) = — + ас р ггх х о(2с ф) эквивалентна исходному уравнению. Представим (1) в виде Н = Но + + ЬН, где Но .= ргсс2+ тасогхгсс2. Решение уравнений, порождаемых Но, 21 х = — соя (сво1+ р), р = — 21сво я]п (сво1+ оо) оса является КГ! х, р — с срс 1. Эволюция новых переменных определяется гамильтонианом Н'(ср, 1, 1) = — (асо21'4!) хс(срс 1, 1). Полагая в (8.1.7) 2 = х, еЬ = Н', получим дН' д2нс дн' (х(11), х(сг)] + со са г 1 ) осо -з(! ) + со са Здесь С(1, 1') —. функция Грина (8.1.10).
Поскольку ряд (2) определяет общее репсение, то вклад интегралов на нижнем пределе 1 = 1о можно не учитывать. Г!осле вычислений получим х(1) = х(1) + хр](с) + + х!2] (1) + 21 ясг х!П(!) =, ( — ) ~Зосо1 я]п(сво1+ ср)+ 3 1 + — соя (ого! + ус) — — соя 3 (ого1+ ас)~, 2 4 хс 1(2) = ( — ) ~ — Зос 1 соей+ — (23 я]пф — 3 яспЗус)+ оооо 2о4с (,асо) ~ о 2 1 + — (138 соя ф — 39 соя Зф + соя бф)~, х(1) = х(1) + ~ сИ1 '(х(1), х(11)] со с, + ~ сссс ~ с(сг (х(г), х(11)] =й(1)+ ~ а со + ~ 4441 / Сссг С(ос 41) г г х (11) С(11с 12) х (12) + (2) [Гл.
8 Кононичеснол теор л возмущений 4ОО где Ф = ыо1 + р. 8.2.6. Най ги приближенное решение уравнений движения заряженного анизотропного осциллятора с потенциальной знергией Г1(х) = = тог~ хг /2 в слабом однородном магнитном поле с индукцией В [104[. Решение. Гамильтониан осциллятора Н(х, р) = — (р — — [Вх]) + 11(х) представим в виде Н = Но + ГгН, г г Но = — + Гг'(х).
гаН = — р [Вх) + г [Вх) 2т 2тс 8тс Найдем вначале решение уравнений, порождаемых Но, 21„ х = соз(ы 1+уг ), тог ра = — 2т1 ы зш(ыа1+ р ). Полагая в (8.1.7) з = х, сЬ = Н'(р, 1, 1), получим дН'(1 ) х (1) = У (1) + ~ Жг ([х (1), х,в(1)] + ее 21,„,1/г х (1)=-х (1)+ е пВ ( ") х / 1 х Жг ( — зшю (1 — 1г) з[п(ог„1г + р„)— 1 — — созог (1 — 1г) соз(ып1г+ ~р„)). Вычисляя интеграл, получим х (1)= соз(ю 1+р )+ 21„ тес 21 огп г г з!п (ып~ + гго) + гпмнп о1 — х3 + еаепПг + [* (1) рд(щ)] я- ) + ..
(1) СП пропорциональные функциям Грина соответственно равны [й (1), хд(1Г)] = — (ты ) о д зшог (1 — 1г), [й (1), рд(1Г)] = б р созиг (1 — 1г). Ограничимся величинами — В, тогда сгН =- — (е/2тс) еи, риВ х,, следовательно, 401 Реакция системы на внешнее возмущение где Г1 = (е/тс) В. 8.2.7. Электрон движется в электромагнитном поле, 4-потенцивл которого Ао(х) =- — (х~+ у~ — 2в~), А(х) =- — ( — у, х, О). Найти решение уравнений движения при наличии переменного высокочастотного поля, 4-потенциал которого Ао(1, х) =- — хЕ(1), А =.
О. Решение. Гамильтониан задачи Н(х, р, 1) = Но(х, р) + еохЕ(1) содержит слагаемое Но, определяющее движение электрона во внешнем поле. Учитывая решение задачи 7.2.8, заключаем, что эволюция сз, ! определяется самильтонианом Н'(х, Х, 1) = ео х(оз, 1, 1) Е(1). Из (8.1.7) находим, что ряд обрывается и дает точное решение х„,(1) = йт(1) — ео ~ 41 Стн(1 — 1 ) Ен(1 ). ~о Здесь С „(1 — 1') = — В(1 — 1') [х (1), х„(г')) — функции Грина: Сы(т) =- (тпЬ) 1В(т) (сбпозгт — э1пыэт) = Сээ(т), Сш(т) = (тЬ) ~В(т) (совоз1т — сов ыэт) = Сти(т), Сзз(т) = (гйшз) В(т ) в!п(зззт).
