Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Учитывая (7.1.1), находим х =- Ь ~ (сх'+ р'), р = 6 1 (йх'+ ар'), х' = Ь 1 (ах — р), р' = Ь ' ( — Ьх+ ср), где й = ас — Ь~. Новый гамильтониан Н'(х'., р'., Ц) = —, (а + ю+ а) р' + —,, [аЬ+ с(ю+ а) — 66]х'р'+ + —,, [с1 + с (ю+ а) — 2с6Ь+ сбв~ х'~. (2) 2Ь Подчиняя функции а, Ь., с условиям а +ю+а = Ь~, получим Ь = Ь(с — а), (3) е х'2 Н(х:р с)=. 2 +ю(г) 2 ю(г)=ю+а с +6+с.
(4) а — Н(1) + а = в ,. — о" (1) = — Н(8) + 2а. Полагая Г(г) = О, приходим к тривиальному уравнению х' — Л х' = О: х' =- п|е л' + псе~'. Тогда., исключая Н(г), имеем в а = а — в — > а = — в 1п в1, Н =— 2 2 сй вв Следовательно, решение нетривиального уравнения а х — (Л +, )х.=- О определяется преобразованием Беклунда (1). 7.2.3. Преобразование Дарбу. Найти КП, связывающее решения двух уравнений [95] х'+ ю'(1) х' = О, х+ю(1)х = О, где ю(6) = 2 [Š— Н(1)], ю'(1) = — 2 [Š— о" (6)]. (2) Заметим, что при а = хзх~, Ь = х~, с = х1хв 'хы хв — два линейно — 1 — 1 — 1 независимых решения) шмильтониан Н'(х', р ., 1~ =- О. Преобразование Беклуида.
Пусть ю(1) = — Лв — Н®, ю'(8) =- = — Лв — Г(1), Ьв = вв — Лв > О. Из (3), (4) получим систему [Гл. 7 Урооненил Гамильтона Решение. Исходные уравнения являются одномерными уравнениями Шредингера. Пусть хо(1) — частное решение уравнения хо + 2 [Ео — П(1)) то = О. (3) Полагая в формуле (2) задачи 7.2.2 а = с = хох,1 1, Ь = 2(Š— Ео), получим ю'(1) = — 2 [Š— 11'(1)1, П'(8) =- П(1) —— (4) Таким образом, искомое КП х' = [2(Š— Ео)) ( — '* — х). (5) х = — [г — — )х эквивалентно действию оператора рождения на вакуумное состояние [94].
В результате н-кратного преобразования (5) получим функцию с собственным значением п + 1/2. 7.2.4. Найти алгоритм диагонализации гамильтоннана О(т, р, 1) = =- р2,1'2+ 1о(1) х2,12 на интервале, где ю(8) ) О. Функция ю(1) изменяется адиабатически медленно:ю2 « [юз[[95). Решение. Произведем КП х, р 4 х1, р1, реализуемое ПФ Р1(х, х1, 1) = — — (а1х — 2Ь1хх1+ сзх1). 2 2 2 Из формулы (2) задачи 7.2.2 следует, что если подчинить функции а, 6, с условиям а2 + ю = О, 4л~ + с21ю = О, то старый гамильтониан в новых переменных будет иметь диагональную форму. С другой стороны, условие с1а1 — Ь161 = О устраняет вклад диагонального слагаемого в новый гамильтоннан от производной ПФ.
Полагая 12 Ь .Я 14 мы удовлетворим указанным выше условиям и получим КП 'ю — 1 1'4 4Ю 124 Х = (Х1 — 1Р1), Р = — (Х1+1Р1), Ъ12 ь'2 (2) А. Полагая в (3) Ео = О, хо = е ", получим П(8) = (22~ — 22) 12. Тогда из (4) следует, что (Г(1) = (1р2 + 1р) /2. Решения уравнений (1) связаны преобразованием Дарбу. В. Пусть Ео = — 1,12, Ь1(1) = 1~,~2, тогда хо = е1 14. Полагая в (2) Е = 1/2, получим х = ехр( — 12 112). Из (4) следует, что функция х', удовлетворяющая уравнению (1) с 1Г(1) = 12412 — 1., соответствует собственному значению Е' = Е + 1 =. 3/2.
