Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ось вращения ротора проходит через точку О и направлена по оси ю 6.5.15. Найти индукцию магнитного поля, создаваемого обмотками в зазоре, отделяющем статор от ротора. Решение. Найдем вначале индукцию магнитного поля, создаваемого током, протекающим через обмотку одной фазы. Проведем вокруг части проводников обмотки замкнутый контур и используем закон Максвелла-Ампера.
Ток силы .11 (1) — —,1, сов ы1, проходящий через обмотку с осью, направленной по оси х на рис. 6.5.15а, создает магнитное поле, силовые линии которого пересекают статор и ротор. Поскольку величина магнитной индукции в воздушном зазоре значительно больше магнитной индукции в металле, то можно считать, что магнитное поле распределено только в зазоре; вектор индукции перпендикулярен поверхностям статора и ротора. Из закона Максвелла — Ампера получим радиальную компоненту индукции поля в зазоре В1„(г, у), где у — угол, отсчитываемый от оси х.
На рис. 6.5.15б изображен график функции В1„(8о, у) при фиксированном значении 1 = 1в (й =- двгу/2д, Х вЂ” число витков, Ы вЂ” толщина зазора, области линейной зависимости ограничены интервалами, равными к/3). Обычно для упрощения последующего анализа радиальную компоненту магнитной индукции записывают в виде В,„—.. Й,7~(1) гйп ~р. [Гл. 6 Динамика твердого тела Итак, в воздушном зазоре индукцию магнитного поля, создаваемого током 1г (1), можно приближенно представить в виде радиального поля Вг(1, ~р) = Йдг(1) япгрп(гр), и = ег созгр+ее япгрг где ег = (1, О, О), ет = (О, 1, О) -- единичные векторы, направленные по осям з и у. Ось первой обмотки направлена по единичному вектору и г = ег.
Ориентацию осей двух других обмоток зададим единичными векторами ига = ег соз( — ) + ез вгп( — ), тка = ег сов( — ) + ез згп( — ). Через зти обмотки протекают токи аз(1) =,7, сов (ш1 — 2кгг3) и,Уз(1) =- = а„сов (ш8 — 4кгг3)г которые создают магнитные поля. Радиальные компоненты магнитной индукции в зазоре Ваг(Ь, уг) = — 1г Х~(1) в[п(р — 2кгг3), Взг(1, гр) = й,Уз(1) яп(~р — 4ягг3). Три обмотки создают в зазоре радиальное магнитное поле В„(1, р) = В,„(1, р) + В,„(1г д) + Вз„(1, р) = 2к'г, / 2гга = к/, созш8 яп р+ сов(ш8 — — ) вп[ гр — — ) + 3) [, 3) -(.
—:)-("т)~ После тригонометрических преобразований получим радиальную ком- поненту индукции в зазоре в виде полл бегущей волны В„(г, гр) = В яп(|р — шЦ, где В = Згг.гогг2. Следовательно, некоторое значение радиальной компоненты вектора индукции «бежить в воздушном зазоре с угловой скоростью ш в положительном направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки. Компоненты вектора В(г, р): В (1, гр) =- В„(1, гр) сов гр, В„(1, гр) = В„(8, гр) япгр В,(1, р) =0. (1) Лля того, чтобы изменить направление распространения бегущей волны достаточно изменить порядок подключения двух любых пар обмоток к генератору трехфазного напряжения.
Например, переключение первой и второй обмоток приводит к радиальной компоненте магнитной индукции Г 2к1 В„(8, гр) .=. к1, [сов(ш8 — — ) япгр+ соаш1 вп[гр — — ~ + + сов(ш1+ — ) яп(гр+ — )1 = В яп(гр+ ш1 — — ). Электромеханика 333 Ф(8, у) = Фо сов(ш8 — ~р), где Фо = ВЯ. Лагранжиан электромеханической системы Ь =- — У4 + — Уо» вЂ” Мод+ ЯФо сов(о»У — ~р), '2 1 .з где У осевой момент инерции ротора, Мо момент внешних сил. Уравнения Лагранжа: дФ УР= — Мо+ У вЂ”, др — (В,У+ Ф) = — —,УУУ.