Остальные элементы тензора С „(т) равны нулю. 8.3. Реакция системы на внешнее возмущение 8.3.1. Гамильтониан, описывающий некоторую систему частиц, взаимодействующих с внешним полем Н(х, р, 1) =- Но(х, р) + Н,(х, р, 1), Н, = — В (х, р) И (1). При йо — г — со система находится в статистическом равновесии с известной функцией распределения В(х~о, ро), где хо = — х(1о), Ро = Р(1о) Найти приращение среднего значения произвольной динамической величины А (х, р), обусловленное взаимодействием системы с внешним полем. Решение.
Обозначим координаты и импульсы единым символом з =. (х, р). Пусть з =. з(зо, 1) решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Но(з). Среднее значение произвольной динамической переменной А (е) в равновесном состоянии (Аа)о = ~ с)Го Аа(з(зо 1)) Во(зо) с1Го = П с( *'о с( Ро. [Гл. 8 Канонические теор л возмущений 402 Далее адиабатически включается взаимодействие, и среднее значение становится равным (А.)а =- ~ей'а Ав(з(з', 1)) Ва(зо) где е' = з'(за, е) — решение канонической системы с гамильтонианом Н' = Нг (з(з', 1), 1) . Подставляя в (Ц выражение А, =- Аа(з(за 1)) + ~ е111 ~Аа(з(зо 1)) Вв(з(за 1г))1 зев(1г)+ найденное по канонической теории возмущений (8.1.9), получим в ли- нейном приближении (А ) = (А ) + ~ е11' С„~д ~(0 — 1') ЪЯ1') +..., С' р '~Π— 1') = — й(1 — 1) ((А (з(зо 1)), Вд(е(зо 1))1 ) (2) Пусть (В„)а = О.
Полагая в (2) А = В и подставляя (В„) в (4), получим езра = — ~ "1~ ~ еггаС а (гз гз)1' (гз) гр(га)+ . (5) Далее удобно перейти к спектральному представлению функции Грина: С(ВВ)( ) ( ы (нн)( ) — «ге-~-еа)т тн ) 2 втп (б) Подставляя (6) в (5), получим '-~ра =. 2, Е ~ ивз ы ~Квв (ы) КРо (вз) ~ ги(щ) Ъд(вз). (7) а Здесь С, (е — 1 ) — запаздывающая двухвременная темперагурная (АВ) функция Грина. Соотношение (2) для линейной реакции системы является формулой Кубо ]1051. Выберем в качестве динамической переменной обобщенную энергию ра, равную значению гамильтониана на фазовых траекториях. Поскольку ра = деНм то приращение 403 Реакция системы на внешнее возмущение Для вычисления д (оз) представим среднее значение СП в виде <вв> ([Н (еъ), Нд(ег)~) = — — ~ доз зсФЖ(оз) е —,ыре,— вй (8) Согласно определению н„э (щ) эрмитов тензор: н„д (ш) <вв> <вв> (ш).
Используя фурье-представление О-функции, вычислим *~вв~ интеграл ) Атд(т) ехр(мвт) = г(аз+ РО) 1. Теперь найдем оз <вв> <вв]( ) ~ „,<вв)( ),„, 1 ~ а, " з (ы ) (О) н ) ы — аГ.~-еО Это соотношение связывает тензор обобщенной восприимчивости д „д (щ) с его антиэрмитовой частью. Действительно, поскольку [вв~ 1ш (х + ей) ' =- — кд(х), то получим соотношение 2г ~~'*о позволяющее представить (7) в виде а ро .=- — ~ 4ш оззс д (оз) 1' (ы) 1'о(ш). е Используемая здесь техника вычисления обобщенных восприимчивостей применима лишь к слабонеравновесным состояниям, поскольку ряд (2) соответствует теории возмущений. 8.3.2.
Система % трехмерных осцилляторов взаимодействует с внешним электромагнитным полем. Найти в дипольном приближении тензор диэлектрической проницаемости среды и приращение энергии осцилляторов. Решение. Гамильтониан системы невзаимодействующих осцилляторов Н =- Но + Ны г г Н, = — + — +и(ц), р н 2т 2в а Н1 — — — е ~Фх'с2Е(~, х') б<з~(х' — ц(1)). Здесь р, В, л, ц импульсы и координаты центра масс и р точки. Решение уравнений с гамильтонианом Но.
.р = р', Р К = Рь'+ — 1, о„= о„(з, 1) ехр ~ — г(вй)1 — з(вуз)1 ОО [Гл. 8 Каноническая теория возмущений ЯвлЯетсЯ КП Р, В., зг, г1 — г з' = (Р', К', 1„, ез„), (вй) = згозг + + за~в+ ззолз, (яуз) = — згдг + зз~ра+ езда. Для решения задачи введем индукцию 1л(г, х) = Е+ 4яР [13). Вектор электрической поляризации системы Р Р(1, х) = (г1(1, х, х')), г[ = е ц(1, ~р, 1) Б[~[(х — К' — — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