КП (5) 7.2] Линейные канонические преобразования 363 которое диагонализирует старый гамильтониан. Однако вклад ПФ дает недиагональную составляющую; 0((х(, р,р 1) =- — Ью 7 х(рг — — — (р, + х~~). (3) Решение уравнений, порождаемых первым членом в (3)р х1 = лР7 ехР( — гФ)р Р( = гъ7 ехР(гФ), Ф = ~эРю сМ+(о, (4) является КП хы р1 — э (ор 1, После подстановки (4) в (2) найдем первое приближение ВКБ Я вЂ” гр'4 ~ г р+ Для построения высших приближений можно исходить из уравнений, порождаемых гамильтонианом ЬХХ = — (1((4) (ю(Рю) 1 сйп2ор. Однако в гамильтоновском формализме существует уникальная возможность получить н-е приближение, не используя предыдущие приближения.
С этой целью произведем КП хи рг — г хг р рг р порождаемое ПФ типа (1) Р((хы хг, 1) =- — (агх( — 26гх(хг+ сгхг). г г Сущность метода состоит в том, что необходимо, как на первом этапе, обратить в нуль коэффициенты при ргг и хг гв гамильтониане и коэффициенты при хгрг в производной ПФ. В результате получим систему аг = сгр аг — Ьг =. 1р ю 7 аг + — — (1 + аг) =. О.
(5) Новый гамильтониан приобретает вид Н(,,р,,д=-;Ь,' ~ ык(,,'рцр — — ср],р,р + 2 (Рг — хг) . (6) Для определения функций аг, Ьг произведем параметризацию, положив агЬг ~ = ир 6г ~ = и, и = сЬ агр и = зЬ аг. Тогда из (5) следует, что 1](2сег = — — ю(ю ~~~, ю1 =- ю(р4ю. Используя соотношения и, и = — (сЬ2срг х 1) = — ( х 1), 2 2(,Лг получим явную форму КП (7) х( = ихг + орг, р( = ихг + ирг [Гл. 7 Ураененил Гамильтона и новый гамильтониан Нг(хг: Рг: 1) = — гЛгхгРг (Рг хг)~ 1 т Н огг 2 Лг г«И игт ' (8) Подставляя (7) в (2), имеем — м4 х =- ((и — ги) хг — г (и+ ги) рг).
ъ'2 Диагонализация гамильтониана линейным КП может быть неогра- ниченно продолжена. Если ограничиться вторым шагом, то решение уравнений, порождаемых первым членом в (8), г хг=Ле ™, Чг=~ го — ( — ) <й+дг. Отметим, что в излагаемом решении каждый шаг точное преобразование исходного уравнения. 7.2.5. Найти КП, порождаемое производящей функцией ег(д, Ч', 1) = вЧгдг — 6дгдг — Йдгд~ + сдгдг, где а, 6, с, д -- функции времени. Решегше. Из соотношений (7.1Л) находим дг = 6 (сдг + Рг), Чг = д (сЧг+ Рг)~ (1) р, = д г (ар', + Ьдг)., рг =- 6 ~ (арг+ Щ), дг = д, совЛ+Рг шпЛ, дг — — дг совЛ+ р', шпЛ, Рд = — д~г вш Л+ Р'~ сов Л, Рг = — д' шп Л+ Рг сояЛ.
Полагая а =- с =- с1Ь Л, 6 = Н =- вЬ ' Л, получим еще одно преобразова- ние. Заметим, что производящая функция гг(д, Р, г) = — елдгдг — Ргрг + 6дгрг + е1дгрг~ с реализует то же преобразование (1). 7.2.6. Найти КП, порождаемое ПФ Рг(х, Р; 1) = (ахг + Ьхг) Р~ + (Мхг + схг) Рг = Л„ер'„х„, где гл —.— ас — Ьд. Это преобразование оставляет инвариантной величину д,Р~ — дгрг. ПолагаЯ а = с = с18Л, Ь = Н = (з1пЛ)' ', полУчим преобразование поворота: 7.2] Линейные канонические преобразования 365 где а, Ь, с., Ы вЂ” функции времени.
Решение. Из соотношений (7.1.2) находим х'„.=- Л х„р =- Л р' . Вычисляя матрицу Л 1., получим преобразование в явном виде; х1 = й 1(сх1 — Ьх~з), х2 =- й 1( — ах1+ ах2), (1) Р1 =- ар1+ г1Р2 Р2 = ЬР1 + ср2; где 22 = г]е1 Л = ас — Ы. Нетрудно проверить, что КП сохраняет СП при произвольных значениях параметров а, Ь, с, 11.