а ае (2) Проекция на ось х момента сил Ампера, действующих на ротор М, =,У вЂ”, дФ др' М =-,УФо яп (шУ вЂ” у), ЭДС индукции в цепи ротора дФ е =- — —, е =- Фо(ш — Й) з]п(оЛ вЂ” ф). аг ' Поскольку направления вращения магнитного поля и ротора совпадают, то при Й = ш сила тока, протекающего в цепи ротора, равна нулю. Обычно в рабочем режиме значение Й = 0,95ак ротор и магнитное поле вращаются с разными угловыми скоростями -- асинхронно, а силовые линии магнитного поля «скользят» относительно ротора. Поэтому при анализе работы двигателя с постоянной скоростью вводят величину е, называемую скольжением о» вЂ” Й = еш.
Тогда о» = Йс, е(У) = е1'о яп(ешУ), М» = УФо яп(ешЦ, где»о =- шФо. В стационарном режиме уравнение цепи ротора (2) и условие вращения с постоянной угловой скоростью Й приобретают вид  — + УЯ = е1'о яп (ешг), ИУ (3) (4) "=М вЂ” Мо; 6.5.16. Ротор в бегущей волне магнитного поля. Найти решение уравнений движения асинхронного двигателя. Решение. Ориентацию средней плоскости сечения ротора С площади Я зададим единичным вектором п(~р) —.— ( — яш ар, сов ~р, 0).
Угловая скорость вращения ротора Й = (О, О, Й), Й = ~р. Сопротивление цепи ротора —. В, коэффициент индукции, обусловленный потоком рассеяния магнитного поля — В. Сила тока в цепи ротора,У = Я. Учитывая (1), найдем поток магнитной индукции через цилиндрическую поверхность ротора, опирающуюся на контур сечения С ротора площади Я: Динамика твердого тела [Гл.
6 336 М = (1Фо яп вог1) — среднее значение момента сил Ампера. Решение уравнения (3) ищем в виде,У(1) = А яп (в»Л+ ег). Подставим,7(1) в (3) и приравняем нулю коэффициенты при сов(в«Л) и яп (вог8). В результате найдем амплитуду А и фазу еи в1'о й . вХг, А = —, сове« = —, в«пег = — ', Я =- Вв+(вХс)з, где Хь = мб. Вычисляя среднее значение момента сил Ампера, полу- чим М(в) = — -АФо саво = 2 2 [а~ -~- (вХь)г, (5) Функция М(в) достигает максимального значения М = о«Фоз,~(4Хс) при в = в р, в р — — В/Хь. Следовательно, М(в) = 2М Дв р,1в + + в/в„р).
Обычно в р 0,1. При старте в = 1 — ротор заторможен. Величина момента в начале пуска М(1) = 2М В/Ху,. В современных двигателях реальные характеристики не вполне точно описываются зависимостью (5). При больших значениях скольжения в сопротивление В растет, так как ток вытесняется к поверхности ротора. В результате удается увеличить пусковой момент и сократить время разгона двигателя. Отметим, что поле бегущей волны Ве(1, р) = В яп (ог — ~Л) и вращающееся поле В„(1) = В яп о«1 представляют собой принципиально различные явления.
Поэтому «анализ» работы трехфазного асинхронного двигателя как результата движения ротора во вращающемся поле лишен смысла. 6.5.17. Неферромагнитный проводящий шар радиуса а движется по горизонтальной плоскости в постоянном однородном магнитном поле индукции В. Найти решение уравнений движения в случае б )> )> а, где б =- (доао«/2) ~~~ глубина скин-слоя, а проводимость материала шара, о«угловая скорость шара. Решение. В однородном магнитном поле на шар действует момент силы Ампера (6.5.46). Тензор магнитной поляризуемости шара уь„= = обыи 3ГЗ 3 ег(ог) =- — ~ — — — с1п д — 1, 2гвг О д = йа = (1+ «) 6, (1) С(о«) = — ~ = (го 1и«В) го = г, 1 =— Я ~ аа«1' 21Ь где й =. (гог рва) иЯ ц =- а/б, б = (доао«/2) гбз — глубина проникновения поля в проводник, а - — проводимость материала шара [13). Фурьетрансформанта функции Грина Сь„=- Сбыи С(и«) =- а1г/(го«до).