Если Л вЂ” матрица направляющих косинусов, соз у яп Р— яп р соз ~р то (1) представляет преобразование координат на плоскости при повороте на угол ~Р(1). В этом случае вклад производящей функции в новый гамильтониан можно представить в виде г г 1О ор Хо ЛооЛ а. Угловая скорость вращения ыз — — ез„р1о' р(2 = р(1). 7.2.7. Найти ограниченное решение двумерной канонической системы с гамильтонианом Н = — ~ р,д + — 6„„;Х,)~ р,„+ — ЬоцХ1 ) + — Ы,„Хоо 2 1 Гдс Ьнн = — 6„.,„(2, т = 1., 2). Решение, Канонические уравнения 1 1 . х =р„,+ — Ь „х„, р,= — — х 6,— йх, 2 ' 2 (1) эквивалентны уравнению второго порядка х — Ь „х„+Й х =О. Г1олагая х = Ве и е 111, приходим к алгебраической системе '(( — Л +й )б „+2Л6 „]и„=-О.
Г1риравнивая нулю детерминант, получим собственные значения Лг 2 = — ~61+ Гсз+ Ь х (121+ Гсз+ 62)2 — 46162 ~], Ц2 здесь Ь21 = Ь ) О. В этом случае Л2 < /с ( Л1. [Гл. 7 Ураоненил Гамильтона 366 А. Предположим, что Ьг — — огм Ьг = ыг, тогда г г 1 Л1 г = — [ Ь~+(иг+ыг) + Ьг+(огг — ыг) 2 Собственные векторы, соответствующие собственным значениям Лы л, оуг гьлг ' [г~ г — 1ЬЛг Представим решение как КП к постоянным координатам и импульсам. С этой целью най,чем из первого уравнения (1) собственные векторы и„,00, соответствующие решению системы для импульсов: — гЛ (Л вЂ” огг~) (Лг + ы~~) ь(л', + 4) — елг ' (ыгг — Лгг) (Лг г+ ыд) Ь(лг + огг) АЬ 2 Мя ош[г[ Общее решение системы (1) представим в виде — юл„е р,„= Ке и,,бйа,„е — ггн» х = Кеи бйане Выбирая а„, га* в качестве координат и импульсов, найдем Мг: [2лг (Лг ыд ) (Лд Лг)) 1 Мг:- [2Лг (шг Лг) (Лг~ Лг)) В.
Предположим теперь, что /сг —— — ыг~, Ьг = — оггг, тогда 1 [ Ьг ( , ,)г ~ Ьг ( , ,)г 1 1 тя г тП Н(х, р) = — (р — д) + — ( р„+ х) г 2 — — тш (х +у)+ — + р. тыз з 2т 2 Заметим., что Лг ( О. 7.2.8. Электрон движется в электромагнитном поле ловушки Пеннинга, задаваемом 4-потенциалом Ао(х) =..
(2а ) г Н(х + у — 2гг), А(х) = 2 г В( — у, х, О). Потенциал Ао(х) удовлетворяет уравнению Лапласа и может быть реализован системой гиперболических электродов, изображенных на рис. 7.2.8. Найти КП, приводящее гамильтониан к диагональному виду, и решение уравнений движения [1[ (В ) Решение. Гамнльтониан задачи 7.2] Линейные канонические преобразован л Рис.
7.2.8 еоВ г 2ео11 1вз тс ' з таг Произведем вначале КП 1 у = — — (хг — х1), о2 1 х = — (х1+ хг)., ъ'2 4 Ру = г. (Р2 Р1); Гамильтониан приобретает вид 1 тЬ зй Н = — рзр2+ х1х2+ (хгрг х1 р1) зогзхзрз, гз =- т 4 2 Пг — 2огз Для полной диагонализации гамильтониана совершим КП т„, р„— ~ — у х'„.— а„, р'„.—. 1а„*, порождаемое пФ ег(х„, р'„) = — 2(ть,12)хгхг+ уг~~ (хзр1+ хгрг) +гр1рг: 1 х1 = (а1 + аг), 1 хг =- (аз+а,*), х1 =-аз, уг 2 4 Р2 — 2 ъ т~ (а1 112) р1 = — ъ'тЬ (а1 — аг)., 2 Р1 =- газ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