В случае б «а из (1) следует приближенное выражение ег(ог) = (3!2)(1 — Згй). Для идеально диамагнитного шара ег(о«) = — 3,12. Рассмотрим движение шара с угловой скоростью ог, соответствующей приближению б » а. В этом случае, используя аппроксимацию Паде [122[, представим С(«р) в виде рациональной дроби 6.5] Электромеханика в широкой области частот до значений ы 2/(рвано) [153]. Функция Я представляет собой импеданс шара, а величины то и 1 — эффективные сопротивление и индуктивность; размерности [то] = Ом.м ~, [Ь] = Гн м ~. Отметим, что эффективные сопротивление и индуктивность сферы толщиной д « а соответственно равны то = 6/оа И, Ь =- 2дод/а1т [1531.
Из (6.5.6) следует, что магнитный момент шара удовлетворяет уравнению Кирхгофа ар', 1Ь' Ь вЂ” + тор сй до В этом случае функция Грина (6.5.7) Сь„(т) = оь„ехр ( — — ), где В(т) — функция Хевисайда. Закон изменения обобщенной энергии Н = тйо12+ 1ыо12+ 1 ро/2 имеет вид ан ов ~Й дй Полагая в (6.5.9) 1' = 1 — т, находим, что при условии ы « то~1. основной вклад в интеграл вносит окрестность точки т = О. В этом приближении магнитный момент — ат С(т) 1 о(8), э р — — [юВ] то и момент силы Ампера М = [рВ].
Пусть шар движется без проскальзывания. Используя обозначения задачи 6.2.7, запишем уравнения движения тпг = Г, 1г3 = — а [еТ] + [рВ], (2) 1 = 2 таз /5, которые дополним условием качения без проскальзывания (3) О = г — а [ше]. Дифференцируем (3) и преобразуем правую часть, используя уравне- ния (1), (2), так же, как в задаче 6.2.6. В результате находим т = —, [е[рВЦ. [Гл. 6 Динамика твердого тела Рассмотрим движение шара, при котором вектор магнитной индукции В = Ве перпендикулярен плоскости.
Тогда та 5 — Вр, э Т=- — 'Вр, та -'1 7а 1 ф = — — [е [гве)), т (4) (5) где т — — 7таого(ОВ2. Из (5) находим первый интеграл щго =- а1е. Подставляя в (5) гв =- грове+ и, получим решение н(1) =- по ехр ( — 1/г). СкоРость ЦентРа масс 1г(1) = Уо ехР ( — 1/т), чо = а [21ое). ШаР катитсЯ по отрезку прямой г(1) = г(0) + тот [1 — ехр ( — 6,1т)). Магнитный момент р = уо (В 7 ага) ехр ( — 1/г), касательная компонента силы реакции 2 5В Т= —, иое 7а го Условие качения Т < рта приобретает вид р ) ио~дт, где д— коэффициент трения.
Отметим, что из (1) — (4) следует закон изменения кинетической энергии К(г): — = — рго, К= — тг + — !ог = — таиг, + — тай. дК 2 1 .2 1 2 1 2 2 7 2 2 до 2 2 5 го 10 Следовательно, за время движения в шаре выделится количество джо- улева тепла Ю = ~ в[1 р го = — та по. 2, 7 2 2 10 о 511 = 532 = Сев 1Р~ 512 = г31 = 31П 71, В13 = В21 =- В22 = — В33 = О, 6.5.18. Неферромагнитный проводник в форме эллипсоида с полуосями а = 6, с находится во вращающемся однородном магнитном поле индукции В(г) =- Во(сов й1, 31п Йг, 0). Вектор В(1) перпендикулярен оси вращения, проходящей через центр масс. Найти угловую скорость вращения осесимметричных проводников — сплюснутого и вытянутого эллипсоидов.
Решение. Пусть ось вращения направлена по оси 2. В результате поворотов на эйлеровы углы 32(1), 6 =- кгг2 расположим ось симметрии тела в плоскости, перпендикулярной оси 2 (рис. 6.5.18). Угловая скорость тела щ = (О, Ог уг). Элементы матрицы поворотов 6.5] Электромеханика 339 Рис. 6.548 Учитывая (1), получим из (6.5.4б) х-компоненту момента силы, действующей на проводник: Вз = Во в1п (й~ — р) р', + Во сов(йб — <~) рз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
